Charakteristiky variability 10 страница

celkový aritmetický průměr za celý statistický soubor dohromady (průměrná cena výrobku) je tedy

tuto hodnotu potom dosadíme za v posledním sloupci tabulky 1.34.

Nyní zbývá vypočítat celkový rozptyl za celý statistický soubor dohromady. Nejprve vypočteme pomocí vztahu (1.58) aritmetický průměr dílčích rozptylů. Vztah (1.58) zapíšeme pomocí relativních četností

S využitím vztahu (1.59), který opět nejprve zapíšeme pomocí relativních četností, vypočteme rozptyl dílčích aritmetických průměrů

S využitím (1.56) vypočteme celkový rozptyl

Celkový rozptyl ceny je tedy

Příklad 1.20

Z údajů byl vypočítán rozptyl měsíčních mezd s_x² = 1 000 000. Určete směrodatnou odchylku mezd, zvýší-li se mzdy:

a) o 1 500 Kč

b) o 8 %

c) 1,1 krát.

Řešení:

a) Máme zde funkci y = x + a. Vzhledem k vlastnosti rozptylu číslo 3, jestliže přičteme ke všem mzdám stejnou konstantu a = 1 500 Kč, rozptyl se nezmění. Rozptyl proměnné y je

a tedy směrodatná odchylka mezd (kladná druhá odmocnina z rozptylu) po zvýšení mezd bude

b) Jestliže všechny mzdy vzrostou jednotně o 8 %, každou jednotlivou mzdu násobíme stejnou konstantou k = 1,08. Máme zde tedy funkce y = k ∙ x. Vzhledem k vlastnosti rozptylu číslo 4, jestliže vynásobíme všechny hodnoty stejnou konstantou k = 1,08, rozptyl se vynásobí čtvercem této konstanty. Rozptyl proměnné y tentokrát tedy bude

a tedy směrodatná odchylka mezd po zvýšení mezd tentokrát bude

c) Vzrostou-li všechny mzdy 1,1 krát, tedy každá mzda vzroste o 10 %, získáváme opět funkci funkce y = k ∙ x. Jedná se tedy o analogický postup, jako v ad b)

takže směrodatná odchylka mezd

Příklad 1.21

Máme n výsledků měření teploty x ve stupních Celsia. Aritmetický průměr a rozptyl s_x² = 16. Převeďte výsledky na stupně Fahrenheita y, je-li y_i = 1,8 ∙ x_i + 32 pro každé měření. Vypočítejte:

a) aritmetický průměr teplot měřených ve stupních Fahrenheita,

b) rozptyl teplot měřených ve stupních Fahrenheita,

c) variační koeficient teplot měřených ve stupních Celsia a zjistěte, liší-li se od variačního koeficientu vypočítaného z teplot měřených ve stupních Fahrenheita.

Řešení:

Máme zde funkci y = k ∙ x + a, kde k = 1,8 a a = 32.

a) Aritmetický průměr teplot měřených ve stupních Fahrenheita je aritmetický průměr proměnné y. K výpočtu využijeme vlastností aritmetického průměru číslo 5 (přičteme-li ke všem hodnotám stejnou konstantu a = 32, aritmetický průměr se zvětší o tuto konstantu) a číslo 6 (násobíme-li všechny hodnoty stejnou konstantou k = 1,8, aritmetický průměr se rovněž znásobí touto konstantou). Aritmetický průměr teplot měřených ve stupních Fahrenheita je

b) Rozptyl teplot měřených ve stupních Fahrenheita je rozptyl proměnné y. Pro výpočet použijeme vlastnosti rozptylu číslo 3 (přičteme-li ke všem hodnotám stejnou konstantu a = 32, rozptyl se nezmění) a číslo 4 (násobíme-li všechny hodnoty stejnou konstantou k = 1,8, rozptyl se znásobí čtvercem této konstanty). Rozptyl teplot měřených ve stupních Fahrenheita určíme tedy následovně

c) Nejprve je třeba určit směrodatnou odchylku teplot měřených ve stupních Celsia s_x a směrodatnou odchylku teplot měřených ve stupních Fahrenheita s_y. Směrodatnou odchylku vypočteme jako kladnou druhou odmocninu z rozptylu

proto variační koeficient teplot měřených ve stupních Celsia bude

a variační koeficient teplot měřených ve stupních Fahrenheita

Variační koeficient teplot měřených ve stupních Celsia je větší než variační koeficient teplot měřených ve stupních Fahrenheita.

Příklad 1.22

Průměrná výše vkladů na jedné vkladní knížce se zvýšila o 40 %, variabilita vkladů měřená rozptylem vzrostla o 96 %. Jak se změnil variační koeficient?

