Довжина часового ряду суттєво перевищує ступінь полінома , а випадкові залишки мають властивості «білого шуму», тобто

, (3.2.3)

тоді оцінки параметрів можна одержати методом найменших квадратів (МНК). МНК-оцінки параметрів лінійної регресії за умови мінімізації суми квадратів відхилень точок вхідного часового ряду від їхніх згладжених значень :

(3.2.4)

обчислюють за формулою:

, (3.2.5)

Методи, розроблені для статистичних сукупностей, уможливлюють визначення інтервалу надійності прогнозу, який залежить від стандартної похибки оцінки прогнозованого показника, від часу випередження прогнозу, від довжини прогнозової бази та обраного рівня значущості.

Іноді для розрахунку інтервалів надійності прогнозу відносно лінійного тренду застосовують формулу:

,

або

, (3.2.7)

Формула для розрахунку інтервалів надійності прогнозу відносно тренду, який має вид полінома другого або третього порядку, виглядає так:

. (3.2.8)

Аналогічно розраховують інтервали надійності для кривих зростання, які можна звести до лінійної функції.

Якщо припустити, що випадкова змінна ( ) є стаціонарним часовим рядом, то похибка прогнозу становитиме

60. Стаціонарні та нестаціонарні часові ряди. Основні характеристики часових рядів.

Динамічні ряди, характер яких не змінюється з часом, мають назву стаціонарних.

Стаціонарність часового ряду пов’язана з вимогою того, що він має стале середнє значення, і його рівні коливаються навколо цього середнього зі сталою дисперсією, тобто для стаціонарних рядів справджується рівність m(t) = const; D(t) = const; автокореляційна функція r(τ) визначається як

тобто вона в стаціонарному процесі є функцією одного аргументу - проміжку τ між двома моментами часу, не розрізняючи, де за часом розташовується цей проміжок.

Отже, властивості стаціонарного ряду не змінюються з часом, за яким починається рахунок його рівнів.

Припустимо, що нам потрібно змінити значення ряду y_t на y_t+s, де s - стале число. Якщо ряд вважається стаціонарним, то середнє, дисперсія і значення варіації ряду дисперсії y_t+m мають бути такими ж, як і для y_t. Якщо ж ці показники змінюватимуться з часом, то ряд буде нестаціонарним. Його легко зводять до стаціонарного, застосовуючи певні математичні перетворення, наприклад оператор різниць.

61. Тест Дікі-Фулера.

Критерій Дікі-Фулера.

Діагностика стаціонарності: простий (DF) та розширений (ADF) тест Дікі-Фулера

Основа тесту – регресія виду

∆Yt = a0 + a1t + bYt-1 + Sum(ci∆Yt-i) + ei, де

∆Yt = Yt - Yt-1.

Якщо всі сі = 0, то DF-тест, інакше – ADF-тест.

На практиці к-сть лагів для ADF-тесту не більше 10% від спростережень.

Гіпотези:

Н0: b = 0, часовий ряд є нестаціонарним, Yt ~ I(d), d>0 (d – порядок інтеграції);

H1: b < 0, часовий ряд є стаціонарним, Yt ~ I(0), тобто має порядок інтеграції 0.

Гіпотеза Н0 відкидається, якщо отриманий коефіцієнт b < 0 та t-статистика по модулю більша за абсолютну величину критичного значення статистики МакКіннона для тестування наявності одиничного кореня при заданому рівні значимості α.

| t-stat | = | b/SE(b) |;

| t-stat | > | tcritical | - Н0 відкидається, дані є стаціонарними.

Критерій Дікі-Фуллера фактично припускає, що спостережуваний ряд описується моделлю авторегрессії першого порядку (можливо, з виправленням на лінійний тренд).

Критичні значення залежать від того, яка статистична модель оцінюється і яка ймовірнісна модель в дійсності породжує значення, що спостерігаються. Якщо ряд має детермінований лінійний тренд

SM: Δx_t=φx_t-1+ά+βt+ε_t, t=2,.....,T

DGP: Δx_t= ά+ε_t, t=2,.....,T ά≠0

В обох випадках ε_t незалежні випадкові величини, що мають однаковий нормальний розподіл з нульовим матиметичним очікуванням. Методом найменших квадратів оцінюються параметри даної SM і обчислюється значення звичайної t-статистики t_φ для перевірки гіпотези H0:φ=0. Отримане значення порівнюється з критичним рівнем t_crit, розрахованим у припущенні, що ряд, що спостерігається, у дійсності породжується даною моделлю DGP (випадкове блукання зі зносом). DS-гіпотеза відкидається, якщо t_φ < t_crit.

