Построение контрольных карт по количественным признакам

Задача № 2

Теоретическая часть

Контрольные карты используются для статистического контроля и регулирования технологического процесса. На контрольную карту наносят значения некоторой статистической характеристики (точки), рассчитываемые по данным выборок в порядке их получения, верхнюю и нижнюю контрольные границы К_в (или UCL) и К_н (или LCL), верхнюю и нижнюю границы технических допусков Т_в и Т_н (при их наличии), а также среднюю линию (CL). Иногда используют также предупредительные границы К_п. Для расчёта границ и построения контрольной карты используют обычно 20...30 точек. Пример контрольной карты представлен на рис. 2.1.

Рис.2.1. Пример контрольной карты.

По положению точек относительно границ судят о налаженности или разлаженности технологического процесса. Обычно процесс считают разлаженным в следующих случаях:

1. Некоторые точки выходят за контрольные пределы.

2. Серия из семи точек оказывается по одну сторону от средней линии. Кроме того, если по одну сторону от средней линии находятся:

а) десять из серии в одиннадцать точек

б) двенадцать из четырнадцати точек

в) шестнадцать из двадцати точек

3. Имеется тренд (дрейф), т.е. точки образуют непрерывно повышающуюся или непрерывно понижающуюся кривую.

4. Две – три точки оказываются за предупредительными двухсигмовыми границами

5. Приближение к центральной линии. Если большинство точек находится внутри полуторасигмовых линий, это значит, что в подгруппах смешиваются данные из различных распределений

6. Имеет место периодичность, т.е. то подъём, то спад с примерно одинаковыми интервалами времени

7. Контрольные границы шире поля допуска. В идеальном случае достаточно, чтобы контрольные границы составляли ¾ величины поля допуска.

Если процесс налажен (достигнута необходимая точность и стабильность), на контрольную карту продолжают наносить точки, но через 20...30 точек пересчитывают контрольные границы. Они должны совпадать с исходными границами. Если контрольная карта показывает, что процесс разлажен, находят причины разладки и производят наладку.

Бывают контрольные карты по количественным признакам (для непрерывных значений) и по качественным признакам (для дискретных значений). По количественным признакам используют в основном следующие контрольные карты:

- карта средних арифметических значений ( -карта)

- карта медиан ( -карта)

- карта средних квадратичных отклонений (s-карта)

- карта размахов (R-карта)

- карта индивидуальных значений (x-карта)

Карта средних значений используется для контроля отклонения параметра от нормы и настройки на норму. Точки на контрольной карте – это средние значения небольших выборок, обычно одинакового объёма, из 3...10 элементов:

, (2.1)

где n – объём выборки (подгруппы).

Для получения выборок можно также использовать результаты измерений, проводившихся через одинаковые промежутки времени, путём разбиения их на группы.

Средние значения выборок находят с одним лишним знаком по сравнению с исходными данными. Среднюю линию рассчитывают как среднее из средних значений выборок:

, (2.2)

где k – число подгрупп (число точек). Обычно k = 20...30.

Контрольные границы рассчитывают по формуле

, (2.3)

_, (2.4)

где - среднее квадратичное отклонение всей совокупности данных.

В этом выражении (как и при расчёте контрольных границ для других видов контрольных карт) коэффициент 3 используется, исходя из правила трёх сигм.

Карта медианиспользуется вместо карты средних значений, когда хотят упростить расчёты. Точки на карте – это медианы выборок одинакового объёма из 3...10 элементов. Медиана – это при нечётном объёме выборки середина вариационного ряда, при чётном объёме выборки – среднее из двух значений середины вариационного ряда.

Средняя линия - это среднее из медиан выборок. Контрольные границы находят по формуле

_. (2.5)

Карта медиан менее точна, чем карта средних значений. При использовании для расчётов компьютера применение карты медиан вместо карты средних значений вряд ли оправдано.

Карта средних квадратичных отклонений используется для контроля рассеяния показателя. Точки на карте – средние квадратичные отклонения выборок одинакового объёма из 3...10 элементов. Средняя линия - это среднее из СКО выборок. Контрольные границы:

, (2.6)

где c² – критерий Пирсона, n –объём выборки, a - уровень значимости. Обычно принимают a = 0,0027, что соответствует доверительной вероятности 0,9973. Часто на s-карте используют только верхнюю границу.

Карта размахов используется вместо карты средних квадратичных отклонений, когда хотят упростить расчёты. При этом карта размахов менее точна.

При построении R-карты берут 20...30 выборок одинакового объёма из 2...10 элементов. Точки на карте – размахи выборок. Размах выборки R – это разность между максимальным x_max и минимальным x_min значениями выборки. Средняя линия - это среднее размахов выборок. Контрольные границы рассчитывают по формулам:

, (2.7)

При уровне значимости 0,0027 коэффициенты D₃ и D₄ можно найти из табл. 2.1. При n<7 нижняя контрольная граница не используется.

Таблица 2.1

Значения коэффициентов

n
D3	-	-	-	-	-	0,076	0,136	0,184	0,223
D4	3,267	2,575	2,282	2,115	2,004	1,924	1,864	1,816	1,777

Часто при статистическом регулировании технологических процессов используют двойные карты, отражающие как отклонение параметра от нормы, так и его рассеяние. Это могут быть, например, -карты или другие.

Порядок выполнения работы

В соответствии с исходными данными выполнить расчеты и построить контрольную -карту (средних значений и размахов) по результатам измерения некоторого параметра качества. Провести статистический анализ процесса. Для удобства ведения расчетов данные свести в таблицу.

Исходные данные

1 вариант

2 вариант

3 вариант

4 вариант

5 вариант

6 вариант

7 вариант

8 вариант

9 вариант

0 вариант

Вариант выбирается по предпоследней цифре шифра студента