Неперервними паралельними профілями

Нехай профілі неперервні, паралельні та віддалені один від одного на відстань а. Позначимо СD проекцію об’єкта пошуку Q на напрям, перпендикулярний до профілів. Відкладемо вздовж CD відрізок СА довжиною а (рис.2.2.). В якому б положенні не був початковий профіль, один із профілів (і лише один) буде перетинати СА. Якщо точка х його перетину з СА влучить CD, то перетин відбудеться. Ймовірність перетину:

(2.4)

де l_a = ½CD½ - довжина проекція Q у напрямі, що перпендикулярний до профілів.

Ймовірність виявлення об’єкта регулярною мережею точкових спостережень. Мережа точкових спостережень регулярна, якщо вона може цілком відтворюватися паралельним перенесенням одного осередку вздовж її сторін. Осередок мережі має форму паралелограма (прямокутника, ромба, квадрата). Точки спостережень – у вузлах мережі (вершинах осередків).

Форма тіла у плані – форма його проекції на горизонтальну площину. Профіль точкових спостережень – лінія, вздовж якої з незмінним кроком розташовуються точки спостережень. Менша сторона прямокутника – крок за профілем, більша – відстань між профілями.

Побудуємо опорний контур ABCD, що являє собою осередок мережі, з дотриманням орієнтування щодо об’єкта пошуку Q (рис. 2.3). При будь-якому положенні початкової точки мережі одна й лише її точка потрапить в опорний контур ABCD. Якщо Q уміщується в ньому цілком, то ймовірність виявлення дорівнює відношенню площі об’єкта пошуку S_Q до площі S осередку:

(2.5)

Рис. 2.3. До обчислення ймовірності виявлення об'єкта регулярною мережею точкових спостережень

Якщо Q вміщується у ABCD цілком, то до ABCD добудовують осередки мережі так, щоб вони загалом покривали Q. Частини Q, що розміщені в допоміжних осередках (Q₂ B DCEF, Q₂ B CKME на рис. 2.3) переносять в опорний контур ABCD, покриваючи перенесену частину з чергового контуру новою штриховкою (рис. 2.3). Ймовірність виявлення Q хоча б однією точкою дорівнює відношенню площі S_Q заштрихованої частини ABCD до площі осередку S. Ймовірність виявлення однією точкою –

P₁ (A) = S₁/S;

двома точками -

P₂ (A) = S₂/S; (2.6)

K – точками -

P_K (A) = S_K/S,

де S₁, S₂, S_K – площі частин, що заштриховані одинарною, подвійною, K – кратною штриховками відповідно.

Густина мережа – кількість точок спостережень (вузлів мережі), що припадає на одиницю площі (1км²) : g = 1/S (1/км²).

Мережа спостережень буде оптимальною, якщо при заданій густині мережі вона забезпечує максимальну ймовірність p виявлення об’єкта пошуку, або при заданому значенні p – мінімальну густину g.

Крок по профілю h та відстань між профілями а прямокутної мережі найменшої густини, що забезпечує виявлення об’єкта з ймовірністю 1, визначається розмірами найбільшого прямокутного осередку, вписаного у контур об’єкта при заданій його орієнтації відносно напряму профілів.

Допоміжні відомості.

Розміри прямокутника найбільшої площі, що вписаний в еліпс із півосями а і b:

Приклад 2.1. На відрізок ОА кидають навмання точку В (рис.2.4). Знайти ймовірність таких подій:

1) довжина меншого з двох відрізок – ОВ і ВА – буде менша, ніж l/3;

2) довжина більшого з двох відрізків – ОВ і ВА – буде більша, ніж 2l/3;

3) довжина більшого з двох відрізків – ОВ і ВА – буде більша, ніж l/3.

Рис. 2.4. До прикладу 2.1

Розв’язання.1. Область сприятливих наслідків складається з двох відрізків ОС і DA, кожен з яких має довжину l/3 (див. рис. 2.4). Ймовірність того, що min (½OB½,½BA½) < l/3 –

P(A₁) = (½OC½+½DA½) / l = 2/3.