62. Авторегресійні моделі ( AR(p)- процеси).

Модель авторегресії описує стаціонарний процес, де значення показника є лінійною комбінацією обмеженої кіль­кості своїх попередніх значень і випадкової складової. Наприклад, процес можна відобразити таким чином:

, (2.3.1)

де випадкова складова - білий шум. Модель містить ( ) невідомі параметри: - дисперсію випадкової складової та коефіцієнтів моделі.

Необхідною та достатньою умовою стаціонарності процесу є те, що всі корені характеристичного рівняння для процесу перебувають у межах кола одиничного радіусу.

Процеси та мають певну схожість. Але процес завжди стаціонарний, і умова обернена лише забезпечує йому певну корисну властивість. Для ця умова дуже жорстка: або процес стаціонарний і зводиться до , або він не стаціонарний.

Умова, що всі корені рівняння за модулем не перевищують одиницю, еквівалентна тій, що граничні значення та прагнуть до нуля за необмеженого зростання .

Для одержання співвідношень для основних характеристик моделі помножимо ліву та праву частини (2.3.1) на :

і взявши математичне сподівання, одержимо рекурентне співвідношення для автоковаріацій:

(2.3.3)

Поділивши всі складові (2.3.3) на , побачимо, що автокореляції задовольняють аналогічне співвідношення:

або , , (2.3.4)

а дисперсія процесу має вигляд:

.

Зазначимо, що рівняння для подібне до рівняння, яке задовольняє сам процес . Із цих рівнянь виходить, що всі автокореляції у моделі визначаються першими автокореляціями ; також ними визначаються параметри . Щоб виразити через , візьмемо рівняння (2.3.4) для і, враховуючи, що (кореляція часового ряду із самим собою) та для будь-якого , побудуємо лінійну систему для обчислення коефіцієнтів моделі:

або в матричній формі ,

де R — невироджена автокореляційна матриця часового ряду

, , .

Отриману систему рівнянь називають системою Юла-Вокера. З неї визначають параметри -моделі:

.

63. Моделі ковзного середнього (MA(q)- процеси).

Стохастичний процес називають процесом ковзної середньої порядку , якщо до загальної моделі (2.1.1) входять лише складових. Позначимо коефіцієнти обмеженого ряду MA( ) літерою b, тоді модель ковзної середньої порядку має вигляд:

, (2.2.1)

де випадкова величина - білий шум, — лінійний оператор, та ( ) невідомих параметрів треба оцінити на підставі вибіркових спостережень.

Процес (2.2.1) - стаціонарний, оскільки є окремим випадком загальної лінійної моделі, а саме, включно до j = q дорівнюють , решта дорівнюють нулю.

Операторний багаточлен можна розкласти на множники, використовуючи корені рівняння . Отже, лінійний оператор можна записати у вигляді:

,

де - корені рівняння .

- процес, відповідно, має вигляд:

.

За умови оберненості кожен скінченний MA( )-процес може бути представлений у вигляді нескінченного авторегресійного процесу:

Автоковаріація та дисперсія MA( ) процесу відповідно дорівнюють:

.

.

Автокореляційна функція процесу має вигляд

, для .

Автокореляційну функцію використовують для визначення порядку MA( )-процесу.

64. Авторегресійні моделі ковзного середнього ( ARMA(p,q)- процеси).

ARMA-процес є сумою AR та MA-процесів.

Заг. вигляд ARMA(p,q)-процесу:

yt = c + Sum(φiyt-i, i=1,p) + εt + Sum(θiεt-i,i=1,q).

ARMA(p,q)-процес є стаціонарним, якщо всі корені zi р-ня

1 - φ1z - φ2z2-…- φpzp = 0

задовольняють умові |zi|>1.

ARMA(p,q)-процес є зворотним (тобто його можна перетворити у AR(∞)-процес або MA(∞)-процес), коли всі корені zi р-ня

1 + θ1z + θ2z2 +…+ θpzp = 0

задов. умові |zi|>1.

65. Інтегровані авторегресійні моделі ковзного середнього ( ARIMA(p,d,q)- процеси).

