V. Аксиома непрерывности (аксиома Дедекинда)

Введение в математический анализ

Действительные числа

Система аксиом действительных чисел

Элементарное представление о действительных числах дается в курсе средней школы. Однако этого представления недостаточно для строгого и последовательного построения понятия предела и бесконечно малой величины.

Рассмотрим множество , элементы которого называются числами и в котором более одного элемента. Пусть для чисел определены равенство двух чисел, операции сложения, умножения, отношение порядка, которое выражается словами ”число меньше числа ”. Для чисел и равенство будем обозначать символом , сумму обозначим , произведение обозначим или . То, что число меньше числа будем обозначать символом . Если , то еще говорят, что число больше числа и это обозначают символом . Запись , равносильная записи , означает, что либо , либо .

Напомним, что бинарная операция на множестве – это отображение, при котором любым двум элементам этого множества ставится в соответствие один и только один элемент этого же множества. Результат сложения двух чисел называют их суммой, а результат умножения – произведением.

Кроме того, будем считать, что числа обладают следующими свойствами:

I. Аксиомы сложения

I₁. (коммутативность сложения).

I₂. (ассоциативность сложения).

I₃. Существует число, называемое нулем (обозначаемое символом ) такое, что для любого числа справедливо равенство (существование нуля).

I₄. Для любого числа существует число, называемое ему противоположным (обозначаемое символом ) такое, что справедливо равенство (существование противоположного числа).

Определение. Число называется разностью чисел и (обозначается символом ).

II. Аксиомы умножения

II₁. (коммутативность умножения).

II₂. (ассоциативность умножения).

II₃. Существует число, называемое единицей (обозначаемое символом ) такое, что для любого числа справедливо равенство (существование единицы).

II₄. Для любого числа существует число, называемое ему обратным (обозначаемое символом или ) такое, что справедливо равенство (существование обратного числа).

Определение. Число называется частным чисел и (обозначается символом или ).

III. Аксиома связи сложения и умножения

III₁. (дистрибутивность сложения относительно умножения).

IV. Аксиомы порядка

IV₁. Каждое число равно самому себе. И для любых чисел и справедливо одно и только одно из соотношений , или .

IV₂. Если и , то (транзитивность неравенства).

IV₃. Если , то для любого числа справедливо неравенство .

IV₄. Если , то для любого числа справедливо неравенство .

V. Аксиома непрерывности (аксиома Дедекинда)

V₁. Если множество чисел разбито на два непустых класса таких, что все числа первого класса меньше каждого из чисел второго класса, то существует число, которое или принадлежит первому классу и оно больше всех чисел этого класса, или принадлежит второму классу и оно меньше всех чисел этого класса.

Определение. Множество , в котором, по крайней мере, два числа и выполняются перечисленные выше аксиомы, называется множеством действительных или вещественных чисел. (Оговорка о количестве элементов во множестве нужна для того, чтобы исключить из рассмотрения множество, состоящее из одного нуля.)

Без проверки отметим, что примером действительных чисел являются бесконечные десятичные дроби.

Ниже напомним некоторые свойства действительных чисел, рассмотренные в школьном курсе. Их доказательства мы опустим.