Řešení:

Jestliže aritmetický průměr výše vkladů na jedné vkladní knížce vzrostl o 40 %, je nový aritmetický průměr 1,4-násobek původního aritmetického průměru , tj.

Podobně nový rozptyl s_y² je 1,96-násobek původního rozptylu s_x², tj.

takže nová směrodatná odchylka s_y bude

tj. směrodatná odchylka vzrostla o 40 %. Potom nový variační koeficient v_x bude

získáváme tedy

tedy variační koeficient se nezměnil.

Příklad 1.23

U 1 000 osob starších 18 let byl v roce 2 000 zjištěn jejich věk. Ze zjištěných údajů byl vypočten aritmetický průměr 50 let a směrodatná odchylka 8 let. Jaký byl variační koeficient věku těchto osob v roce 2006, předpokládáme-li, že nikdo nezemřel?

Řešení:

Vzhledem k vlastnosti aritmetického průměru číslo 5, jestliže přičteme k věku každé z 1 000 osob v roce 2 000 jednotnou konstantu a = 6 let (každá z těchto osob od roku 2 000 do roku 2 006 zestárla o 6 let), aritmetický průměr věku těchto osob se zvětší o tuto konstantu, tj. vzroste o 6 let. K výpočtu použijeme vztah (1.18)

Vzhledem k vlastnosti rozptylu číslo 3, jestliže přičteme k věku každé z 1 000 osob v roce 2 000 jednotnou konstantu a = 6 let, rozptyl se nezmění, viz vztah (1.45). Protože směrodatná odchylka je kladná druhá odmocnina z rozptylu (1.60), když se nemění rozptyl, nebude se měnit ani směrodatná odchylka

Variační koeficient věku těchto osob v roce 2006 bude tedy

Příklad 1.24

V přádelně bavlny byla vytvořena směs tří zásilek v poměru 2 : 3 : 5. Průměrná délka vlákna v první zásilce je 30 mm a variační koeficient 30 %, průměrná délka vlákna ve druhé zásilce je 33 mm a variační koeficient 28 % a průměrná délka vlákna ve třetí zásilce je 32 mm a variační koeficient 25 %. Vypočtěte průměrnou délku vlákna a variační koeficient vzniklé směsi.

Řešení:

Směs k = 3 zásilek je v poměru 2 : 3 : 5, 2 + 3 + 5 = 10, vypočteme relativní četnost pro každou zásilku

Řešení příkladu je zpočátku obdobné, jako tomu bylo při řešení příkladu 1.19. Pro výpočet poslouží tabulka 1.35. Protože variační koeficient v i-té skupině vypočteme jako

potom směrodatná odchylka v i-té skupině bude

Vypočteme tedy nejprve směrodatnou odchylku s_ix pro každou skupinu

Tabulka 1.35
i
	0,2 0,3 0,5		0,30 0,28 0,25	9,00 9,24 8,00	9,002 = 9,242 = 8,002 =	81,000 0 85,377 6 64,000 0	30 ∙ 0,2 = 33 ∙ 0,3 = 32 ∙ 0,5 =	6,0 9,9 16,0
Celkem	1,0	X	X	X		X		31,9

	81,000 0 ∙ 0,2 = 85,377 6 ∙ 0,3 = 64,000 0 ∙ 0,5 =	16,200 00 25,613 28 32,000 00	(30 − 31,9)2 ∙ 0,2 = (33 − 31,9)2 ∙ 0,3 = (32 − 31,9)2 ∙ 0,5 =	0,722 0,363 0,005
		73,813 28		1,090

Obdobně, jako v příkladu 1.19 vypočteme celkový aritmetický průměr za celý statistický soubor dohromady

Průměrná délka vlákna vzniklé směsi je tedy 31,9 mm.

Opět stejným způsobem, jako tomu bylo v příkladu 1.19, vypočteme aritmetický průměr dílčích rozptylů

rozptyl dílčích aritmetických průměrů

a celkový rozptyl za celý statistický soubor dohromady

S využitím (1.60) vypočteme směrodatnou odchylku za celý statistický soubor dohromady

a tedy variační koeficient za celý statistický soubor dohromady bude podle (1.65)

tj. variační koeficient vzniklé směsi bude 27,13 %.

Příklad 1.25

V tabulce 1.36 máme k dispozici údaje o hrubém měsíčním příjmu 22 domácností v květnu roku 2000 a v květnu roku 2006 v Kč. Srovnejte variabilitu hrubých měsíčních příjmů 22 domácností v květnu roku 2000 a v květnu roku 2006.

