Методика розв’язання задачі
Гіроскопи. Гіроскопічний момент
Гіроскоп – це аксіально-симетричне тіло, приведене у швидке обертання навколо своєї осі симетрії. Такі пристрої досить широко використовуються в техніці, а прикладами можуть бути звичайна дзиґа, вал двигуна, гіростабілізатор тощо.
Знайдемо напрям руху осі гіроскопа, якщо до його осі прикласти силу 
. Гіроскоп „не слухається” нас, бо замість того, щоб рухатись за напрямком сили (на рис. 7.1 вздовж осі 
), він повертається в перпендикулярній до площині. Така поведінка осі гіроскопа отримала назву гіроскопічного ефекту. Зауважимо, що якби гіроскоп не обертався, то під дією сили його вісь здійснювала рух (падіння) в напрямі дії сили .
| Рис. 7.1 |
Щоб пояснити поведінку гіроскопа скористаємося теоремою про зміну моменту імпульсу 
. (7.1)
Отже, зміна моменту імпульсу гіроскопа (тобто орієнтації його осі) визначається не прикладеною силою, а моментом, який створює ця сила відносно точки закріплення. В нашому випадку прикладена сила створює момент
, (7.2)
який спрямований перпендикулярно рисунку і спрямований від нас (в напрямі, протилежному осі 
).
Прецесія гіроскопа
Розглянемо спрощену теорію руху гіроскопа. Нахилимо вісь гіроскопа, який закріплений в точці 
та обертається з великою кутовою швидкістю 
, навколо власної осі. Відпустивши його, ми побачимо, що вісь гіроскопа почне повільно повертатися з кутовою швидкістю 
навколо нерухомої вертикальної осі 
(рис. 7.2). Такий рух осі гіроскопа називається преце 
| Рис. 7.2 |
Причини такої поведінки осі гіроскопу наступні. Згідно з основним рівнянням обертального руху (7.1), вектор зміни моменту імпульсу 
спрямований у тому ж напрямі, що і вектор моменту зовнішніх сил 
відносно точки закріплення 
. Момент створює сила тяжіння
, (7.3)
і напрям моменту зовнішніх сил в кожний момент часу перпендикулярний як вектору силі тяжіння 
, так і вектору 
. Отож, 
в кожний момент часу (дивись рис. 7.2). Цей факт приводить до того, що вектор моменту імпульсу гіроскопу 
під дією сили тяжіння, не змінює свій модуль, а змінює тільки свою орієнтацію в кожний момент часу перпендикулярно осі симетрії гіроскопа. Отже, незакріплений кінець осі гіроскопа починає рух по колу, центр якого знаходиться на осі 
.
Кутову швидкість прецесії 
обчислюють за формулою
. (7.4)
Таким чином, кутова швидкість прецесії прямо пропорційна величині діючого моменту сил 
і обернено пропорційна величині моменту імпульсу гіроскопа 
та не залежить від кута нахилу осі гіроскопа до вертикалі. Звернемо увагу, що кутова швидкість прецесії 
обернено пропорційна власній кутовій швидкості обертання 
гіроскопа.
Момент гіроскопічних сил
| Рис. 7.3 |
Тепер розглянемо гіроскоп, вісь якого закріплена. Визначимо взаємодію осі з підшипниками, коли змінюється орієнтація осі. При зміні орієнтації осі, яка відповідає рис. 7.3, відбувається зміна моменту імпульсу гіроскопа 
, яку викликають сили 
та 
, що діють на вісь гіроскопа, як сили тиску, який здійснюють підшипники 
та 
на вісь гіроскопа при зміні її орієнтації. Оскільки підшипники діють на вісь гіроскопа з силами 
та 
тоді за третім законом динаміки вісь гіроскопа буде діяти на підшипники та 
з такими ж за величиною силами 
та 
, які мають протилежний напрями.
Пару сил 
, називають гіроскопічною парою, а момент, який вони утворюють 
– гіроскопічний момент
де
- момент інерції гіроскопа,
- його кутова швидкість обертання,
- кутова швидкість (змушеної прецесії) повороту осі гіроскопа під дією зовнішніх сил.
Отже момент гіроскопічних сил дорівнює векторному добутку моменту імпульсу 
на вектор кутової швидкості 
.
Для визначення напряму моменту гіроскопічних сил зручно користуватися правилом Жуковського: якщо змінювати орієнтацію вісі гіроскопа (викликати змушену прецесію), то на підшипники, в яких закріплена вісь гіроскопа, буде діяти гіроскопічна пара з моментом 
, яка намагається найкоротшим шляхом встановити вісь гіроскопа паралельно вісі прецесії (вимушеного обертання), так, щоб вектора кутових швидкостей 
та 
співпали. (рис. 7.3).
Модуль моменту гіроскопічних сил знаходимо за формулою
,
Виникнення гіроскопічних сил при вимушеному повороті осей тіл, які обертаються з великими кутовими швидкостями, відіграє важливу роль в техніці.
