Жизнь ставит цели науке; наука освещает путь жизни

Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

м

В МЕНЕДЖМЕНТЕ

етоды решения проблем показывают, что на всех трех стадиях процесса принятия решений, в особенности же на стадии конвергенции – свертывания рассматриваемой проблемной ситуации к конкретному решению – основным фактором успешного исхода является научно обоснованная формализация задачи. Такая формализация позволяет бытующему зачастую в практике менеджмента методу "проб и ошибок" и решениям, основанным только на суждениях, противопоставить четкие количественные оценки ожидаемых результатов принятия того или иного решения. Как было показано, такая формализация успешно осуществляется на основе математического моделирования, которое является неотъемлемой концептуальной частью науки управления, успешно реализуемой в рамках исследования операций. Понимание и использование научных основ исследования операций существенно для руководителя, стремящегося действительно эффективно применить возможности этой дисциплины для того, чтобы реально управлять ситуацией, а не быть рабом обстоятельств. Поскольку сохраняется и усиливается тенденция все большего усложнения современного делового мира, то в роли случайного наблюдателя руководитель не сможет адекватно реагировать на развитие этого мира.

Создание моделей реальных бизнес-проектов и объектов управления является квинтэссенцией операционного подхода к решению задач менеджмента. В исследовании операций моделирование играет роль, аналогичную лабораторному эксперименту в естественных науках. Это тем более важно, что осуществление реального эксперимента в задачах управления может слишком дорого обходиться как в материальной, так и в социальной сфере, о чем упоминалось ранее.

Построение модели помогает привести сложные и подчас непреодолимые факторы, связанные с проблемой принятия решения, в логически стройную схему, доступную для детального анализа. Такая модель позволяет выявить альтернативы решения задачи и оценить результаты, к которым они приводят, а также дает возможность определить, какие данные необходимы для оценки имеющихся альтернатив. В итоге это обеспечивает получение обоснованных выводов. Коротко говоря, модель является средством формирования четкого представления о действительности.

Вследствие сказанного данная глава посвящена особенностям моделирования, анализу типов используемых моделей и основных распространенных в исследовании операций математических моделей, применение которых в менеджменте становится реальностью при современном уровне информационных технологий.

ТИПЫ МОДЕЛЕЙ

Слово "модель" имеет несколько смысловых оттенков, каждый из которых оказывается существенным для исследования операций. Прежде всего "модель" может быть физической копией реального объекта. Примером таких моделей являются, например, уменьшенные копии самолетов и автомобилей, используемые чаще всего для определения аэродинамических характеристик проектируемых конструкций. В таких случаях говорят о физическом моделировании и о физических моделях, воспроизводящих объект исследования во всех основных характеристиках (вплоть до материалов, из которых они изготовлены), но отличающихся от реального объекта меньшими (реже – большими) размерами. Достоинством таких моделей является близость их свойств к свойствам объекта исследования, но, как правило, значительно меньшая стоимость по сравнению со стоимостью реального объекта.

Большая группа моделей, называемых аналоговыми моделями, представляет исследуемый объект его аналогом, в той или иной форме воспроизводящим основные функции реального объекта. Например, участок электрической цепи, подчиняющийся известному закону Ома, может быть электрическим аналогом движения товарной продукции из одного пункта (с высоким потенциалом насыщения рынка) в другой пункт, имеющий меньший уровень насыщенности рынка этим товаром. Аналоговой моделью является и график, описывающий связь между величиной прибыли и объемом производства. Здесь в графической форме отражено функциональное свойство исследуемого объекта – важного экономического показателя предприятия. Часто используемой в менеджменте аналоговой моделью является изображенная графически функциональная или организационная структурная схема, позволяющая в наглядной форме отразить сложные функциональные и организационные связи реального предприятия, фирмы, учреждения и т.п.

В задачах принятия решений большую роль играют математические модели, представляющие собой совокупность математических объектов (чисел, символов, множеств и т.д.) и связей между ними, отражающих в символьной форме важнейшие для исследователя свойства изучаемого объекта. Так, формула Р = ПР/И, определяющая уровень рентабельности (Р) через величины прибыли (ПР) и издержек производства (И), является математической моделью, описывающей одно из важных функциональных свойств действующего предприятия.

В последние годы в менеджменте (да и не только в менеджменте) все большее значение приобретают так называемые семантические модели, отражающие функции исследуемого объекта в виде семантических алгоритмов (правил, свойств, признаков), описанных в словесной форме. Значимость этих моделей особенно возросла в последние годы в связи со ставшими реальными возможностями обработки семантических алгоритмов современными программными средствами.

