Расчёт электрических фильтров

Для выделения колебаний заданных частот необходимо рассчитать полосовые фильтры, у частотных характеристик которых центры эффективного пропускания совпадали бы с этими частотами. Кроме того, заданными являются неравномерность ослабления ∆А в полосе эффективного пропускания и минимально-допустимое ослабление A_min в полосе эффективного непропускания каждого фильтра, а также значение амплитуды выходного напряжения.

Ниже даны некоторые рекомендации по расчету полосовых активных RC-фильтров.

В качестве полосовых фильтров можно выбрать полиномиальные фильтры Чебышева. Каждый фильтр выделяет свою гармонику. Поскольку гармоники сигнала на выходе нелинейного преобразователя достаточно далеко разнесены по частоте, порядок фильтра может быть получен невысокий. Частоты соседних гармоник должны попадать в полосу непропускания фильтра. Характеристика ослабления фильтра должна обладать геометрической симметрией относительно выделяемой гармоники. Это имеет место при выполнении условия (рис. 2.14).

.

Расчет полосового фильтра обычно сводят к расчету НЧ-прототипа ([1] стр. 208 – 231).

Для определения нормированной частоты НЧ-прототипа, соответствующей границе ПЭН W₃, необходимо воспользоваться графиками, приведенными на рис. 2.11 и 2.12. При этом вначале по заданным значениям DА и А_min определяют вспомогательную функцию D (рис. 2.11), а затем, задаваясь приемлемым значением порядка фильтра-прототипа n, для полученного значения D по рис. 2.12 определяют W₃.

Далее необходимо задаться одной из четырех неизвестных частот (например, w₃). Из соотношения для w₀ определяют w¢₃, а затем, учитывая известную связь

находят частоты полосы эффективного пропускания w₂ и w¢₂. Затем, пользуясь табл. 3.5, по заданному А_max и выбранному порядку фильтра n находят полюсы передаточной функции НЧ- прототипа.

Денормирование и конструирование передаточной функции искомого ПФ осуществляется в два этапа. На первом - находят полюсы передаточной функции полосового фильтра по известным полюсам НЧ- прототипа. Для этого необходимо воспользоваться соотношением:

P_{i,j ПФ} .

Здесь Dw = w₂-w¢₂ - ширина полосы эффективного пропускания (ПЭП);

w₀ - центральная частота ПЭП фильтра;

s_i + jW_j - i- ый полюс передаточной функции НЧ- прототипа.

Одной паре комплексно-сопряженных полюсов передаточной функции НЧ- прототипа соответствует две пары комплексно-сопряженных полюсов передаточной функции полосового фильтра. Одному вещественному полюсу НЧ- прототипа соответствует одна пара комплексно -сопряженных полюсов Н(р) полосового фильтра.

На втором этапе формируют передаточную функцию полосового фильтра ввиде произведения сомножителей второго порядка:

.

Каждый сомножитель соответствует одной паре комплексно-сопряженных полюсов. Коэффициенты числителя и знаменателя определяются из следующих соотношений:

,

где - коэффициент неравномерности ослабления в полосе пропускания.

a_i = 2α_i; a_0i= α_i² +w_i²

α_i и w_i - действительная и мнимая части i-го полюса передаточной функции ПФ.

Найденная таким образом передаточная функция полосового фильтра является денормированной и в дальнейшем подлежит реализации.

Каждый сомножитель передаточной функции реализуется в видеАRС - цепи второго порядка. Соответствующие звенья соединяются каскадно в порядке возрастанияихдобротностей. Задачу реализации решают в следующей последовательности:

1. Вычисляют добротности полюсов каждого сомножителя Н(р) из соотношения

2. В зависимости от добротности выбирается тип звена для реализации каждого сомножителя (табл. 3.6).

3. Составляют и решают систему уравнений, определяя, таким образом, значения элементов R_i, С_i звеньев фильтра. Для составления системы уравнений приравниваются коэффициенты b_i , a_i, a_0i соответствующего сомножителя реализуемой передаточной функции к коэффициентам передаточной функции выбранного звена. Например, для схемы 1 из табл. 3.6 можно составить систему:

Поскольку неизвестных элементов больше, чем уравнений, необходимо задаться величинами некоторых из них. В табл. 3.6 приведены рекомендации по выбору отдельных элементов. Для всех схем величины емкостей следует выбирать порядка единиц - десятков нанафарад; величины сопротивлений резисторов - порядка единиц кОм.