Розглянемо модель

, (2.4.6)

де, — нестаціонарний оператор авторегресії порядку ; оператор ковзної середньої . Тоді можна записати, що

,

де - стаціонарний порядку оператор авторегресії. Якщо ввести оператор різ­ниці ; , тоді запишеться як , і модель (2.4.6) можна представити у вигляді:

. (2.4.8)

Тут d-ту різницю ряду обчислюють за формулою:

. (2.4.9)

Вона задовольняє рівняння

,

тобто вже є стаціонарним оберненим процесом . З іншого боку, якщо ввести обернений до оператор:

,

який називають оператором підсумку ( ), то з (2.4.9) виходить, що

,

де під d-кратною ітерацією оператора S розуміють ряд

.

Отже, , що описується рівнянням (2.4.8), можна отримати d-кратним підсумком процесу , який є ARІMA. Тому процес, що задається моделлю (2.4.8), називають процесом ARІMA. Якщо в (2.4.8) оператор авторегресії має порядок , а оператор ковзної середньої має порядок , то скорочено модель (2.4.8) записують як ARІMA(p, d, q). Модель ARІMA охоплює широкий клас як стаціонарних (при ), так і нестаціонарних (при ) процесів. На практиці d є додатним цілим, яке не перевищує 2, або нулем у разі стаціонарності .

66. Адаптивні моделі. Схема їх побудови.

Адаптивне прогнозування дає змогу автоматично змінювати константу згладжування в процесі обчислення. Інструментом прогнозування в адаптивних методах є математична модель з одним чинником «час».

Адаптивні моделі прогнозування — це моделі дисконтування даних, які здатні швидко пристосовувати свою структуру й параметри до зміни умов. Найважливіша особливість їх полягає у тому, що це саморегулювальні моделі, й у разі появи нових даних прогнози оновлюються із мінімальною затримкою без повторення спочатку всього обсягу обчислень.Адаптивні моделі і методи мають механізм автоматичного налаштування на зміну досліджуваного показника. Інструментом прогнозу є модель, первинна оцінка параметрів якої проводиться за декількома першими спостереженнями. На її основі робиться прогноз, який порівнюється з фактичними спостереженнями. Далі модель корегується відповідно до величини помилки прогнозу і знов використовується для прогнозування наступного рівня, аж до вичерпання всіх спостережень. Таким чином, модель постійно "вбирає" нову інформацію, пристосовується до неї і до кінця періоду спостереження відображає тенденцію, що склалася на даний момент. Прогноз виходить як екстраполяція останньої тенденції. У різних методах прогнозування процес налаштування (адаптації) моделі здійснюється по-різному. Базовими адаптивними моделями є: Модель Брауна; Модель Хольта; Модель авторегресії.

Перші дві моделі відносяться до схеми ковзаючого середнього, остання - до схеми авторегресії. Численні адаптивні методи ґрунтуються на цих моделях і розрізняються між собою способом числової оцінки параметрів, визначення параметрів адаптації і компонуванням.

Згідно із схемою ковзаючого середнього, оцінкою поточного рівня є зважене середнє всіх попередніх рівнів, причому ваги при спостереженнях зменшуються в міру віддалення від останнього (поточного) рівня, тобто інформаційна цінність спостережень тим більша, чим ближче вони до кінця періоду спостережень.

Згідно із схемою авторегресії, оцінкою поточного рівня є зважена сума "p" попередніх рівнів (їх кількість називається порядком моделі). Інформаційна цінність спостережень визначається не їх близькістю до модельованого рівня, а тіснотою зв'язку між ними.

Обидві схеми мають механізм відображення коливального (сезонного або циклічного) розвитку досліджуваного процесу.

67. Поняття про коінтеграцію часових рядів.

Нехай часові ряди та є інтегрованими порядку d,тобто І(d). Тоді, як правило, лінійна комбінація цих двох рядів також буде І(d). Але якщо існує лінійна комбінація цих рядів І(d – b),тоді ці ряди називають коінтегрованими порядку (d, b),що позначають . Якщо відповідну лінійну комбінацію можна записати у формі , де , то вектор називається коінтеграційним вектором. У попередньому прикладі змінні та є , тому d = b = 1, та коінтеграційний вектор .