"Модель", таким образом, является не самой действительностью, а некоторой ее идеализацией, в которой часто отсутствуют определенные детали, а глагол "моделировать" применяется в смысле "определять результаты идеализированного представления". Это понятие может вызывать в сознании образы многочисленных рекламных телепередач, пытающихся в эффектной художественной форме продемонстрировать механизм того "чуда", когда покупатель оказывается "в лоне любви и счастья" сразу же после приобретения рекламируемого товара.

Подводя итог, дадим обобщенное определение модели. Модель – информационный образ реального объекта, воспроизводящий данный объект (систему) с определенной степенью точности и в форме, отличной от формы самого объекта (системы).

В исследовании операций, как правило, используются математические модели, обязательно являющиеся некоторым приближенным отображением действительности. Математическое моделирование – процесс создания модели и оперирование ею с целью получения требуемых сведений о реальном объекте – имеет ряд преимуществ по сравнению с альтернативным физическим моделированием (макетированием). К этим преимуществам, прежде всего, относятся: меньшие сроки на подготовку анализа, значительно меньшая материалоемкость, особенно в крупных проектах, возможность выполнения экспериментов в критических режимах, которые привели бы к разрушению физического макета (а в социальной сфере могли бы привести и к более серьезным последствиям).

Математическая модель должна строиться таким образом, чтобы отражать сущность моделируемой проблемы управления. В то же время модель должна быть достаточно свободной от несущественных деталей, что позволяет отыскивать более эффективное решение, которое можно реализовать на практике. Определение правильного баланса между степенью адекватности модели той действительности, которую она описывает, и возможностью получения из модели реализуемого решения в большинстве случаев представляет собой сложную задачу, и поэтому построение моделей может оказаться делом далеко не легким.

Моделирование большинства объектов управления может выполняться на микро-, макро- и метауровнях, различающихся степенью детализации рассмотрения процессов в объекте, что определяется уровнем решаемой проблемы и задачами исследования.

Требования к математическим моделям

К математическим моделям предъявляются требования универсальности, адекватности и экономичности.

Степень универсальностиматематической модели характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. Поскольку модель отражает лишь некоторые свойства объекта, то важным является установление оптимальной степени универсальности, отвечающей основным задачам исследования. Так, например, при использовании математических моделей в функциональном проектировании, они предназначены для отображения протекающих в объекте функциональных процессов (например, денежных потоков в действующем предприятии). При этом не требуется, чтобы модель описывала другие свойства объекта (например, размеры окон в производственных зданиях предприятия), что, впрочем, может потребоваться при решении каких-либо других задач управления (например, оптимизации условий труда работников).

Адекватность математической модели – это ее способность отображать заданные свойства объекта с погрешностью, не выше заданной. При этом часто говорят о точности модели, которая оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью рассматриваемой математической модели.

Экономичность математической модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов (затратами машинного времени и памяти) на ее реализацию. Чем меньше эти затраты ресурсов, тем модель экономичнее. Следует, впрочем, отметить, что это свойство моделей в связи с бурным развитием информационных технологий в последнее время все в большей степени утрачивает свое значение, оставаясь важным разве что для моделей супермасштабных проектов.

Классификация математических моделей

Основные признаки классификации и типы математических моделей, которые могут использоваться в задачах менеджмента, приведены в таблице.

Признак классификации	Математические модели
Характер отображаемых свойств объекта	Структурные; функциональные
Принадлежность к иерархическому уровню	Микроуровня; макроуровня; мета- уровня
Степень детализации описания внутри одного уровня	Полные; макромодели
Способ представления свойств объекта	Аналитические, алгоритмические, имитационные, семантические
Способ получения модели	Теоретические, эмпирические

По характеру отображаемых свойств объекта математические модели делятся на структурные и функциональные.

Структурные математические модели предназначены для отображения структурных свойств объекта и делятся на топологические и геометрические.

В топологических моделях отображаются состав и взаимосвязи элементов объекта. Их чаще всего применяют для описания объектов, состоящих из большого числа элементов, при решении задач привязки их к определенным пространственным позициям (например, в транспортной системе) или к относительным моментам времени (например, при разработке расписаний). Топологические модели могут иметь форму графов, таблиц (матриц), списков и т.п.

Вгеометрических моделях, дополнительно к сведениям о взаимном расположении элементов, содержатся сведения о форме компонентов объекта. Эти модели применяют при решении различных задач проектирования (например, зданий, парковых зон и т.п.).

