Вычисление производных
Большое внимание в тестах уделяется вычислению производных. Вычисление производных осуществляется согласно правилам и формулам. Обратим внимание на функции вида:
у = 
, 
.
у = 
, 
.
у = 
, 
.
Сравнивая данную функцию и ее производную, приходим к выводу: чтобы найти производную данной функции, нужно числитель умножить на показатель степени знаменателя с противоположным знаком, а показатель степени увеличить на единицу. Принятие во внимание этого факта поможет сэкономить время при вычислении производных такого вида на ЕНТ:
Тест1
1. Для функции у = 
, определите:
а) нули;
б) промежутки возрастания;
в) промежутки убывания.
Указание: 
= 
+ 
А) а) -4, 4; б) ( 
); в) нет.
В) а) -4, 4; б) ( 
); в) нет.
С) а) -4, 0; б) ( 
); в) нет.
D) а) -4, 4; б) ( 
); в) [-4, 4].
Е) а) -4, 0, 4; б) 
);
в) ( 
].
2. Дана функция f(x) = 
. Найдите 
.
А) 0. В) -3. С) 5. D) 1. Е) 6.
3. Для функции у = 
, определите:
а) нули;
б) промежутки возрастания;
в) промежутки убывания.
А) а) -3, 3; б)нет; в) ( ).
В) а) -3, 3; б) ( 
; в) [0, 
).
С) а) -3, 3; б)нет; в) ( ).
D) а) -3, 0, 3; б)[-3, 0], [3, ); в) ( 
).
Е) а) 3, -3; б) [3, 1], [-3, 0]; в) (0, -3], [0, 3].
4. Для функции у = 
, найдите:
а) все критические точки;
б) точки минимума и точки максимума;
А) а) 
; б) 
, 
, 
.
В) а) 
; б) , .
С) а) ; б) 
, 
D) а) 
; б) , .
Е) а) 
; б) ,
Производная сложной функции.
Очень часто при вычислении производных сложных функций учащиеся допускают ошибки. Находя производную функции y = lg(3x + 5), забывают умножить результат на 3. Почему? Просто многие из них не владеют понятием сложной функции. Поэтому при вычислении производных необходима последовательность рассуждений:
1. Определить вид функции (линейная, квадратичная, логарифмическая, степенная и т.д.)
2. Если – да, то ее производная берется согласно известным формулам.
3. Если – нет, то можно ли данную функцию представить в виде суммы (разности), произведения или частного указанных функций.
4. Если – да, то работаем с соответствующими формулами.
5. Если – нет, то надо рассматривать данную функцию как сложную.
Например:
Найти производную функции у = (2х – 4) 
.
Последовательно рассуждая, приходим к выводу, что данная функция сложная: степенная от линейной. Значит, ее производная равна произведению производной степенной и линейной функций 
10(2х – 4).
Аналогичные примеры можно найти в следующих тестовых заданиях:
Тест 2.
1. Дана функция f(x) = 
. Найдите 
.
Решение: 
А) -42(4х + 7) 
.
В) -6(4х + 7) 
.
С) -4(4х + 7) 
.
D) -24(4х + 7) 
.
Е) -4(4х + 7) .
2. Найдите производную функции у = (1/3 х – 6) 
.
А) 8(1/3х – 6) 
.
В) 6(1/3х – 6) .
С) 24(1/3х – 6) .
D) 1/3(1/3х – 6) .
Е) 72(1/3х – 6) .
3. Дано f(x) = 
. Найдите 
.
А) -10. В) 10. С) -60. D) 6. Е) 60.
4. Найдите производную функции: f(x) = 
.
А) 
. В) 
. С) 
. D) 
. Е) 
.
5. Найдите производную функции: f(x) = (2x – 6) 
.
А) -7(2x – 6) 
. В) 16(2x – 6) . С) -7(2x + 6) . D) 4(2x – 6) . Е) 8(2x – 6) .
6. Дана функция 
, найдите
А) 
.
В) 
.
С) 
.
D) 
.
Е) 
.
7. Найдите производную функции: f(x) = 
.
А) 102x( 
.
В) 204 .
С) 102 .
D) 2x .
Е) 204 .
8. Найдите производную функции: f(x) = 
.
А) 
.
В) 
.
С) 
.
D) 
.
Е) 
.
9. Найдите производную функции: y = 
.
А) 
.
В) 
.
С) 
.
D) 
.
Е) 
.