Контрольні запитання
1. Яке тверде тіло називається гіроскопом?
2. Як поводить себе вільний гіроскоп у кардановому підвісі в інерціальній системі відліку.
3. Пояснить рух осі гіроскопа, закріпленого в одній точці, під дією зовнішніх сил.
4. Від чого залежить кутова швидкість прецесії гіроскопа?
5. Коли виникає гіроскопічний момент і як він спрямований?
6. Запишіть формулу для обчислення гіроскопічного моменту та поясніть її складові.
7. Як взаємно зорієнтовані вектори гіроскопічного моменту та вектор зміни моменту імпульсу гіроскопу?
8. Чому дорівнює гіроскопічний момент валу гвинта судна при наявності тільки бортової хитавиці?
Методика розв’язання задачі
1. По заданій кутовій швидкості обертання 
гіроскопа та його моменту інерції визначаємо напрям та величину моменту імпульсу 
.
2. Зміна орієнтації судна (змушеної прецесії) визначається вектором 
.
3. Напрям пари гіроскопічних сил 
та 
визначаємо за правилом Жуковського.
4. Вектор гіроскопічного моменту 
та його модуль визначаємо за правилом векторного добутку:
= 
,
= 
.
5. Після цього визначаємо величину гіроскопічних сил та .
| Рис. 7.4. |
= 200 рад/с. Загальний момент інерції турбіни 
= 300 кг·м2, а відстань між підшипниками 
= 1,2 м. Знайти величини та напрями гіроскопічного моменту 
і сил ( та ), з якими вісь гіроскопа будедіяти на підшипники, в той момент, коли ніс судна піднімаючись проходить положення рівноваги (рис. 7.4). В процесі руху судно здійснює кільові коливання з амплітудою 
та періодом 
30 c. Вказати вектори: моменту імпульсу 
, зміни моменту імпульсу 
, гіроскопічний момент сил та пару сил та .
Розв’язання.Вектор моменту імпульсу 
спрямований вздовж вектора кутової швидкості 
турбіни.
Закон зміни кута деферента судна має вигляд
,
тому для кутової швидкості судна при кільових нахилах отримуємо
.
В момент проходження положення рівноваги кутова швидкість досягає максимального значення, яке дорівнює
рад/с
| Рис. 7.5 |
Коли ніс судна піднімається, то вектор 
спрямований перпендикулярно рисунку до нас (рис. 7.5). Отже, зміна 
вектора моменту імпульсу турбіни буде спрямована на вертикально вгору (рис. 7.5). Зміна моменту імпульсу згідно з теоремою Резаля викликає гіроскопічний момент 
, який визначаємо за формулою
= 
,
а його напрям визначаємо шляхом повороту вектора 
до вектора 
за найкоротшим шляхом (правило Жуковського). Він спрямований у вертикально вниз (рис. 7.6).
| Рис. 7.6 |
Звернемо увагу, що напрям вектора зміни моменту імпульсу турбіни за проміжок часу 
має напрям протилежний (рис. 7.6). Маючи на увазі, що вектори кутових швидкостей в нашому прикладі перпендикулярні, для модуль гіроскопічного моменту отримаємо 
= 300·200·0,02 = 1200 Н·м.
Гіроскопічний момент створює пару сил та ( –напрямлена до нас та – від нас), які діють на підшипники (рис. 7.6). Величина цих сил та зв’язані з гіроскопічним моментом наступним чином
= 
= 
= 1200/1,2 = 1000 H.
Зауважимо, що величини сил тиску значні і двічі за період змінюють свій напрямок на протилежний, що зумовлює руйнування підшипників, а тому необхідно їх враховувати при розрахунках підшипників.
Через підшипники сили гіроскопічного тиску передаються корпусу судна, які в нашому випадку намагаються повернути корпус судна праворуч (рис. 7.6).
Відповідь: 
= 1200 Н·м, 
= 
= 1000 H.
Приклад 2. Судно здійснює усталену циркуляцію на правий борт (рис. 7.7). Радіус циркуляції 
= 0,2 милі, а швидкість руху центра мас судна
= 23 вузли.
| Рис. 7.7 |
Знайти момент гіроскопічних сил 
та величину сил 
, що діють на підшипники гребного вала, якщо відстань між підшипниками 
= 3 м. Загальний момент інерції гвинта та вала 
= 4000 кг·м2, момент сили, яка передається на гвинт 
= 1050 кН·м, а коефіцієнти опору обертанні гребного вала 
= 10040 кг·м2.
На двох рисунках (вид на горизонтальну та профільну площини) вказати вектори 
кутової швидкості обертання гвинта та 
кутової швидкості зміни орієнтації судна, а також вектори моменту імпульсу 
, зміни моменту імпульсу 
, момент гіроскопічних сил 
та пару сил ( 
).
