Модифікації та узагальнення

ХІІІ обласна математична олімпіада

Імені акад. М.П. Кравчука

Рік

Класи (2015-2016 н.р.) Заочний тур

Розв’язання задач заочного туру надіслати до 15 серпня 2016 року в електронному варіанті

( e-mail: [email protected] , моб. тел. 0965653335).

Вимоги до оформлення роботи заочного туру олімпіади:

1)відповідь до кожної задачі обґрунтуйте; подайте у розв’язаннях детальні пояснення, виконавши при потребі малюнки, креслення, схеми і т. ін.;

2) розв’язання задач набирати українською моваю, орієнтація – книжкова; поля: верхній, нижній, лівий, правий – 20 мм; шрифт: гарнітура – Times New Roman, кегль – 14, міжрядковий інтервал – 1,5; стиль – Normal (звичайний);

3) математичні формули набирати, використовуючи редактор формул;

4) оформити презентацію в Power Point, в якій подати розв’язання циклу деяких взаємопов’язаних задач (дотримуватись загальних вимог до укладання презентації).

Для участі в Очному турі олімпіадибудуть допущеніучасники Заочного туру, які правильно розв’язали і грамотно оформили найбільшу кількість задач із запропонованої добірки. Задачі не повинні бути одноманітними. При оцінюванні робіт учасників олімпіади члени журі звертатимуть увагу на різні аспекти: підхід до відбору задач, повнота обгрунтувань (наявніть опису процесу пошуку способу розв’язування, вибору методу розв’язування, детальне пояснення кожного кроку розв’язування в логічній послідовності), загальна мовна грамотність, рівень сформованості і розвитку писемного математичного мовлення і т. ін.

УВАГА!

Запропонований матеріал (добірки задач) допоможе школярам поглибити свої знання з теми "ЗАМОЩЕННЯ КЛІТЧАСТОЇ ДОШКИ ФІГУРАМИ ПОЛІМІНО". Наполеглива робота над розв’язуванням задач сприятиме формуванню і розвитку в них дослідницьких умінь та навиків, необхідних для ефективної підготовки до інтелектуальних змагань і конкурсів різних рівнів.

ЗАМОЩЕННЯ КЛІТЧАСТОЇ ДОШКИ ФІГУРАМИ ПОЛІМІНО

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Будемо говорити, що фігура модифікації та узагальнення - student2.ru покрита фігурами модифікації та узагальнення - student2.ru , модифікації та узагальнення - student2.ru , модифікації та узагальнення - student2.ru , …, модифікації та узагальнення - student2.ru , якщо модифікації та узагальнення - student2.ru міститься в об’єднанні цих фігур, тобто будь-яка точка фігури модифікації та узагальнення - student2.ru належить хоча б одній з фігур модифікації та узагальнення - student2.ru , модифікації та узагальнення - student2.ru , модифікації та узагальнення - student2.ru , …, модифікації та узагальнення - student2.ru . Якщо ж фігури модифікації та узагальнення - student2.ru , модифікації та узагальнення - student2.ru , модифікації та узагальнення - student2.ru , …, модифікації та узагальнення - student2.ru не перетинаються (не мають внутрішніх точок) і їх об’єднання співпадає з модифікації та узагальнення - student2.ru , то будемо говорити, що модифікації та узагальнення - student2.ru замощена фігурами модифікації та узагальнення - student2.ru , модифікації та узагальнення - student2.ru , модифікації та узагальнення - student2.ru , …, модифікації та узагальнення - student2.ru .

Нагадуємо, що при розв’язуванні задач на замощення клітчастих дошок фігурками поліміно. Фігурки можна повертати, але не дозволяється їх перевертати.

ДОМІНО

Для учнів 6-7 класів

1. Яку мінімальну кількість мономіно необхідно, щоб "витіснити" на квадратній клітчастій дошці розміром модифікації та узагальнення - student2.ru доміно?

2.