1. Область сприятливих наслідків та ж сама, що й у.п. 1. Ймовірність того, що max (½OB½,½BA½) > l/3 – P(A₂) = 2/3.

2. Це достовірна подія. Р(А₃) = 1.

Приклад 2.2. На відрізок ОА довжиною l навмання кидають дві точки – В і С. Знайти ймовірність того, що довжина ВС буде менша, ніж l/3.

Розв’язок. Зведемо задачу з киданням двох точок на відрізок до задачі з киданням однієї точки на плоску область. Позначимо х та у абсциси точок В і С по осі, що являє собою продовження ОА з початком відліку у точці О (рис.2.5 а). Область всіх можливих наслідків (ОМН) визначається умовою

а область сприятливих наслідків (ОСН) –

А : ½х - у½ < l/3.

Остання нерівність еквівалентна такій:

x – l/3 £ y £ x + l/3

або

Область А сприятливих наслідків заштрихована на рис. 2.5 б. Шукана ймовірність дорівнює відношенню площ А і Q:

Рис. 2.5. До прикладу 2.2. Відображення положення двох точок В і С на площині хОу

ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ

2.3. Точку кидають у квадрат. Чому дорівнює ймовірність її потрапляння у коло, що вписане у квадрат?

2.4. Профіль точкових спостережень з кроком по профілю 200 м перетинає геологічну межу у точці С. Знайти ймовірність того, що точка С буде від найближчого пункту спостережень профілю не далі, ніж у 20 м.

Відповідь: 0,2.

2.5. Автобус курсує з інтервалом 10 хвилин. Знайти ймовірність того, що час очікування його на зупинці становитиме:

1) не більше 6 хв;

2) від 2 до 6 хв.

Відповідь: 1) 0,6; 2) 0,4.

2.6. Між двома точками А і В профілю проходить геологічна межа, що перетинає його у точці С. Відрізок АВ ділять на п’ять рівних частин за допомогою чотирьох додаткових точок. Знайти ймовірність таких подій:

1) межа буде розміщена між другою та третьою додатковими точками;

2) точка С віддалена від точки А не далі, як на 2l/3, якщо відомо, що вона знаходиться між третьою та четвертою додатковими точками ( від точки А);

3) довжина АС в межах , якщо відомо, що точка С розташована між третьою та четвертою додатковими точками (від А)

Відповідь: 1) 0,2; 2) 1/3; 3) 5/6.

2.7. Район геологічних робіт досліджується вздовж неперервних паралельних профілів. Відстань між суміжними профілями 2 км. Об’єкт пошуку, обмежений замкненим контуром, виявляється у тому разі, якщо відстань від профілю до найближчої точки контуру не перевищує 50 м.

1. Знайти ймовірність виявлення об’єкта, що має проекцію на перпендикулярний до профілів напрям 500 м.

2. Якою має бути проекція об’єкта пошуку на перпендикулярний до профілів напрям того, що об’єкт пошуку виявляється з ймовірністю одиниця?

Відповідь: 1) 0,3; 2) l³1900 м.

2.8. На відрізок ОА довжиною l навмання кидають дві точки В та С. Знайти ймовірність таких подій:

1) êВСê£l/4;

2) êВСê³l/4;

3) êOВê+êСАê³l;

4) êOВ ê<êCA ê;

5) êOВ ê<êBCê;

6) êOBê<êBCê, коли відомо, що êBСê<êOCê;

7) найближча з точок В та С до точки 0 буде до неї ближче, ніж на l/2.

Відповідь: 1) 7/16; 2) 9/16; 3) 0,5; 5) 0,25; 6) 0,5; 7) 0,75.

2.9. Об’єкти пошуку – круглі в плані, діаметром не менш 500 м. Глибина буріння перевищує глибину їх залягання . Визначити максимальний розмір осередку точкової квадратної мережі свердловини, яка забезпечує виявлення об’єктів пошуку з ймовірністю 1.

Відповідь: 250 »353,6 м.

2.10. Район досліджується точковою квадратною мережею спостережень із відстанню між точками 500 м. Знайти ймовірність того, що центр М об’єкта пошуку буде віддалений від найближчого вузла мережі не далі, ніж на 100 м.