Расчет фильтра заканчивается построением его полной схемы с указанием значений элементов и расчетом его частотной характеристики. К частотным характеристикам относятся амплитудно-частотные характеристики фильтра (АЧХ), а также зависимость ослабления от частоты. Расчет той и другой характеристик производится на основе полученной при аппроксимации рабочей передаточной функции Н(р), путем замены p = jw При этом вначале на выбранных частотах рассчитывают АЧХ и ослабления отдельных звеньев, а затем всего фильтра, используя соотношения:

; .

В число расчетных частот необходимо включить граничные частоты полос эффективного пропускания и непропускания, а также те частоты ПЭП, на которых ослабление (АЧХ) фильтра принимает минимальные и максимальные значения. Для нахождения последних следует воспользоваться данными таблицы 3.8, где приведены значения нормированных частот экстремумов характеристик НЧ- прототипа. Для нахождения соответствующих им частот характеристики ПФ нужно воспользоваться соотношением:

где Dw =w₂ - w¢₂; w₀ — центральная частота;

W_кэ - значения из табл. 3.8.

Результаты расчетов ослабления А сравнивают с заданным нормами DА и A_min.

В соответствии с заданием на курсовую работу требуется рассчитать несколько фильтр, выделяющий соответствующую гармонику. Этот фильтр подключается к выходу нелинейного преобразователя. Для нормальной работы устройства входное сопротивление фильтра должно быть намного больше выходного сопротивления нелинейного преобразователя. Если это условие не выполняется, то между преобразователем и фильтром следует включить развязывающий каскад (например, собранной по схеме 2 из таблицы 3.7).

При проектировании активных RС- фильтров обычно уделяют внимание стабильности их характеристик. Нестабильностьих вызвана в первую очередь, нестабильностью параметров активных и пассивных элементов схемы. Количественной оценкой степени не стабильности характеристик является чувствительность. Различают два вида чувствительности: классическая и полюсно-нулевая. Чувствительность обозначают символом S с двумя индексами: верхний индекс - функция цепи, нижний - изменяющийся элемент цепи [7].

Классическая чувствительность:

где Н- передаточная функция цепи, l - изменяющийся элемент цепи.

Значение чувствительности показывает, во сколько раз относительное изменение передаточной функции цепи будет отличаться от относительного изменения параметра l.

Полюсно-нулевая чувствительность показывает приращение полюса (нуля) при относительном изменении элемента:

Если полюс (нуль) , то - модуль полюса (нуля) или частота полюса (нуля);

- добротность полюса (нуля).

Для качественной оценки нестабильности характеристик фильтра удобно пользоваться чувствительностью добротности или частоты полюса (нуля):

; .

Поскольку напряжение гармоники, подлежащей, выделению фильтром, на выходе нелинейного устройства (или развязывающего каскада, если он предусмотрен) отличается от требуемого уровня выходного сигнала системы, необходимо каскадно с фильтром включить усилитель. Расчет его производится в следующем порядке:

1. Вычисляют амплитуду выходного напряжения фильтра, используя соотношение:

где U_{вх i} - напряжение выделяемой гармоники на входе фильтра;

|H( jw)|_i - АЧХ фильтра при центральной частоте ПЭП ¦_0.

2. Находят требуемый коэффициент усиления усилителя:

где U _треб - требуемое выходное напряжение (табл. 1.1.).

3. Выбирают схему усилителя (табл. 3.7) и по известному К_i рассчитывают его элементы. При этом следует задаться значением резистора R₁ (не менее 2 кОм, для выполнения условия развязки) и затем вычислить R₂.

ПРИМЕР РАСЧЕТА: Требуется рассчитать полосовой фильтр для выделения второй гармоники при частоте генерируемых колебаний 10 кГц, Неравномерность ослабления в ПЭП DA = 1 дБ, минимально допустимое ослабление в ПЭН А_min = 30 дВ (рис. 2.13). Частота 2-ой гармоники равна 20 кГц, следовательно, ¦₀= 20 кГц.

По заданным DА и A_min и, выбрав порядок фильтра п = 3, по рис. 2.11 и 2.12 определяем нормированную частоту, соответствующую границе ПЭН НЧ- прототипа W₃ = 2,6. Далее находим граничные частоты ПЭП и ПЭН.