2.1.Чи можна замостити фігурками доміно

а) клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru ;

б) клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru з вирізаною кутовою клітинкою;

в) клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru з вирізаними лівою верхньою і правою верхньою кутовими клітинками;

г) клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru з вирізаними лівою нижньою і правою верхньою кутовими клітинками? Або: Чи можна клітчасту дошку розміром 8×8, з якої вирізана пара протилежних кутових клітинок, замостити клітинковими фігурками доміно, кожне з яких покриває рівно дві клітинки клітчастої дошки?

Або: Чи можна клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru замостити фігурками доміно так, щоб вільними залишилися лише дві протилежні кутові клітинки?

2.2. Розв’язавши задачі а-г п. 2.1., у тих випадках, коли замощення існує, з’ясуйте питання про парність числа, яким визначається кількість горизонтально розміщених кісточок доміно і кількість вертикально розміщених кісточок доміно.

3. Клітчастий прямокутник розміром модифікації та узагальнення - student2.ru замостили клітинковими фігурками розміром модифікації та узагальнення - student2.ru – фігурками доміно. Доведіть, що на цей шар з фігур доміно можна накласти другий шар так, що жодна фігура доміно другого шару не співпадає з фігурою першого шару.

4. Прямокутник покрито у два шари картками модифікації та узагальнення - student2.ru (над кожною клітинкою лежить рівно дві картки). Доведіть, що картки можна розбити на дві множини, що не перетинаються, кожна з яких покриває весь прямокутник.

5. а) Чи можна прямокутник розміром модифікації та узагальнення - student2.ru замостити костями доміно модифікації та узагальнення - student2.ru так, щоб не було "шва", тобто прямої , яка не розрізає костей доміно?

б) Чи можна прямокутник розміром модифікації та узагальнення - student2.ru замостити костями доміно модифікації та узагальнення - student2.ru так, щоб не було "шва", тобто прямої , яка не розрізає костей доміно?

в) Чи можна квадрат розміром модифікації та узагальнення - student2.ru замостити костями доміно модифікації та узагальнення - student2.ru так, щоб не було "шва", тобто прямої , яка не розрізає костей доміно?

г) Доведіть, що будь-який прямокутник модифікації та узагальнення - student2.ru , де модифікації та узагальнення - student2.ru і модифікації та узагальнення - student2.ru більші за 6 і модифікації та узагальнення - student2.ru парне, можна замостити костями доміно так, щоб не було "шва".

д) Доведіть, що прямокутник модифікації та узагальнення - student2.ru можна замостити костями доміно модифікації та узагальнення - student2.ru так, щоб не було "шва".

6. а) З квадратної клітчастої дошки розміром 6´6 вирізали квадрат з чотирьох клітинок. Доведіть, що ту частину дошки, що залишилася, можна замостити фігурками доміно (прямоугольники 2´1) так, що число горизонтальных доміно дорівнює числу вертикальних.

б) Чи правильне таке ж твердження для клітчастої дошки розміром 8´8 с вирізаним квадратом з чотирьох клітинок?

ТРИМІНО

1. Чи можна замостити прямокутну клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru триклітинковими кутиками – фігурками прямокутного триміно так, щоб жодні два триміно не утворювали прямокутник розміром модифікації та узагальнення - student2.ru ?

2. Чи можна замостити прямокутну клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru триклітинковими кутиками – фігурками прямокутного триміно так, щоб не було прямих "швів"?

3. Чи можна замостити прямокутну клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru триклітинковими кутиками – фігурками прямокутного триміно так, щоб не було прямих "швів"?

4. Чи можна замостити прямокутну клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru триклітинковими кутиками – фігурками прямокутного триміно так, щоб не було прямих "швів"

5. Чи можна замостити квадратну клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru триклітинковими кутиками – фігурками прямокутного триміно так, щоб жодні два триміно не утворювали прямокутник розміром модифікації та узагальнення - student2.ru ?

6. Чи можна замостити квадратну клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru триклітинковими кутиками – фігурками прямокутного триміно так, щоб жодні два триміно не утворювали прямокутник розміром модифікації та узагальнення - student2.ru ?