Функциональные математические модели предназначены для отображения процессов (физических или информационных), протекающих в объекте при его функционировании или изготовлении. Обычно функциональные модели содержат алгоритмы, связывающие фазовые переменные, внутренние, внешние или выходные параметры. Деление описаний объектов на аспекты и иерархические уровни непосредственно касается математических моделей. Выделение аспектов описания позволяет выделять комплексы алгоритмов, относящихся к той или иной сфере деятельности объекта, и проводить декомпозицию модели по этому (аспектному) признаку. Деление объектов на иерархические уровни приводит к определенным уровням моделирования, иерархия которых определяется как сложностью объектов, так и возможностью средств управления.

В зависимости от места в иерархии описаний математические модели делятся на микро-, макро- и метамодели. Эти модели по своей структуре и содержащимся в них математических объектах могут не отличаться (что позволяет применять одинаковые алгоритмы их решения). Их отличие состоит в основном в том, что на более высоком уровне иерархии компоненты модели принимают вид достаточно сложных совокупностей элементов предыдущего уровня. Этими же аспектами определяется и разделение моделей по степени детализации описаний объектов.

Различия в моделях по способу представления свойств объекта и по способу получения модели подробнее изложены в последующих разделах при описании конкретных типов математических моделей.

ПОНЯТИЕ О СИСТЕМАХ

Основополагающим принципом исследования операций является, как отмечалось выше, системный подход. Именно использование понятия "система" применительно к объектам управления позволяет, с одной стороны, глубже понять взаимосвязь компонентов объекта и его связи с внешней средой, с другой стороны – грамотно расчленить задачу принятия решения на уровни иерархии, обеспечивая тем самым возможность построить математическую модель приемлемой сложности и достаточной полноты.

Развитие народного хозяйства, науки, техники приводит к усложнению как самих объектов управления, так и устройств передачи, обработки и отображения информации, предназначенных для реализации алгоритмов как автоматического, так и автоматизированного управления этими объектами. Возрастающие по сложности задачи могут быть решены только системой, состоящей из совокупности различных устройств, производящих сбор, передачу, обработку, хранение, отображение и выдачу информации.

Понятие «система» употребляется в различных областях науки и техники и других областях человеческой деятельности. Астрономы используют понятие «солнечная система», математики – «система уравнений», физиологи – «система пищеварения», экономисты – «финансовая система», актеры – «система Станиславского» и т.д. Общим во всех этих вариантах употребления термина «система» является то, что ему сопутствует понятие некоторой упорядоченности множества элементов, наличие связей между элементами. В словаре русского языка Даля система определяется как «план, порядок расположения целого». По определению Большого энциклопедического словаря, система – «объективное единство закономерно связанных друг с другом предметов, явлений, а также знаний о природе и обществе». В основу понятия «система» положено наличие связей между объединяемыми в систему элементами; эти связи должны определяться некоторыми общими правилами или принципами. Рассмотрим некоторую совокупность элементов и в соответствии с каким-то принципом объединим их все или часть в систему; рассмотрев эту же совокупность элементов или часть ее и объединив их в соответствии с другим принципом, мы получим уже другую систему. Поэтому справедливо утверждение, что характеристики системы в целом определяются как характеристиками входящих в ее состав элементов, так и характеристиками связей между ними. Существенным свойством системы является наличие некоторой «глобальной» цели, общей для системы в целом. Следует отметить, что собственные цели элементов, входящих в систему, могут быть различны и не всегда совпадают с общей целью системы. Взаимодействие элементов в системе часто таково, что изменение одной или нескольких связей между элементами приводят к изменению других связей. Иными словами, взаимосвязи элементов в системе являются существенными обстоятельствами, которые необходимо учитывать при анализе системы.

Применительно к сложным системам (в частности, к техническим) системой является совокупность взаимодействующих элементов, объединенных единством цели и общими целенаправленными правилами взаимоотношений. Причем, под совокупностью элементов здесь следует понимать не просто набор элементов, хотя бы и с общими признаками, а набор, который позволяет иметь у системы некоторую общую характеристику. Эта характеристика, хотя и зависит от характеристик отдельных элементов, но не присуща ни отдельному элементу, ни набору взаимосвязанных элементов. Взаимосвязь же элементов будем понимать так, что элементы, не имеющие взаимосвязи или взаимовлияния с другими элементами системы, не принадлежат данной системе.

Система характеризуется набором свойств. Свойства зависят от набора элементов, их состояния в данный момент и взаимосвязей между элементами. Естественно, что свойства системы могут меняться во времени. Из множества М свойств системы можно выделить существенные, важные для данного исследования (или вообще какого-то элемента окружения системы). Так как окружение системы может меняться, и могут меняться задачи и этапы исследования системы, то тот набор свойств, который был существенным в момент t

H(t) Î M,

в другой момент времени t¢ может быть другим