Зазначимо такі властивості коінтегрованих змінних:

1) включення сталої до не дає жодного ефекту;

2) доведено, що коінтегрованість змінних означає коінтегрованість їхніх логарифмів, тоді як коінтегрованість логарифмів змінних не означає коінтегрованості самих змінних (звідси випливає, що для вибору конкретної функціональної форми бажано провести окремі дослідження нелінійних перетворень змінних у коінтегративних співвідношеннях);

3) коінтегрування передбачає, що дві змінні не рухаються окремо, оскільки и, що є мірою розбіжності між та , можна розглядати як «похибку», яка є стаціонарною із нульовим середнім. Це твердження можна записати у вигляді:

і тлумачити як обмежене або рівноважне співвідношення між y_1t та у_2t.

4) доведено, якщо та обидва є , мають сталі середні значення й є коінтегрованими, тоді існує механізм генерації даних із коригуванням похибки, або модель коригування похибки (ЕСМ).

68. Моделі коригування помилки, етапи її побудови.

Щоб поглибити економетричний аналіз і поліпшити точність моделювання, розглядають модель коригування похибки, яка поєднує довготривалий зв’язок для досліджуваних змінних із лагом одиниця та короткотривалий динаміку, виражену залежністю різниць ендогенних змінних від поточних і лагових різниць екзогенних змінних. Найпростіша модель коригування похибки для випадку двох змінних та має такий формалізований вигляд:

,(5.3.3)

,(5.3.4)

де d(L)є поліномом скінченного порядку від лаг-оператора L та похибки та є сумісними процесами білого шуму, які, можливо, корельовані за однакових значень t і .

Остання умова означає, що и трапляється принаймні в одному з рівнянь. Справедливість (5.3.3) та (5.3.4) випливає із того, що та є , отже, їхня різниця є , і тому кожен доданок є .

Абсолютне значення величини вимірює відстань до положення рівноваги в поперед­ній момент часу. Механізм коригування похибки може з’явитися в моделях фінансових ринків за умови, коли очікувані суб’єктами майбутні значення змінних втілені у поточній змінній. Зазначимо, що не тільки коінтегровані змінні мають задовольняти такій моделі, а й дані, породжені ЕСМ, також мають бути коінтегрованими.

Якщо кілька змінних є коінтегрованими, то існує їхнє векторне ARMA-зображення. У стандартній VARMA-моделі немає обмежень щодо взаємного руху кількох часових рядів. Саме коінтеграція дає змогу дослідникові вводити до відповідної системи необхідний зв’язок між змінними, що зумовлює точніше оцінювання моделі.

Побудова й коректне застосування моделей коригування похибки з метою прогнозування передбачає послідовне виконання таких етапів:

1) перевірка рядів на стаціонарність;

2) визначення порядку інтеграції кожного ряду;

3) тестування рядів на коінтеграцію;

4) оцінювання моделі та перевірка на адекватність.

69. Поняття системи економетричних рівнянь. Приклади моделей на основі системи одночасних рівнянь.

Наявність прямих і зворотних зв’язків між економічними показниками вимагає побудови економетричної моделі на основі системи рівнянь.

Приклад.Нехай треба побудувати економетричну модель, яка характеризує залежність між обсягом валового національного продукту від виробничих ресурсів: основних виробничих фондів, робочої сили і матеріальних ресурсів. У такому разі доцільно будувати економетричну модель на основі системи одночас­них структурних рівнянь:

де - випуск продукції; - валовий національний продукт; - основні виробничі фонди; - робоча сила; - матеріальні ресурси; - період часу.

Запишемо два перших рівняння аналітично:

де , , , , - параметри моделі, , - залишки.

Отже, економетрична модель складається з трьох одночасних рівнянь, два перших є регресійними, а третє — тотожність. Оскільки вони описують економічні процеси, які відбуваються одночасно, то всі ці рівняння повинні мати спільний розв’язок.

70. Структурна та зведена форми системи рівнянь.

Економетрична модель у вигляді безпосередньо відображає структуру зв’язків між змінними і тому називається структурною формою економетричної моделі.

Розв’яжемо систему рівнянь відносно y_st і дістанемо систему виду:

(12.3)

У матричній формі систему цих рівнянь можна переписати так:

Матриця оцінок параметрів R має вигляд:

(12.4)

де E - одинична матриця.