7. Чи можна замостити прямокутну клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru триклітинковими кутиками – фігурками прямокутного триміно так, щоб жодні два триміно не утворювали прямокутник розміром модифікації та узагальнення - student2.ru ?

8. Яке найбільше число триклітинкових кутиків можна вирізати з клітчастого прямокутника розміром модифікації та узагальнення - student2.ru ? Відповідь обгрунтуйте. Подайте детальні пояснення.

9. Яке найбільше число триклітинкових кутиків можна вирізати з клітчастого квадрата розміром модифікації та узагальнення - student2.ru ? Відповідь обгрунтуйте. Подайте детальні пояснення.

10. Чи можна клітчастий квадрат розміром модифікації та узагальнення - student2.ru замостити триклітинковими кутиками (L-триміно)?

11. Чи можна зображену на малюнку фігуру з 60 клітинок замостити двадцятьма прямими триміно (розмір клітинки триміно співпадає з розміром клітинки фігури)?

модифікації та узагальнення - student2.ru

12. а) З квадратної клітчастої дошки розміром модифікації та узагальнення - student2.ru вирізали одну клітинку. Одержану фігуру замостили триклітинковими фігурами – прямими триміно (I-триміно). Яку клітинку вирізали з дошки?

б) З 16 плиток розміром модифікації та узагальнення - student2.ru та однієї плитки розміром модифікації та узагальнення - student2.ru склали квадрат зі стороною 7. Доведіть, що плитка модифікації та узагальнення - student2.ru або лежить у центрі квадрата, або прилягає до його межі.

Або:

У квадраті модифікації та узагальнення - student2.ru розміщено 16 плиток розміром модифікації та узагальнення - student2.ru та одна плитка модифікації та узагальнення - student2.ru . Доведіть, що плитка модифікації та узагальнення - student2.ru або лежить у центрі квадрата, або прилягає до його межі.

в) Чи можна замостити квадратну клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru з вирізаною клітинкою триклітинковими прямокутниками – прямими триміно?

Те ж саме: Чи можна з клітчастої квадратної дошки розміром модифікації та узагальнення - student2.ru вирізати одну клітинку так, щоб ту частину, яка залишилася, можна було замостити плитками розміром модифікації та узагальнення - student2.ru (фігурками І-триміно)?

Або: Чи можна замостити квадратну клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru триклітинковими прямокутниками – прямим триміно і одним мономіно? Відповідь обгрунтуйте. Подайте детальні пояснення.

13. а) Чи можна замостити квадратну клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru з вирізаною клітинкою триклітинковими фігурками – триклітинковими кутиками ? Відповідь обгрунтуйте. Подайте детальні пояснення.

б) З квадратної клітчастої дошки розміром модифікації та узагальнення - student2.ru довільним чином вирізали одну клітинку. Чи можна фігуру, що утворилася замостити триклітинковими кутиками?

в) З квадратної клітчастої дошки розміром модифікації та узагальнення - student2.ru довільним чином вирізали одну клітинку. Чи можна фігуру, що утворилася замостити триклітинковими кутиками?

14. Яку мінімальну кількість мономіно необхідно для того, щоб "витіснити" на квадратній клітчастій дошці розміром модифікації та узагальнення - student2.ru :

а) прямокутне триміно – триклітинковий кутик (L-триміно);

б) пряме триміно (I-триміно)?

ТЕТРАМІНО

1. Чи можна замостити чотириклітинковими кутиками – фігурками прямокутного тетраміно (L-тетраміно) прямокутну клітчасту дошку розміром

а) модифікації та узагальнення - student2.ru ;

б) модифікації та узагальнення - student2.ru ;

в) модифікації та узагальнення - student2.ru ;

г) модифікації та узагальнення - student2.ru ;

д) модифікації та узагальнення - student2.ru ;

і т. д. так, щоб не було прямих "швів"?

2. У клітчастому квадраті розміром модифікації та узагальнення - student2.ru зафарбуйте найменшу кількість клітинок так, щоб у фігурі, яка залишилася, не можна було помістити чотириклітинкову фігурку виду L-тетраміно.

