Визначення значень функції F(t) по часткових інтервалах у випадку нормального закону розподілу

Показники	Границі часткових інтервалів, г
0...150	150...300	300...450	450...600	600...750	750...900
1. Верхня границя інтервалу ТВі
2.	-2,11	-1,05		1,05	2,11	3,16
3. F(t) =Æ(хі)	0,018	0,147	0,5	0,853	0,982	0,999

4.2. Методика визначення теоретичної функції розподілу у випадку закона Вейбулла-Гнєденко

Теоретична функція розподілу F(t) по закону Вейбулла-Гнєденко має вид:

(3.8)

де а – параметр розмірності теоретичного розподілу;

b– параметр форми теоретичного розподілу.

Параметри “а” та “b” можна знайти за допомогою таблиці (додаток 6).

Тобто, нехай, на прикладі дослідної інформації напрацювання колінчастих валів до першого відказу коефіцієнт варіації n = 0,47 при s = 1,055 тис. м.-г. тоді по додатку 6 значення коефіцієнтів розподілу Вейбулла-Гнєденка: в = 2,24; С_в = 0,418; К_в = 0,886.

Тоді визначаємо параметр “а” [1, 4, 5]:

тис. мото-г.

Уточнюємо середнє напрацювання до першого відказу:

Значення функції F(t) по кожному із часткових інтервалів відповідно Т_Ві (верхня границя часткового і-го інтервала) можна визначити по додатку 7. При чому верхні границі часткових інтервалів ( з урахуванням варіанту завдання – додатки 1 або 2) беруть з поправкою на величину t_зм. Наприклад, якщо в додатку 2 (варіант 1) границю 1-го часткового інтервалу дорівнює “0,5-1,5” тис. мото-г., то з урахуванням поправки – величина t_зм = 0,5 тис. мото-г. Тоді Т_Ві для першого часткового інтервалу буде дорівнювати Т_Ві =1,0 тис. мото-г. З додатка 7 відповідно для b= 2,24 та можна встановити методом подвійної інтерполяції, що F(t) = 0,122. Аналогічно визначають значення F(t) для всіх часткових інтервалів ряду розподілу Т₁.

Результати визначення значень функції F(t) подають у вигляді табл. 3.7.

Таблиця 3.7

Визначення значень функції F(t) по часткових інтервалах у випадку розподілу Вейбулла-Гнєденко (додаток – 2, варіант – 1)

Параметри	t, тис. мото-г.
0...1	1...2	2...3	3...4	4...5	5...6
1. ТВі
2. ТВі/а	0,397	0,793	1,190	1,587	1,984	2,385
3. F(t)і	0,122	0,455	0,778	0,938	0,990	0,997

Але використовуючи табличні дані функції F(t)_і (додаток 7) та метод подвійної інтерполяції ми можемо зробити значні похибки у визначенні інтегральної функції. Тому можна скористатися програмою для визначення функції F(t) (3.7), дивись табл. 3.8., або скористатися розрахунковою таблицею 3.9 з використанням інженерного калькулятора.

Таблиця 3.8

Програма для визначення значень F(t)і по часткових інтервалах ряду

10 REM-OHREDEL FUNK

20 DIN T(50), F(50)

30 PRINT “KOLI INTERVALOW – N1”

40 INPUT N1

50 PRINT “A,B”

60 INPUT A,B

70 FOR J=TO N1

80 PRINT “WWERXNEE 1-KOL “J” – GO INTER”

90 PRINT T(J)

100 F(J)=1-1/(EXP((T(J)/A) B))

105 PRINT F(J)

110 NEXT J

120 END

Таблиця 3.9

Розрахункова таблиця для визначення значень функції F(t) по часткових інтервалах ряду (з використанням інженерного калькулятора

а = 2,52 тис. мото-г. в = 2,24)

Параметри	Граничні інтервали ( t з урахуванням tзм) тис. мото-г.
0...1	1...2	2...3	3...4	4...5	5...6
ТВі
ТВі/а	0,397	0,793	1,190	1,587	1,984	2,385
х = (ТВі/а)в	0,126	0,595	1,476	2,814	4,640	7,008
е-х	0,881	0,552	0,228	0,060	0,010	0,001
F(t) = 1- е-х	0,119	0,448	0,772	0,940	0,990	0,999

Значення F(t_і) (з табл. 3.7 або 3.9) використовують для побудови графіка теоретичної інтегральної функції в тих же осях координат, що і дослідна інтегральна функція розподілу на рис. 3.4, причому розрахункові значення F(t) відповідають верхнім границям часткових інтервалів (без поправки на t_зм).

3.8. Превірка відповідності між виробами теоретичним законом та емпіричним розподілом напрацювання виробу до відказу (клинових пасів або колінчастих валів) можна виконати з використанням одного з критеріїв згоди [1,4,5], який підтверджує або спростовує статистичну гіпотезу про вид вибраного теоретичного закону розподілу з прийнятим рівнем значущості b. Звичайно, в технічних розрахунках приймають b рівним 0,1, тобто допускають тим самим в 10 випадках із 100 є можливість похибки першого роду, зв’язаної з риском відкинути вірну статистичну гіпотезу. Стосовно до завдання, що розглядається, пропонується проводити перевірку відповідності теоретичного та емпіричного розподілу по критерію згоди l О.М. Колмогорова [4,5]. Для цього в табл. 3.10 визначають максимальне абсолютне значення різниці Д_max між емпіричною та теоретичною інтегральними функціями розподілу для окремих і-их часткових інтервалів, тобто [1,4,5]:

(3.8)

Таблиця 3.10

Перевірка відповідності емпіричного та теоретичного розподілів напрацювання клинових пасів до першого відказу по критерію l

Границі часткових інтервалів, г	0...150	150...300	300...450	450...600	600...750	750...900
Верхня границя інтервала ТВі г.
	-2,11	-1,05		1,05	2,11	3,16
Æ(хі)	0,018	0,147	0,500	0,853	0,982	0,999
Fl(ti) = Smi/N	0,025	0,125	0,475	0,900	0,975	1,000
D =	0,007	0,022	0,025	0,047	0,007	0,001

Як виходить з табл. 3.10 Д_max = 0,047. Тоді розрахункове значення критерія відповідно [1,4]

Для l = 0,297 по додатку 8 знаходимо значення Р(l) = 1,0. Оскільки значення Р(l) більше прийнятого рівня значущості b = 0,1, то прийнята гіпотеза про можливість узгодження нормального розподілу з емпіричним розподілом напрацювання клинових пасів до першого відказу не відкидається. Теж можна сказати про відповідність теоретичного та емпіричного розподілів.

3.9. Інтервальна оцінка середнього напрацювання клинових пасів до першого відказу на відміну від точкової оцінки (шляхом підрахунку середнього арифметичного значення) дозволяє одержати результат з наперед заданою вірогідністю або довірчою ймовірністю a, яку в практичних розрахунках приймають рівною 0,8 або 0,9.

Нижню Т_н1 та верхню Т_В1 границі довірчого інтервала для середнього напрацювання визначають по рівнянню:

(3.9)

(3.10)

де t_a(n)– квантиль розподілу t_a Стьюдента зі степенями n = N-1 вільності для статичної вибірки з N значень (додаток 9).

Для a = 0,9 та N = 40 квантиль t до (39)/ = 0,206. Тоді в даному прикладі:

Т_Н1= 450 - 0,206 142,3 = 421,7 г.;

Т_В1 = 450 + 0,206 142,3 = 479,3 г.

Таким чином, з ймовірністю 0,9 можна затверджувати, що значення середнього напрацювання клинових пасів до першого відказу буде знаходитись в інтервалі від 421,7 г. і до 479,3 г.

При визначенні ймовірних границь розсіювання середнього значення показника надійності ( ) для розподілу Вейбулла-Гнєденка необхідно користуватися рівняннями:

(3.11)

де r₁ та r₂ – коефіцієнти Вейбулла, які визначаються по додатку 10 в залежності від a та N.

Програма розрахунку надійних границь по формулах (3.10) у випадку розподілу Вейбулла-Гнєденко наведені в табл. 3.11.

Таблиця 3.11

Програма розрахунку Т_Н та Т_В

10 REM-OPRED DOWERIT GRANIC

20 PRINT “T, R1, R3,”

30 INHUT T, R1,R3,8

40 T1=T (R1^(1/B))

50 T3=T (R3^(1/B))

60 PRINT T1, T3

70 END

Лабораторна робота №3