Щоб показати справедливість співвідношення (12.4), розв’я­жемо систему рівнянь (12.2) відносно Y:

Y – AY = BX + u;

(E – A)Y = BX + u;

Y = (E – A)^–1BX + u.

Враховуючи, що Y = RX + v, R = (E – A)^–1B.

Вектор залишків є лінійною комбінацією залишків .

Економетрична модель, яка записується системою рівнянь (12.3), називається зведеною формою моделі.

71. Ідентифікація. Необхідна і достатня умова ідентифікації.

Проблеми чисельної оцінки параметрів в структурній формі і можливість перетворення структурної форми на зведену тісно пов’язані з поняттям ідентифікації моделі.

Необхідна умова ідентифікації системи- справедливість нерівності для кожного рівняння моделі

де — кількість залежних ендогенних змінних, які входять в s-те рівняння структурної форми;

m — загальна кількість екзогенних змінних моделі;

— кількість екзогенних змінних, які входять в s-те рівняння структурної форми моделі.

Число екзогенних змінних, які не входять у s-те рівняння структурної форми, дорівнює .

Зауважимо, що прoблема ідентифікації стосується структурних параметрів, а не параметрів зведеної форми.

Альтернативна умова ідентифікації була записана нами в (11.10):

яка потребує, щоб число виключених із рівняння екзогенних змінних було не меншим, ніж число ендогенних змінних мінус одиниця.

72. Непрямий метод найменших квадратів оцінювання параметрів системи одночасних рівнянь.

Повернемось до моделі і яка має два структурні рівняння. було показано, що між залежною змінною Y_t і залишками u_t існує кореляція. Застосування 1МНК для оцінки параметрів цієї моделі дає зміщення. Тому необхідно розглянути альтернативні методи оцінки параметрів, які дозволили б уникнути зміщення. Один з таких методів є непрямий метод найменших квадратів. Він складається з двох процедур. Спочатку застосовується 1МНК для оцінки параметрів кожного рівняння зведеної форми моделі Основна особливість такої форми поля­гає в тому, що її здобуто в результаті розв’язування структурної системи рівнянь відносно поточних значень ендогенних змінних, і зведена форма ви­ражає їх як функції всіх інших змінних моделі таким чином, що кожне рів­няння в такій формі має поточне значення тільки однієї ендогенної змінної.

Алгоритм непрямого методу найменших квадратів.

Крок 1. Перевіряється умова ідентифікованості для кожного рівняння структурної форми моделі. Якщо кожне рівняння точно індентифіковане, то переходимо до кроку 2.

Крок 2. Кожне рівняння структурної форми розв’язується відносно однієї з k залежних ендогенних змінних моделі, у результаті приходимо до зведеної форми моделі.

Крок 3. На основі 1МНК визначається оцінка параметрів окремо для кожного рівняння зведеної форми.

Крок 4.Розраховується оцінка параметрів рівнянь структурної форми за допомогою співвідношення AR = –B, де A і B параметри структурних рівнянь, а R — матриця оцінок параметрів зведеної форми.

73. Оцінювання параметрів системи одночасних рівнянь двохкроковим методом найменших квадратів.

Якщо рівняння структурної форми моделі надідентифіковані, то непря­мий метод найменших квадратів застосувати не можна, а користуватись 1МНК недоцільно, тому необхідно розглянути інші методи, які розроблені спеціально для таких моделей. Одним з цих методів є двокроковий метод найменших квадратів (2МНК).

Алгоритм двокрокового методу найменших квадратів (2мнк)

Крок 1. Перевіряється кожне рівняння моделі на ідентифікованість. Якщо рівняння надідентифіковані, то для оцінки параметрів кожного з них можна використати оператор оцінювання:

.

Крок 2. Знаходження добутку матриць поточних ендогенних змінних, які містяться у правій частині моделі, на матрицю всіх екзогенних змінних моделі, тобто .

Крок 3. Обчислення матриці і знаходження оберненої матриці .

Крок 4. Визначення добутку матриць всіх екзогенних змінних і ендогенних змінних у правій частині моделі, тобто .

Крок 5. Знаходження добутку матриць, які здобуто на кроках 2,3,4, тобто .

Крок 6. Визначення добутку матриць ендогенних змінних у правій частині моделі і екзогенних змінних, які внесені до даного рівняння, тобто .

Крок 7. Знаходження добутку матриць екзогенних змінних, які входять в дане рівняння, і ендогенних змінних правої частини системи рівнянь, тобто .