3. Яку мінімальну кількість мономіно необхідно для того, щоб "витіснити" на квадратній клітчастій дошці розміром модифікації та узагальнення - student2.ru :

а) L-тетраміно;

б) T-тетраміно;

в) О-тетраміно;

г) Z-тетраміно;

д) І-тетраміно?

4. Чи можна замостити двадцятиклітинковий прямокутник чотириклітинковими фігурками – фігурками І, L, T, Z, O-тетраміно? Тетраміно кожного виду необхідно використати принаймні один раз. Відповідь обгрунтуйте. Подайте детальні пояснення.Зверніть увагу на прямокутники всіх можливих розмірів.

5. З’ясуйте, чи можна замостити 24, 28, 32, 36, 40-клітинкові прямокутники чотириклітинковими фігурками – фігурками І, L, T, Z, O-тетраміно. Відповіді обгрунтуйте. Подайте детальні пояснення. Зверніть увагу на прямокутники всіх можливих розмірів.

6. Чи можна замостити фігурками I-тетраміно

а) квадратну клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru ;

б) прямокутну клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru ?

7. Чи можна замостити квадратну клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru фігурками

а) I-тетраміно;

б) L-тетраміно;

в) Т-тетраміно?

8. Чи можна замостити квадратну клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru чотириклітинковими фігурками – L-тетраміно та одним O-тетраміно? Відповідь обгрунтуйте. Подайте детальні пояснення.

9. Чи можна замостити квадратну клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru чотириклітинковими фігурками: одним O-тетраміно, а решта – іншими тетраміно, серед яких декілька (або всі) – прямі (I-тетраміно), інші – косі (Z-тетраміно)? Відповідь обгрунтуйте. Подайте детальні пояснення.

10. Чи можна замостити прямокутну клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru фігурками Т-тетраміно?

11. а) Чи можна замостити квадратну клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru фігурками Т-тетраміно?

б) Чи можна клітчастий квадрат розміром модифікації та узагальнення - student2.ru замостити фігурками T-тетраміно?

12. Чи можна замостити фігурками L-тетраміно прямокутну клітчасту дошку розміром

а) модифікації та узагальнення - student2.ru ;

б) модифікації та узагальнення - student2.ru ;

в) модифікації та узагальнення - student2.ru ;

г) модифікації та узагальнення - student2.ru ;

д) модифікації та узагальнення - student2.ru

без прямих "швів"? Відповіді обгрунтуйте. Подайте детальні пояснення.

ТРИМІНО І ТЕТРАМІНО

1. Чи можна замостити прямокутну клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru триклітинковими кутиками (прямокутними триміно) і квадратами розміром модифікації та узагальнення - student2.ru (O-тетраміно)? Якщо можна, то вкажіть скільки всього фігур використали для замощування. Якщо ж не можна, топоясніть чому. Відповіді обгрунтуйте. Подайте детальні пояснення.

ПЕНТАМІНО

Поліміно, які покривають п’ять клітинок клітчастої дошки, називають пентаміно.

1. З’ясуйте, скільки є різних видів фігур пентаміно. Зобразіть їх.

Є 12 видів пентаміно, які можна позначити прописними латинськими буквами T, U,V, W, X, Y, Z, F, I, L, P, N.

2. З’ясуйте, чи можна замостити клітинкові прямокутники п’ятиклітинковими фігурками – фігурами T, U, V, W, X, Y, Z, F, I, L, P, N-пентаміно.Пентаміно кожного виду необхідно використати принаймні один раз. Відповіді обгрунтуйте. Подайте детальні пояснення.Зверніть увагу на прямокутники всіх можливих розмірів.

3. Зі смужок розміром модифікації та узагальнення - student2.ru складено прямокутник. Доведіть, що одна з його сторін ділиться на 5.

4. Чи можна замостити шістдесятиклітинковий прямокутник п’ятиклітинковими фігурами – фігурами T, U, V, W, X, Y, Z, F, I, L, P, N-пентаміно? Пентаміно кожного виду можна використовувати рівно один раз.

