Числові характеристики статистичного розподілення
Київ 2011
ПЕРВИННИЙ СТАТИСТИЧНИЙ АНАЛІЗ
Таблиця 1. Результати вимірювання потенціометра, В.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Кожне окреме значення параметра, отримане у результаті і-го досліда, позначають через хі і називають варіантою, а ряд, скадений із варіант − варіаційним рядом, або рядом розподілення. Число, яке вказує скільки разів зустрічається кожна варіанта у варіаційному ряді, називається частотою.
1. Число інтервалів N вибирають в залежності від числа спостережень п згідно таблиці 1:
Таблиця 1
п N-1
40 − 100 7 − 9
100 − 500 8 − 12
500 − 1000 10 − 16
1000 − 10000 12 – 22
Число інтервалів N може бути знайдено з формули:
| |
2. Інтервали, як правило, вибирають однакові. Довжину інтервалу визначають за формулою:
,
При визначені границь інтервалів рекомендується починати ряд з значення, яке на 1/2 інтервала менше xmin , і закінчувати ряд значенням, яке перевищує xmax також на 1/2 інтервала. Побудову інтервального варіаційного рядка починаємо зі складання робочої таблиці, в яку заносимо інтервали, центри інтервалів і частоту варіант.
| |
ліву
(В);
праву
(В).
Для наочності статистичне розподілення оформлюється у вигляді різних графіків, один з яких називається гістограмою. При побудові гістограми на осі абсцис відкладають інтервали, а над ними проводять відрізки, паралельні до осі абсцис з ординатами, рівними: а) 
або б) 
.
У випадку а) площина і-го частинного прямокутника 
− частота варіант, які входить до складу і-го варіанту. Отже, площа гістограми дорівнює сумі (об’єму вибірки) п усіх частот.
У випадку б) сума всіх ординат дорівнює об’єму вибірки п. Якщо використовується варіаційний ряд відносно частот (частостей) 
, площа відповідної цьому ряду гістограми дорівнює одиниці. При побудові гістограми масштаб вибирають таким, щоб максимальна ордината складала 5/8 основи.
З даних таблиці 2 будуємо ряд розподілення (таб. 3), де mi − частота варіант у даному інтервалі.
Таблиця 3. Розподілення значень результатів вимірювання потенціометра
| і | Інтервали, В | Центри інтервалів хі, В | Частоти mi |
| 84,3240…84,3274 84,3274…84,3308 84,3308…84,3342 84,3342…84,3376 84,3376…84,3410 84,3410…84,3444 84,3444…84,3478 84,3478…84,3512 84,3512…84,3546 | 84,3257 84,3291 84,3325 84,3359 84,3393 84,3427 84,3461 84,3495 84,3529 |
Будуємо гістограму:
ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТАТИСТИЧНОГО РОЗПОДІЛЕННЯ
В теорії ймовірностей у якості основних параметрів розподілення випадкової величини знаходять широке застосування різні числові характеристики: математичне сподівання, дисперсія, початкові і центральні моменти різних порядків. При вивчені статистичних розподілень, побудованих за вибіркованими даними, кожній числовій характеристиці випадкової величини відповідає її статистична аналогія − оцінка числової характеристики.
Ці оцінки використовуються в якості приблизних значень параметрів розподілення досліджуваної випадкової величини. Оцінки числових характеристик виражаються через вибіркові дані й з випадковості вибірок є випадковими величинами.
Для того щоб статистичні оцінки давали “гарні” наближення оці-нюваних параметрів, вони повинні бути незміщеними, ефективними і спроможними.
Незміщеною називають статистичну оцінку, математичне сподівання якої дорівнює оцінюваному параметру.
Ефективною називають статистичну оцінку, яка при п → ∞ прямує за ймовірностю до оцінюваного параметра. В математичній статиці доведено, що вимогам незміщеності, ефективності і спроможності задовольняють основні вибіркові характеристики: вибіркова середня 
і вибіркова дисперсія 
Для згрупованих даних:
,
= 
;
Для незгрупованих даних:
,
.
Щоб спростити доволі громіздкі розрахунки, вихідні варіанти замінюють умовними:
,
де сх − умовний нуль (новий початок відліку).
Умовні варіанти завжди являються цілими числами. Нехай в якості умовного нуля вибрана варіанта хm . Тоді:
.
Так як і та m − цілі числа, їх різниця і−m = Ui також ціле число.
Максимальна простота розрахунків досягається, якщо в якості умовного нуля вибирають варіанту, яка розташована приблизно в середині варіаційного ряду (частіше така варіанта має найбільшу частоту).
Застосування умовної варіанти дозволяє обчислювати середню вибіркову і вибіркову дисперсію S2 за формулами:
;
,
де 
; 
.
.
При обчислені вибіркових середньої та дисперсії доцільно користуватися розрахунковою таблицею 4, яка складається:
1) перший, другий і третій стовпці утворюють статистичне розподі-лення (варіаційний ряд);
2) в четвертий стовпчик записують умовні варіанти 
( в якості умовного нуля вибирають варіанту, яка розташована приблизно в середині варіаційного рядка), в клітинці рядка, яка містить умовний нуль, пишуть 0; в клітинках над нулем пишуть послідовно −1,−2,−3 і т.п., під нулем пишуть – 1; 2; 3,…;
3) добутки частоти на умовні варіанти 
записують в п’ятий стовпчик, їх суму 
розміщують у нижню клітинку стовпчика;
4) добутки частоти на квадрати умовних варіант 
записують в шостий стовпчик, їх суму 
розміщують в нижню клітинку стовпця;
5) добутки частоти на квадрати умовних варіантів, збільшених на одиницю 
записують в сьомий контрольний стовпчик, їх суму 
розміщують в нижню клітинку стовпчика.
Сьомий стовпчик розрахункової таблиці (таб.4) слугує для контролю розрахунків: якщо сума 
буде рівною сумі 
(як і повинно бути у відповідності з тотожністю 
), розрахунки виконані правильно.
Складаємо розрахункову таблицю 4:
Таблиця 4. Розрахунок числових характеристик
| і | Інтервали, В | Центри інтервалів хі, В | Частоти mi |  | |  |  |
| 84,3240…84,3274 84,3274…84,3308 84,3308…84,3342 84,3342…84,3376 84,3376…84,3410 84,3410…84,3444 84,3444…84,3478 84,3478…84,3512 84,3512…84,3546 | 84,3257 84,3291 84,3325 84,3359 84,3393 84,3427 84,3461 84,3495 84,3529 | -3 -2 -1 | -3 -6 -3 | ||||
| Сума | - |
Контроль:
; 
.
Обчислення виконані правильно.
Середньоквадратичне відхилення : 
(В).
Зіставимо таблицю 5:
;
m'i= φ(zі) 
; m'̓i – заокруглене значення.
Таблиця 5. Розрахунок теоретичних частот
| № п/п | Інтервали | Центри | mi | | φ(хі) | mi′ | mi'' |
| 84,3240…84,3274 84,3274…84,3308 84,3308…84,3342 84,3342…84,3376 84,3376…84,3410 84,3410…84,3444 84,3444…84,3478 84,3478…84,3512 84,3512…84,3546 | 84,3257 84,3291 84,3325 84,3359 84,3393 84,3427 84,3461 84,3495 84,3529 | -2,43075 -1,799 -1,662 -0,5366 0,09478 0,726165 1,3575 2,0075 2,6203 | 0,0208 0,0790 0,2012 0,3091 0,3973 0,3056 0,1582 0,0459 0,0129 | 0,6643 2,5233 6,4263 10,83 12,689 9,7608 5,0529 1,466 0,412 |
| |