Так как , то задавшись f₃ = 25 кГц, т.е. ω₃ = 157079,6 рад/с, найдем Учитывая соотношение , определим

Решая совместно систему

,

получаем:

Таким образом, граничные частоты:

Пользуясь табл. 3.5, находим полюсы передаточной функции НЧ- прототипа: S₁ = - 0,494171; S_2,3 =- - 0,247085 ± j0,965999.

Для отыскания полюсов передаточной функции ПФ, воспользуемся соотношением:

P_{i,j ПФ}

где =21749,5/2=10874,7 рад/с;

=1,5791*10¹⁰ (рад/с)².

Полученные значения полюсов удобно представить в виде таблицы:

Номер полюса	Полюсы Н(р) полосового фильтра
- α · 104	± jw · 104
1,2 3,5 4,6	0,5373 0,2467 0,2907	12,5548 11,5567 13,6578

Передаточная функция ПФ может быть записана в виде произведения трех сомножителей второго порядка

,

где

.

Коэффициенты при р в знаменателях сомножителей а_i = 2α_i, а свободные члены a_0i = α_i² + w_i². Их значения сведем в таблицу:

Номер сомножителя	Значения коэффициентов
bi	ai	A0i
	1,7162 · 104 1,7162 · 104 1,7162 · 104	1,0748 · 104 0,4934 · 104 0,5814 · 104	1,5791 · 1010 1,3361 · 1010 1,8661 · 1010

Тогда передаточная функция искомого ПФ запишется:

.

Для реализации полученной передаточной функции необходимо выбрать тип звеньев, для чего найдем вначале добротности полюсов соответствующих сомножителей, используя соотношение

.

В результате расчетов получим Q₁ = 11,7, Q₂ = 23,4 и Q₃ = 23,5.

Их таблицы 3.6 выбираем для реализации всех сомножителей схему 3. Для отыскания элементов звена, соответствующего первому сомножителю Н(р), составим систему уравнений:

Зададимся С₆ ⁼С₇ = С = 5 · 10^-9 Ф.

Кроме того, выберем R₁ =R₂ = 1/w_пС. Здесь w_п - частота полюса, определяемая для данного сомножителя, как

рад/с.

Итак,

кОм.

Решая систему относительно элементов R_5, R₃, R₄получим R₅= 18,6 кОм, R₃= 2,667 кОм, R₄= 950 Ом.

Поступая аналогичным образом, найдем элементы второго и третьего звена фильтра. Результаты вычислений сведем в таблицу 2.1.

Схема полосового фильтра приведена на рис. 2.14.

Для расчета АЧХ и ослабления фильтра в выражении Н(р) осуществим замену р = jw, тогда |Н(jw)| запишется:

Ослабление фильтра связано с АЧХ выражением:

.

Найдем частоты ПЭП, при которых А и АЧХ принимают максимальные и минимальные значения. Из таблицы 3.8 для характеристик

НЧ-прототипа имеем при n = 3: W_1min = 0; W_1max = 0,5; W_2min = 0,866; W_2max=1.

Для нахождения соответствующих частот характеристики ПФ воспользуемся соотношениями:

,

Результаты расчетов АЧХ и ослабления отдельных звеньев и всего фильтра удобно свести в таблицу 2.2.

Полученная частотная зависимость ослабления удовлетворяет заданным нормам DА и A_min.

По результатам расчетов построим графики АЧХ (рис. 2.15,а) и зависимость ослабления от частоты полосового фильтра (рис. 2.15,б).

Таблица 2.1. Значения элементов фильтра

Элементы 1-го звена

R1, к0м

R2, к0м

RЗ, к0м

R4, к0м

R5, к0м

С6, нФ

С7, нФ

1,59

1,59

2,67

0,95

18,6

Элементы 2-го звена

R8, к0м

R9, к0м

R10 к0м

R11 к0м

R12 к0м

С13 нФ

С14 нФ

1,73

1,73

0,69

4,29

40,6

Элементы 3-го звена

R15 к0м

R16 к0м

R17 к0м

R18 к0м

R19 к0м

С20 нФ

С21 нФ

1,46

1,46

0,75

2,86

34,4

Рис. 2.14