5. Яке найбільше число п’ятиклітинкових смужок (I-пентаміно) можна вирізати з клітчастого квадрата розміром модифікації та узагальнення - student2.ru ? Відповідь обгрунтуйте. Подайте детальні пояснення.

6. Яку мінімальну кількість мономіно необхідно для того, щоб після цього було б неможливо розмістити на квадратній клітчастій дошці розміром модифікації та узагальнення - student2.ru хоча б одне:

а) I-пентаміно;

б) Y-пентаміно;

в) V-пентаміно;

г) T-пентаміно;

д) W-пентаміно;

е) X-пентаміно;

є) Y-пентаміно;

ж) F-пентаміно;

з) Z-пентаміно;

и) U-пентаміно;

і) L-пентаміно;

ї) P-пентаміно?

Примітка. "Розв’язати задачу" тут означає, по-перше, навести приклад розміщення на клітчастій дошці декількох моно міно, які "витісняють" задане пентаміно, і, по-друге, довести (тим або іншим комбінаторним міркуванням або ж просто баченням очевидності), що меншого числа мономіно для цієї мети не вистачить.

7. Яку мінімальну кількість мономіно необхідно для того, щоб "витіснити" на нескінченній клітчастій дошці одночасно усі:

а) I-пентаміно;

б) Y-пентаміно;

в) V-пентаміно;

г) T-пентаміно;

д) W-пентаміно;

е) X-пентаміно;

є) Y-пентаміно;

ж) F-пентаміно;

з) Z-пентаміно;

и) U-пентаміно;

і) L-пентаміно;

ї) P-пентаміно?

8. Від квадратної клітчастої дошки розміром модифікації та узагальнення - student2.ru відрізали чотири кутових квадрати модифікації та узагальнення - student2.ru . Чи можна фігуру, що утворилася замостити п’ятиклітинковими фігурами трьох видів: T, V, X-пентаміно?

ПЕНТАМІНО І ДОМІНО

1. Чи можна квадратну клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru замостити клітинковими фігурками, кожна з яких є або двоклітинковим прямокутником (прямокутником модифікації та узагальнення - student2.ru ) або фігуркою X-пентаміно?

ГРА "МОРСЬКИЙ БІЙ"

1. Гра "Морський бій" відбувається у квадраті модифікації та узагальнення - student2.ru клітинок. Яке найменше число "пострілів" необхідно зробити, щоб гарантовано "поранити" чотирьохпалубний корабель, якщо відомо, що він має вигляд І-тетраміно? Відповідь обґрунтуйте.

2. За яку найменшу кількість "пострілів" можна гарантовано влучити у чотирьохпалубний корабель у грі "морський бій" на дошці розміром модифікації та узагальнення - student2.ru ? Відповідь обґрунтуйте.

3.На квадратному клітчастому полі розміром модифікації та узагальнення - student2.ru розміщена ескадра з 10 кораблів. Кораблі – це прямокутники модифікації та узагальнення - student2.ru , зі сторонами по лініях сітки, які не мають спільних точок. Доведіть, що можна зробити 32 "постріли" так, щоб гарантовано поранити корабель.

4. Яке найменше число "пострілів" необхідно зробити, щоб гарантовано "поранити" пятипалубний корабель на дошці розміром модифікації та узагальнення - student2.ru , якщо відомо, що він має вигляд І-пентаміно? Відповідь обґрунтуйте.

НАБІР "ЮНИЙ ПАРКЕТНИК"

1. Дно коробки розміром модифікації та узагальнення - student2.ru вимощене плитками розміром модифікації та узагальнення - student2.ru та модифікації та узагальнення - student2.ru . Одну з цих плиток розміром модифікації та узагальнення - student2.ru загубили, але в запасі є плитка розміром модифікації та узагальнення - student2.ru . Чи можна наявними плитками знову вимостити дно коробки?

2. Дно прямокутної коробки викладено плитками розміром модифікації та узагальнення - student2.ru і модифікації та узагальнення - student2.ru . Плитки висипали з коробки і загубили одну плитку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru . Замість неї дістали плитку модифікації та узагальнення - student2.ru . Доведіть, що викласти дно коробки плитками тепер не вдасться.

3. Андрійкові подарували набір "Юний паркетник", що складається з дванадцяти плиток виду I-триміно та L-триміно. Миколка замінив одну з них на триклітинковий кутик – L-триміно.Чи зможе Андрійко скласти квадрат розміром модифікації та узагальнення - student2.ru ?

Для учнів 6-9 класів

ГЕКСАМІНО

1. З’ясуйте, скільки є різних видів фігур пентаміно. Зобразіть їх.

2. Чи можна замостити 210-клітинковий прямокутник шестиклітинковими фігурками – фігурками гексаміно? (Або: Чи можна ли скласти з фігурок гексаміно210-клітинковий прямокутник)? Гексаміно кожного виду можна використовувати рівно один раз.

3. Чи можна замостити прямокутну клітчасту дошку розміром модифікації та узагальнення - student2.ru шестиклітинковими прямокутниками – прямим гексаміно (І-гексаміно)?

4. Зі смужок розміром модифікації та узагальнення - student2.ru складено прямокутник. Доведіть, що одна з його сторін ділиться на 6.

5. Які з фігурок гексаміно не можуть бути розгортками куба ( гексаедра)?

МОДИФІКАЦІЇ ТА УЗАГАЛЬНЕННЯ

1. Доведіть, що будь-який прямокутник модифікації та узагальнення - student2.ru , де модифікації та узагальнення - student2.ru і модифікації та узагальнення - student2.ru більші за 6 і модифікації та узагальнення - student2.ru парне, можна замостити костями доміно так, щоб не було "шва".

2. З квадратної клітчастої дошки модифікації та узагальнення - student2.ru вирізали одну кутову клітинку. Чи можна одержану фігуру замостити фігурами доміно так, щоб було порівну горизонтально і вертикально розміщених доміно?

3. Чи можна знайти мінімальне число мономіно для того, щоб "витіснити" на клітчастій дошці розміром модифікації та узагальнення - student2.ru одночасно:

а) усі 12 пентаміно;

б) 11 із 12 пентаміно;

в) кожного з дванадцяти видів пентаміно зокрема (I-пентаміно; Y-пентаміно; V-пентаміно; T-пентаміно; W-пентаміно; X-пентаміно; Y-пентаміно; F-пентаміно; Z-пентаміно; U-пентаміно; L-пентаміно; P-пентаміно);

г) якихось два види пентаміно;

д) якихось три види пентаміно;

е) якихось чотири види пентаміно і т.д.

4. Чи можна знайти мінімальне число мономіно для того, щоб "витіснити" на нескінченній клітчастій дошці одночасно:

а) усі 12 пентаміно;

б) 11 із 12 пентаміно;

в) кожного з дванадцяти пентаміно окремо;

г) якихось два види пентаміно;

д) якихось три види пентаміно;

е) якихось чотири види пентаміно і т.д.

5. З прямокутної клітчастої дошки зі стороною а) модифікації та узагальнення - student2.ru ; б) модифікації та узагальнення - student2.ru вирізано одну клітинку. Доведіть, що ту частину дошки, що залишилася, можна замостити фігурками триміно – триклітинковими кутиками.

6. а) Знайдіть усі такі натуральні числа модифікації та узагальнення - student2.ru , що квадратну клітчасту дошку модифікації та узагальнення - student2.ru можна замостити прямокутними триміно.

б) Знайдіть усі такі натуральні числа модифікації та узагальнення - student2.ru , що тороїдальну дошку, одержану з квадратної клітчастої дошки модифікації та узагальнення - student2.ru , можна замостити прямокутними триміно.

7. Доведіть, що число способів розрізати прямокутник модифікації та узагальнення - student2.ru на триклітинкові кутики не перевищує числа способів розрізати прямокутник модифікації та узагальнення - student2.ru на такі ж кутики так, щоб жодні два такі триміно не утворювали прямокутник розміром модифікації та узагальнення - student2.ru .

8. Якими видами тетраміно можна замостити дошку розміром 10´10?

9. Прямокутну клітчасту дошку зі стороною розміром m×n замощено плитками Т-тетраміно. Доведіть, що m і n діляться на 4.

10. а) Знайдіть усі такі натуральні числа n, що квадратну клітчасту дошку модифікації та узагальнення - student2.ru можна було б замостити T-тетраміно. Відповідь обгрунтуйте. Подайте детальні пояснення. Розв’яжіть задачу декількома способами.

б) Чи зміниться результат, якщо замість плоскої дошки замощувати циліндричну, тороїдальну?

11. а) Знайдіть усі такі натуральні числа n, що квадратну клітчасту дошку модифікації та узагальнення - student2.ru можна було б замостити L-тетраміно. Відповідь обгрунтуйте. Подайте детальні пояснення. Розв’яжіть задачу декількома способами.

б) Чи зміниться результат, якщо замість плоскої дошки замощувати циліндричну, тороїдальну?

12. а) З прямокутної клітчастої дошки модифікації та узагальнення - student2.ru склеїли циліндр. При якій умові її можна замостити лінійним модифікації та узагальнення - student2.ru -міно?

б) Якщо модифікації та узагальнення - student2.ru , то з дошки модифікації та узагальнення - student2.ru можна склеїти два різних циліндри. Чи може статися так, що один з них можна замостити лінійним модифікації та узагальнення - student2.ru -міно, а інший – ні?

13. Знайдіть усі такі пари натуральних чисел (m; n), що клітчасту дошку модифікації та узагальнення - student2.ru можна було б замостити лінійним модифікації та узагальнення - student2.ru -міно. Відповідь обгрунтуйте. Подайте детальні пояснення. Розв’яжіть задачу декількома способами.

14. Є прямокутна клітчаста дошка модифікації та узагальнення - student2.ru і доміно. Пара різних клітинок називається "гарною", якщо фігуру F, одержану з дошки в результаті вирізання цих двох клітинок, можна замостити доміно. Знайдіть усі "гарні" пари клітинок дошки.

15. Є прямокутна клітчаста дошка модифікації та узагальнення - student2.ru і лінійне (пряме) модифікації та узагальнення - student2.ru -міно. Клітинку дошки (x, y) будемо називати "вдало розміщеною", якщо фігуру F, одержану з дошки в результаті вирізання цієї клітинки, можна замостити лінійним модифікації та узагальнення - student2.ru -міно. Знайдіть множину М усіх вдало розміщених клітинок дошки.

16. Прямокутну клітчасту дошку (на якій клітчаста сітка є з двах сторін) перегнули і слеїли так, щоб одержати лист Мебіуса.

а) При якій умові лист Мебіуса замостити лінійним модифікації та узагальнення - student2.ru -міно?

б) Якщо модифікації та узагальнення - student2.ru , то з клітчастої дошки модифікації та узагальнення - student2.ru можна склеїти два листи Мебіуса. Чи може статися так, що один з них можна замостити лінійним модифікації та узагальнення - student2.ru -міно, а інший – ні?

17. Є прямокутна клітчаста дошка модифікації та узагальнення - student2.ru і натуральне число модифікації та узагальнення - student2.ru , де модифікації та узагальнення - student2.ru . Грають двоє. Перший гравець викреслює довільну клітинку дошки, потім другий гравець викреслює довільну клітинку, відмінну від викресленої; черговий хід гравця полягає у викреслюванні довільної клітинки, відмінної від раніше викреслених. Після того, як гравці зробили почергово по модифікації та узагальнення - student2.ru ходів, визначається переможець. Виграє другий, якщо фігура, одержана після вирізання всіх викреслених клітинок, може бути замощена доміно; у протилежному випадку переможцем вважається перший гравець.

Знайдіть стратегію гри для одного із гравців, яка дозволить йому виграти незалежно від гри суперника.

18. Чи можна розв’язати загальну задачу про розрізання клітчастої прямокутної дошки на однакові клітчасті смужки довільної довжини?

Наши рекомендации