Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности

Существует внутренний критерий сходимости последовательности исходя из величины элементов. Для формулировки этого критерия введем понятие фундаментальной последовательности.

Определение

Последовательность Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru называется фундаментальной, если Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru , такой, что для всех номеров n, удовлетворяющих условию Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru и для всех натуральных чисел p (p=1,2,…) справедливо неравенство

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru

Теорема 1

Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной и чтобы нижний и верхний пределы ее совпадали, то есть Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru

Теорема 2 (важное свойство фундаментальной последовательности)

Для Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru фундаментальной последовательности, Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru - окрестности которого находятся все элементы последовательности, начиная с номера N.

Другими словами, вне интервала Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru находится не более чем конечное число элементов последовательности.

Отмеченное свойство позволяет установить ограниченность фундаментальной последовательности.

Пусть Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru и Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru - элемент, в Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru - окрестности которого находятся все элементы, начиная с номера N. Тогда вне этой Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru - окрестности могут находиться только элементы Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru . Положим Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru . Тогда на сегменте [-A,A] находятся числа Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru , а следовательно, и все точки Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru - окрестности числа Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru . Отсюда вытекает, что все элементы фундаментальной последовательности находятся на сегменте [-A,A], что и означает ее ограниченность.

Теорема. Критерий Коши сходимости последовательности.

Для того, чтобы последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство

Необходимость

Пусть Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru - сходящаяся, и х – ее предел. Требуется доказать, что эта последовательность фундаментальная.

Возьмем Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru . Из определения сходимости последовательности вытекает, что для Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru , такой, что при Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru выполняется неравенство Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru . Если Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru , то при Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru выполняется также и неравенство Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru . Из последних неравенств получаем

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru . Фундаментальность установлена.

Достаточность

Пусть Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru - фундаментальная последовательность. Требуется доказать, что эта последовательность сходится. Для этого достаточно доказать ограниченность Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru и равенство ее верхнего и нижнего пределов Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru и Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru . Ограниченность фундаментальной последовательности уже была установлена выше. Для доказательства равенства пределов воспользуемся рассмотренным ранее свойством фундаментальной последовательности: Для Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru фундаментальной последовательности, в Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru - окрестности которого находятся все элементы последовательности, начиная с номера N.

Другими словами, вне интервала Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru находится не более чем конечное число элементов последовательности.

На основании теоремы: (у всякой ограниченной последовательности существует хотя бы одна предельная точка и следствия из данной теоремы) интервал Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru содержит интервал Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru , и поэтому Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru , откуда в силу произвольности Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности - student2.ru . Тем самым сходимость установлена и теорема доказана.

Наши рекомендации