Построение точек пересечения прямой линии с поверхностью (частные и общие случаи).

ПЛАН

1. Общие сведения о пересечении поверхностей. Сечение гранных тел. Частные случаи построения линии пересечения поверхности плоскостью; плоскость перпендикулярна к оси поверхности вращения; плоскость проходит через вершину линейчатой поверхности с вершиной и направляющей; плоскость (поверхность) – проецирующая и т.п.

2. Построение точек пересечения прямой линии с поверхностью (частные и общие случаи).

СОДЕРЖАНИЕ

1. Общие сведения о пересечении поверхностей. Сечение гранных тел. Частные случаи построения линии пересечения поверхности плоскостью; плоскость перпендикулярна к оси поверхности вращения; плоскость проходит через вершину линейчатой поверхности с вершиной и направляющей; плоскость (поверхность) – проецирующая и т.п.

Сечением называется плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности так и секущей плоскости.

Задачи на построение сечения сводится к построению точек пересечения прямых (образующих) с плоскостью или к нахождению линии пересечения плоскостей между собой. Чтобы найти одну точку, принадлежащую лини пересечения, можно рекомендовать следующую последовательность: провести вспомогательную плоскость через ребро, грань или образующую, найти лини пересечения вспомогательной плоскости с заданной поверхностью; определить искомые точки на пересечении заданных линий.

Сечение гранных тел проецирующими плоскостями. При пересечении поверхности геометрического тела проецирующими плоскостями одна проекция всегда совпадает с проекцией плоскости: если плоскость горизонтально проецирующая, то сечение на горизонтальной плоскости совпадает с плоскостью, если секущая плоскость фронтально проецирующая, то сечение совпадает с фронтальной проекцией плоскости, и наконец, если плоскость профильно проецирующая, то сечение совпадает с профильной проекцией плоскости.

Построение точек пересечения прямой линии с поверхностью (частные и общие случаи).

Построение точек пересечения прямой с поверхностью геометрического тела в общем виде можно свести к следующему алгоритму:

· заключаем заданную прямую в ту или иную плоскость;

· находим линию пересечения вспомогательной плоскости (посредника) с поверхностью заданного тела;

· определяем точки пересечения линии сечения с данной прямой, они будут искомыми точками пересечения прямой с поверхностью тела.

Положение вспомогательной плоскости (посредника) выбирается так, чтобы фигура сечения и ее проекции были графически простыми (прямые или окружности). Если геометрическое тело ограничено проецирующими поверхностями или плоскостями (прямой цилиндр, прямая призма), то проекции точек пересечения могут быть построены без применения вспомогательной плоскости.

Построить пересечение прямой АВ с поверхностью параллелепипеда (рис. 12.1). В данном примере проекции точек пересечения могут быть найдены без вспомогательных плоскостей, только с помощью линий связи. В точке М прямая АВ пересекает грань параллелепипеда, а в точке N – верхнее основание. Проекции М₂М_: и N₂N₁ находятся с помощью линий связи.

Найти точки пересечения прямой АВ с треугольной пирамидой SСDЕ (рис. 12.2). В этом случае прямую заключаем во фронтально проецирующую плоскость а. Находим линию пересечения плоскости а с пирамидой, это точки 1,2, 3. На этом сечении определим искомые точки М и N, или точки входа и выхода.

Найти точки пересечения прямой АВ с прямым круговым цилиндром (рис. 12.3). В данном примере точки пересечения могут быть найдены без вспомогательных плоскостей. Так как боковая поверхность цилиндра перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, горизонтальные проекции М₁ и N₁ пересечения прямой с цилиндром будут находиться в пересечении горизонтальных проекций цилиндра и прямой линии АВ. Фронтальные проекции находятся с помощью линий связи. Видимость прямой определяется по положению точек М и N. Точка М лежит на видимой стороне цилиндра, а точка N - на невидимой стороне.

Найти точки пересечения прямой АВ с прямым круговым конусом (рис. 12.4). Так как прямая АВ проецирующая и горизонтальная проекция вырождается в точку, то эта задача имеет два решения. Первое решение заключается в том, что через горизонтальную проекцию прямой можно провести параллель в виде окружности и найти ее проекцию на фронтальной плоскости, а на ней точку пересечения К. Второе решение: через прямую проводим горизонтально проецирующую плоскость так, чтобы она прошла через вершину конуса. В сечении получается треугольник по образующим SС и SN. Строим на фронтальной плоскости проекций сечение, оно будет в виде треугольника, в пересечении с которым находим точку входа К.

Найти точки пересечения прямой АВ с прямым круговым конусом (рис. 12.5). Заданная прямая параллельна горизонтальной плоскости проекций, поэтому она имеет два решения. Первое решение: прямую заключаем в горизонтальную плоскость и находим ее сечение с конусом в виде круга на горизонтальной плоскости проекций. Пересечение прямой с окружностью даст две точки К и F. Второе решение, годное и для прямой общего положения, состоит в том, что плоскость (общего положения) проводится через две точки прямой АС и вершину конуса. Находим след плоскости АSС. Для этого ищем следы прямых AS4 и SС-это точки М_г и М₁¹. Через горизонтальные проекции следов М₁¹и М₁ проводим горизонтальный след секущей плоскости. Линия пересечения следа плоскости с основанием конуса даст две точки D и Е, соединяя их с вершиной, получим сечение конуса в виде треугольника, а на нем точки пересечения К и F прямой с поверхностью конуса.

Найти точки пересечения прямой АВ с шаром (рис. 12.6). Пересечение прямой АВ с шаром находим, применяя способ замены плоскостей проекций. Для этого новую плоскость ставим параллельно прямой и определяем натуральную длину прямой и сечения шара, считая, что прямая заключена в горизонтально проецирующую плоскость. На натуральном виде сечения находим точки пересечения с шаровой поверхностью, т.е. проводим ось новой плоскости параллельно горизонтальной проекции А₁В₁ прямой АВ и находим новую проекцию прямой и сечения шара, оставляя координаты 2 без изменения. Найдя проекции М₄N₄ точек М к N, переносим их на горизонтальную, а затем и на фронтальную плоскость проекций с помощью линий связи.