Крок 8. Визначення добутку матриць екзогенних змінних даного рівняння, тобто .

Крок 11. Знаходження матриці, оберненої до блочної:

.

Крок 10. Визначення добутку матриць , де — матриця всіх екзогенних змінних моделі, — вектор залежної ендогенної змінної лівої частини рівняння.

Крок 11. Знаходження добутку матриць:

.

Крок 12. Визначення параметрів моделі:

.

Крок 13. Обчислення s-ї залежної ендогенної змінної на основі знайдених параметрів і :

.

Крок 14. Обчислення вектора залишків в s-му рівнянні системи:

.

Крок 15. Визначення дисперсії залишків для кожного рівняння:

Крок 16. Знаходження матриці коваріацій для параметрів кожного рівняння:

.

Крок 17.Знаходження стандартної помилки параметрів і визначення довірчих інтервалів:

.

74. Трьохкроковий метод найменших квадратів.

Трикроковий метод найменших квадратів призначений для одночасної оцінки параметрів всіх рівнянь моделі.

Зельнер і Гейл [1] запропонували трикроковий метод найменших квадратів, який за певних обставин є більш ефективним, ніж двокроковий.

оператор оцінювання на основі трикрокового методу найменших квадратів матиме вигляд:

Трикроковий метод найменших квадратів забезпечує кращу порівняно з двокроковим методом асимптотичну ефективність оцінок лише в тому разі, коли матриця не є діагональною, тобто коли залишки, які входять в різні рівняння моделі, корелюють між собою.

Щоб застосувати трикроковий метод найменших кввадратів на практиці необхідне виконання таких вимог:

1) усі тотожності, які входять в систему рівнянь, треба виключити, приступаючи до знаходження оцінок параметрів;

2) кожне неідентифіковане рівняння також треба виключити з системи;

3) якщо система рівнянь, що залишилась, має точно ідентифіковані і надідентифіковані рівняння, то трикроковий метод оцінки доцільно застосовувати до кожної з цих груп;

4) для групи надідентифікованих рівнянь оцінки параметрів знаходяться на основі співвідношення (11.53), взявши значення r таким, що дорівнює числу надідентифікованих рівнянь;

5) якщо група надідентифікованих рівнянь має тільки одне рівняння, то трикроковий метод перетворюється на двокроковий;

6) якщо матриця коваріацій для структурних залишків блочно-діагональна, то вся процедура оцінювання на основі трикрокового методу найменших квадратів може бути застосована окремо до кожної групи рівнянь, які відповідають одному блоку.

75. Прогноз ендогенних змінних

Якщо необхідно здобути оцінку структурних коефіцієнтів, то, як було сказано вище, треба скористатись обґрунтованим оператором оцінювання. Якщо досліджувача задовольняють коефіцієн­ти рівнянь зведеної форми, то їх незміщеність і обґрунтованість може бути досягнута під час застосування 1МНК до кожного рівняння, або УМНК. Коли специфікацію моделі у структурній формі вибрано правильно, то більш ефектив­но розрахувати спочатку коефіцієнти матриць A і B, а потім оцінити параметри матриці R, тобто він пропонує знаходити оцінку матриці R так:

Якщо оцінки і будуть обґрунтованими, то і оцінка також буде обґрунтованою.

Розглянемо прогноз ендогенних змінних при заданих значеннях екзогенних змінних. Точковий прогноз одержати досить просто, підставивши значення екзогенних змінних в приведену форму рівнянь. Тому, якщо позначити через X_f вектор прогнозних екзогенних змінних, то точковий прогноз залежних ендогенних змінних буде визначатись так:

Визначення довірчих інтервалів для цього прогнозу залежить від методу, за допомогою якого була отримана матриця Якщо специфікацію моделі в структурній формі вибрано правильно, то останній спосіб має перевагу. Якщо ж про точну специфікацію моделі не можна сказати нічого конкретного, то краще оцінювати рівняння зведеної форми за допомогою 1МНК. У такому разі

де Y — матриця елементів усіх залежних ендогенних змінних розміром n × k; X — матриця елементів усіх екзогенних змінних розміром n × m.

Дійсні значення прогнозних залежних змінних дорівнюватимуть

де — вектор залишків для прогнозного періоду.

Похибка прогнозу тоді дорівнює: