Концентрация носителей заряда в полупроводнике

Электрические характеристики полупроводника прежде всего определяются концентрацией носителей заряда в зоне проводимости и в валентной зоне.

Для расчета концентрации носителей заряда используются две функции.

Функция f_n(E)– функция распределения, определяет вероятность заполнения электронами квантового состояния с энергией Ев зоне проводимости. Аналогично для дырок в валентной зоне – функция f_p(e). В дальнейшем будем рассматривать функции для электронов. Аналогичный вид будут иметь функции и для дырок.

Для электронов вид функции:

функция распределения Ферми-Дирака.

Здесь: E_F – энергия Ферми, физический смысл которой рассмотрен ниже. График этой функции при разных температурах представлен на рисунке.

При T=0К f(E) имеет вид ступеньки (рис.3.21):

при ,

при > .

Это говорит о том, что все уровни энергии с Е E_F заняты электронами. Электронов с энергией Е > E_F при T=0К нет. А отсюда следует, что E_F – это максимальная энергия, которую может иметь электрон при температуре абсолютного нуля.

Если Т>0К, то происходит размытие ступеньки. Это говорит о том, что с увеличением температуры повышается вероятность заполнения электронами уровней с энергией Е>E_F. Причем, при Е=E_F f(E)=1/2. Отсюда следует определение энергии Ферми. При температуре T>0К энергия Ферми имеет смысл энергии уровня, вероятность заполнения которого электронами равна 1/2.

Если Е-Е_F≥kT, что выполняется в большинстве случаев, то в знаменателе функции f_n(Е) можно пренебречь единицей и она переходит в функцию Максвелла-Больцмана:

Функция g_n(E) – функция плотности квантовых состояний. Она выражает число квантовых состояний, приходящихся на единичный интервал энергии в пределах разрешенной зоны.

Функция плотности квантовых состояний электрона в зоне проводимости имеет вид:

. (3.10)

где: V – объем кристалла, m*_n – эффективная масса электрона, учитывает взаимодействие электрона с кристаллической решеткой.

Из этих соотношений следует: плотность квантовых состояний или уровней энергии, например, в зоне проводимости возрастает с энергией пропорционально (рис.3.20).

Тогда концентрация электронов в зоне проводимости может быть определена как:

.

Аналогично можно определить концентрацию дырок в валентной зоне:

. (4.4)

Величина называется эффективным числом состояний в зоне проводимости, приведенным ко дну зоны. N_C является одной из важнейших характеристик полупроводникового кристалла. Ее значение для разных полупроводников приводится в справочниках. Для Si N_C=2,8*10¹⁹ см ^-3.

Функция определяет вероятность заполнения электронами дна зоны проводимости.

Таким образом, концентрация электронов в зоне проводимости определяется произведением эффективного числа состояний в зоне проводимости на вероятность заполнения электронами дна зоны.

N_V – эффективное число состояний в валентной зоне, приведенное к потолку зоны. Для Si N_V=1,04*10¹⁹ см^-3. Все, что было сказано относительно n₀, относится и к р₀.

Собственная концентрация

Носителей заряда.

Найдем собственную концентрацию носителей заряда n_i:

Видно, что n_i определяется исключительно параметрами полупроводника: N_C, N_V, Eg, а также температурой Т. Поскольку Eg и T входят в показатель экспоненты, то зависимость n_i от этих величин очень сильная. Графически эта зависимость изображается следующим образом:

.

Видно, что зависимость lnn_i от обратной температуры отображается прямой, угол наклона которой определяется шириной запрещенной зоны полупроводника Eg(рис.4.4).

Еще раз вспомним, что равенство играет важную роль в теории полупроводников и полупроводниковых приборов.

Величина n_i в Si при комнатной температуре T=300К примерно равна 10¹⁰ см^-3. В Ge n_i » 2,5*10¹³см-³. Число атомов твердого тела в 1см^-3 » 10²². Таким образом, в Si один электрон зоны проводимости и одна дырка валентной зоны приходятся на 10¹² атомов, в Ge на 10⁹ атомов.