Відповідь: p/25»0,126.

2.11. Об’єкт пошуку – ромбовидне в плані тіло з діагоналями 100 м та 800 м. Крок за профілем прямокутної мережі точкових спостережень – 200 м, відстань між профілями –

2 км. Знайти ймовірність виявлення об’єкта пошуку, якщо він простягається:

1) перпендикулярно до профілів; 2) вздовж профілів.

Відповідь: 1) 0,2; 2) 0,04375.

2.12. Об’єкт пошуку – лінзовидне в плані тіло довжиною L і завширшки L/t, що простягається перпендикулярно до профілів точкової прямокутної мережі спостережень. Відстань між профілями а , крок за профілем . Обчислити ймовірність виявлення об’єкту пошуку, якщо: 1) 2)

Відповідь: 1) 2) .

2.13. Сторона осередку квадратної мережі вертикальних свердловин 1 км. Проекція об’єкта пошуку на горизонтальну площину – прямокутник довжиною 1,8 км і завширшки 0,1 км, причому його сторони паралельні сторонам осередку. Глибина буріння перевищує глибину залягання об’єкта пошуку. Визначити ймовірність перетину об’єкта:

1) хоча б однією свердловиною;

2) однією свердловиною;

3) двома свердловинами;

4) хоча б однією свердловиною регулярної мережі, що має той самий крок за кожним профілем й у ту саму відстань між профілями, проте пункти буріння зміщені на 0,5 км вздовж, проте пункти буріння зміщені на 0,5 км вздовж профілю відносно сусіднього профілю.

5) Які умови мають задовольняти крок за профілем h та відстань а між прямокутної мережі свердловин тієї самої густини, що й початкова, щоб ймовірність перетину об’єкта пошуку хоча б однією свердловиною була б найбільшою?

Відповідь: 1) 0,1; 2) 0,02; 3) 0,08; 4) 0,018; 5) 0,556>h>0,1 (км); 1,8<a<10 (км), ah=1.

ОФОРМЛЕННЯ ЗВІТУ

Звіт про виконану роботу повинен містити пояснювальну записку з вирішеними задачами.

Лабораторна робота № 3

Вибірки і їх подання

МЕТА І ЗАДАЧІ

Метою роботи, яка виконується, є ознайомлення студентів з вибірками та одержання практичних навиків по найбільш поширеним методам їх обробки з використанням сучасної обчислювальної техніки.

ОСНОВНI ТЕОРЕТИЧНI ПОЛОЖЕННЯ

Нагадаємо, що таке вибірка, варіаційний ряд, емпіричний розподіл, групування, гістограма, вибіркові характеристики тощо.

Вибіркою х₁, ..., х_n об’єму n із сукупності, розподіленої по F(х), називається n незалежних спостережень над випадковою величиною x з функцією розподілу F(x).

Варіаціним рядомх₍₁₎£ х₍₂₎£ ... £ х_(n) називається вибірка, записана в порядку зростання її елементів.

Кожному спостереженню з вибірки привласнимо ймовірність, рівну 1/n; отримаємо розподіл, що називають емпіричним; йому відповідає функція емпіричного розподілу

º = ,

де m_n(х) - число членів вибірки, менших х. Значення цієї функції для статистики визначаються тим, що при n ® ¥

® F(x) (теорема Гливенко).

Вибірки великих об’ємів важко відслідковувати; розіб’ємо діапазон значень вибірки на рівні інтервали і підрахуємо для кожного інтервалу частоту- кількість спостережень, потрапивших у нього; відношеня частоти, до загального числа спостережень n, називають відносними частотами; графічне подання розподілу частот по інтервалах - гістограмою; накопиченої частоти для даного інтервалу називають суму частот даного інтервалу і всіх тих, що лівіше нього.

Числові характеристики емпіричного розподілу називаються вибірковими характеристиками: вибіркові середні (математичне очікування), дисперсія:

= , s²=

вибірковий момент порядку к:

m_k = ;

вибіркові квантилі z_p порядку р - корені рівняння

F(z_p)=p,

якими являються члени варіаційного ряду

z_(p)=x_([np]+1),

де [nр] означає цілу частину nр; окремим випадком (p = 0.5) є вибіркова медіана -центральнийчлен варіаційного ряду. Значення вибіркових характеристик полягає в тому, що при n ® ¥ вони прямують до істинних значень розподілу F(х).