Tabulka 1.36
Číslo	Hrubý měsíční příjem		Číslo	Hrubý měsíční příjem
domácnosti	květen 2000	květen 2006		domácnosti	květen 2000	květen 2006
	20 745 33 253 21 456 32 443 28 558 27 453 21 111 20 453 26 354 27 998 26 996	31 565 42 836 33 525 41 333 39 938 39 261 33 835 32 445 38 523 39 555 38 453			26 564 24 878 22 523 23 001 25 122 23 136 22 839 29 855 32 899 20 111 26 344	37 253 35 864 34 938 35 631 37 641 36 252 33 853 39 422 42 221 31 555 38 235

Řešení:

Označme proměnnou x hrubý měsíční příjem domácnosti v květnu roku 2000 a proměnnou y hrubý měsíční příjem domácnosti v květnu roku 2006. Potřebné výpočty uspořádáme do tabulky 1.37.

Tabulka 1.37
xi	ln xi	xi ∙ ln xi		yi	ln yi	yi ∙ ln yi
20 745 33 253 21 456 32 443 28 558 27 453 21 111 20 453 26 354 27 998 26 996 26 564 24 878 22 523 23 001 25 122 23 136 22 839 29 855 32 899 20 111 26 344	9,940 060 53 10,411 900 27 9,973 759 61 10,387 239 98 10,259 692 39 10,220 230 73 9,957 549 51 9,925 884 85 10,179 375 35 10,239 888 36 10,203 443 99 10,187 312 19 10,121 739 16 10,022 292 29 10,043 292 97 10,131 499 24 10,049 145 12 10,036 224 88 10,304 107 61 10,401 197 54 9,909 022 21 10,178 995 82	206 206,555 8 346 226,919 6 213 996,986 1 336 993,226 7 292 996,295 2 280 575,994 2 210 213,827 7 203 014,122 8 268 267,257 8 286 696,394 2 275 452,173 8 270 615,761 1 251 808,626 8 225 732,089 2 231 005,781 7 254 523,523 8 232 497,021 6 229 217,340 0 307 629,132 7 342 188,997 9 199 280,345 6 268 155,466 0		31 565 42 836 33 525 41 333 39 938 39 261 33 835 32 445 38 523 39 555 38 453 37 253 35 864 34 938 35 631 37 641 36 252 33 853 39 422 42 221 31 555 38 235	10,359 804 19 10,665 134 15 10,420 046 71 10,629 416 49 10,595 083 53 10,577 986 94 10,429 251 05 10,387 301 63 10,559 010 74 10,585 447 39 10,557 192 00 10,525 487 76 10,487 489 29 10,461 330 34 10,480 971 32 10,535 849 16 10,498 249 83 10,429 782 90 10,582 079 32 10,650 673 01 10,359 487 33 10,551 506 61	327 007,219 3 456 851,686 4 349 332,065 9 439 345,671 8 423 146,446 0 415 302,345 2 352 873,709 2 337 016,001 3 406 764,770 9 418 707,371 4 405 955,703 8 392 105,995 4 376 123,315 7 365 497,959 5 373 447,489 3 396 579,898 3 380 582,552 9 353 079,440 5 417 166,730 8 449 682,065 0 326 893,622 8 403 436,855 1
Celkem	Celkem	Celkem		Celkem	Celkem	Celkem
564 092	223,083 854 60	5 733 293,840 0		814 134	231,328 581 70	8 566 898,917 0

Vzhledem k tomu, že počet zjišťovaných domácností je v květnu 2000 stejný, jako počet zjišťovaných domácností v květnu 2006, je n_x = n_y = 22. Z tabulky 1.37 získáváme

Vypočteme

Podle (1.74) vypočteme kovarianci hodnot proměnné x a logaritmů hodnot proměnné x

a stejně kovarianci hodnot proměnné y a logaritmů hodnot proměnné y

Nyní podle (1.75) vypočteme charakteristiku komplexní variability hodnot proměnné x

a charakteristiku komplexní variability hodnot proměnné y

Cvičení

1. Pro tabulku 1.38 určete variační rozpětí, kvartilové rozpětí, rozptyl, směrodatnou odchylku, průměrnou odchylku a variační koeficient.

Tabulka 1.38

2. Pro tabulku 1.39 určete variační rozpětí, kvartilové rozpětí, rozptyl, směrodatnou odchylku, průměrnou odchylku a variační koeficient.

Tabulka 1.39

Výsledky

1.

R = 11

R_q = 6,5

s_x² = 13,89

s_x = 3,73

= 3,11

v_x = 0,238

2.

R = 62

R_q = 25

s_x² = 287,92

s_x = 16,97

= 14,25

v_x = 0,539

1.6.3 Obecné, centrální a normované momenty

Obecný moment l-tého řádu je u rozdělení četností číselné proměnné x definován jako

(1.76)

kde n je počet jednotek statistického souboru a k je počet obměn číselné proměnné x. Jestliže budeme postupně dosazovat za l = 1, 2, 3, ..., získáme jednotlivé obecné momenty

	(1.77)
	(1.78)
	(1.79)
	(1.80)