Розв’язання
Запишемо диференціальне рівняння обертального руху гвинта судна
.
З умови усталеного режиму роботи гвинта отримуємо
,
звідки знаходимо кутову швидкості обертання гвинта
рад/с.
Визначимо кутову швидкість зміни орієнтації судна при здійсненні циркуляції (рис. 7.7)
| Рис. 7.8. |
рад/с У випадку циркуляції на правий борт вектор 
направлений вздовж вертикальної осі вниз у проекції на профільну площину (рис. 7.8). При зміні орієнтації осі відбувається зміна моменту імпульсу гвинта та вала 
(у нашому випадку цей вектор спрямований від нас у проекції на горизонтальну площину (рис. 7.9) і вгору у проекції на горизонтальну площину). Вектор викликають сили 
та 
, що діють на вісь гіроскопа.
Виникаючий гіроскопічний момент дорівнює
= .
| Рис. 7.9. |
Напрям гіроскопічного моменту визначаємо шляхом повороту вектора до вектора за найкоротшим шляхом (правило Жуковського). Звернемо увагу, що напрям вектора зміни моменту імпульсу вала та гвинта за проміжок часу має напрям протилежний (рис. 7.8 та 7.9). Маючи на увазі, що вектори кутових швидкостей в нашому прикладі перпендикулярні, визначаємо модуль гіроскопічного моменту = 4000 10,23 0,032 = 1309 Н·м.
Гіроскопічний момент створює пару сил та з якими вал діє на підшипники (дивись проекцію на фронтальну площину). Сили, що діють на підшипники зв’язані з гіроскопічним моментом наступним чином
= = = 1310/2 = 655 H.
Через підшипники сили гіроскопічного тиску та передаються корпусу судна, які в нашому випадку намагаються викликати поворот корпуса судна довкола горизонтальний осі так, щоб підняти ніс та занурити корму.
Відповідь: = 1310 Н·м, = = 655 H.
Зауважимо, що у випадку лівого повороту судна при такому ж напрямі 
виникає гіроскопічний момент протилежного напряму. У такому випадку сили гіроскопічного тиску та будуть намагаються викликати поворот корпуса судна довкола горизонтальний осі так, щоб занурити ніс.
Таким чином, гіроскопічні ефекти треба брати до уваги при управлінні судном. В залежності від напрямку обертання валу та гвинта і напрямку зміни орієнтації судна, в момент повороту судно набуває деферента на корму або на ніс.
Приклад 3. Визначити максимальний момент гіроскопічних сил та максимальну силу тиску на підшипники вісі сепаратора, що знаходиться на судні. В процесі руху судно здійснює бортові коливання з амплітудою 
та періодом 
=18 c. Вісь сепаратора розташована вертикально, барабан має масу 
= 200 кг, радіус інерції 
= 0,8 м. Барабан обертається зі швидкістю 
= 9 000 об/хв, а віддаль між підшипниками 
= 0,6 м (рис. 7.10).
На двох рисунках (вид на профільну та фронтальну площини) вказати вектори кутової швидкості обертання барабана сепаратора та кутової швидкості зміни орієнтації судна при нахилі на правий борт, а також вектори моменту імпульсу , зміни моменту імпульсу , моменту гіроскопічних сил та пару сил ( ).
| Рис. 7.10. |
Закон зміни кута крену судна має вигляд
,
тому для кутової швидкості судна при бортових коливаннях отримуємо
.
Оскільки вісь барабана сепаратора та вісь його змушених коливань взаємно перпендикулярні, то для моменту гіроскопічних сил отримуємо
.
З врахування виразу для моменту інерції барабана сепаратора
знаходимо
.
Тоді для сили тиску на підшипниках маємо:
,
З останніх виразів видно, що гіроскопічний момент та, відповідно, сила тиску на підшипники, мають максимальні значення в момент, коли судно проходить положення рівноваги.
Ці вирази дозволяють знайти максимальне значення моменту гіроскопічних сил
та максимальне значення для сили тиску на підшипники
Для того, щоб скористуватися останніми формулами, переведемо характеристики руху до системи СІ:
= 942 рад/с,
= 0,209 рад.
Підставляючи чисельні значення, отримуємо:
= 8792 Н·м,
= 
= 14653 Н.
Вектор гіроскопічного моменту лежить у горизонтальній площині і спрямований у правий чи лівий борт в залежності від напряму проходження положення рівноваги. На рис. 7.10 та 7.11 він вказаний для ситуації, коли судно нахиляється на правий борт.
| Рис. 7.11. |
Сили, що діють з боку осі барабана на підшипники лежать у вертикальній площині паралельний діаметральній площині судна і спрямовані вздовж горизонту. Зауважимо, що ці сили в даному прикладі в 7,5 раз більші за сили статичного тиску
на упорний підшипник та кожні 9 секунд змінюють свій напрямок на протилежний, що може привести до руйнування підшипників.