Наведемо приклади виконання з допомогою пакету STATISTICA. Вихідні дані наведені в табл.1. E(a) в таблиці означає показовий (експоненціальний) розподіл з математичним очікуванням, рівним a).

таблиця 3.1

¹	Закон	n	a	¹	Закон	n	a
	R [0, 2]		0.03		N (1,4)		0.01
	N(2, 0.25)		0.02		E (5)		0.03
	E (3)		0.01		R [0.3]		0.1
	R [1, 3]		0.02		N (1,4)		0.3
	N (1, 1)		0.01		E (1)		0.2
	E (2)		0.03		R [1,3]		0.03
	R [2, 3]		0.01		N (1,1)		0.02
	N (0, 4)		0.03		E (2)		0.01
	E (3)		0.02		R [2,3]		0.02
	R [0, 2]		0.03		N (2,1)		0.01
	N [2, 1]		0.02		E (3)		0.03
	E (4)		0.01		R [1,2]		0.01

ПОСЛІДОВНІСТЬ ВИКОНАННЯ РОБОТИ

Під час виконання роботи необхідно:

§ згенерувати вихідні вибірки;

§ побудувати варіаційний ряд;

§ побудувати графіки функцій емпіричних розподілів;

§ побудувати гістограми вихідних вибірок;

§ визначити основні вибіркові характеристики;

§ перевірити гіпотези про тип розподілу;

§ побудувати діаграму розсіювання та обчислити кореляційну матрицю двовимірної вибірки;

§ побудувати діаграму розсіювання трьохвимірної вибірки.

Генерація вибірки

Згенеруємо, наприклад, вибірку об’єму n =50 показовим розподілом із середнім значенням 5.

Створимо новий файл:

File - New Data - вкажемо ім’я файлу у вікні File Name : descript (наприклад) - OK. На екрані сітка-таблиця; в її заголовку вказані назви і розміри : 10v * 10c - ( 10 змінних ( variables ) - стовпчиків по 10 спостережень ( cases ) - рядків.

Перетворимо таблицю до розмірів 1´50:

кнопка Vars (на екрані) - Delete; вікно Delete Variables: вкажемо які змінні - стовпчики забрати : From variable : var 2, To variable : var 10 - OK - Кнопка Cases - Add ( додовання ) - вікно Add Cases: вкажемо, скільки рядочків добавити і куда : Number of Cases to Add : 40, Insert after Case : 1 ( наприклад ) - OK.

Згенеруємо вибірку:

виділимо стовпчик - змінну Var1 ( кліком мишки по її заголовку) - нажимаємо праву клавішу – у відкрившомуся меню вибираємо Variable specs ( специфікації змінної ) - в появившомуся вікні Variable 1 введемо Name x ( наприклад ), в нижньому полі Long name вводиться вираз, що означає змінну. Ввід можна зробити набором на клавіатурі чи з допомогою клавіші Functions, вибираючи в меню Kategory і Name потрібну функцію і вставляючи клавішою Insert. Для задання закону розподілу слід ввести, наприклад,

=rnd(2) для R[0, 2],

=Vnormal(rnd(1); 2; 0.5 ) для N(2, s²=0.5²),

=VExpon(rnd(1); 0.2 ) для E(5) з среднім 1/0.2=5; (для нашого прикладу замість значення параметру l=0.2 можна набрати вираз 1/5).

Така форма задання визначається способом генерації: з допомогою функції, оберненої (буква V) до функції розподілу і генератора випадкових чисел R[0, 1] ( rnd(1)).

Роздрукуємо вибірку командою Print меню File.

Подивимося вибірку графічно:

Graphs - Custom Graphs (налаштування графіків) - 2D graphs – у відкритому вікні все можна залишити по замовчуванню - .OK. Спостережуваний графік (рис.3.1) роздруковуємо.

Рисунок 3.1 – Спостереження, розподілені по показовому закону з среднім 5 (n = 50).