Понятие о спектральном составе импульсных электрических сигналов

Понятие спектра

Спектр сигнала — в радиотехнике это результат разложения сигнала на более простые в базисе ортогональных функций. В качестве разложения обычно используются преобразование Фурье, разложение по функциям Уолша, вейвлет-преобразование и др.

Непосредственный анализ воздействия сигналов сложной формы на радиотехнические цепи весьма затруднителен и вообще не всегда возможен. Поэтому сложные сигналы имеет смысл представлять как сумму некоторых простых элементарных сигналов. Принцип суперпозиции обосновывает возможность такого представления, утверждая, что в линейных цепях воздействие суммарного сигнала равносильно сумме воздействий соответствующих сигналов по отдельности.

В качестве элементарных сигналов часто применяют гармоники. Такой выбор имеет ряд достоинств:

а) Разложение на гармоники реализуется достаточно легко путем использования преобразования Фурье.

б) При воздействии гармонического сигнала на любую линейную цепь его форма не изменяется (остается гармонической). Сохраняется также частота сигнала. Амплитуда и фаза, конечно, изменяются; их можно сравнительно просто рассчитывать, применяя метод комплексных амплитуд.

в) В технике широко используются резонансные системы, позволяющие экспериментально выделять одну гармонику из сложного сигнала.

Представление сигнала суммой гармоник, заданных частотой, амплитудой и фазой, называется разложением сигнала в спектр.

Гармоники, входящие в состав сигнала, задаются в тригонометрической или мнимопоказательной форме.

В цифровой обработке сигналов для анализа применяются дискретные преобразования: Фурье, Хартли, вейвлетные и др.

Спектральный состав импульсов

Периодическая последовательность импульсов представляет собой несинусоидальное периодическое колебание. Одиночный импульс не является исключением, его можно представить как последовательность импульсов с бесконечным периодом (Т стремится к бесконечности). Периодическое несинусоидальное колебание может быть представлено бесконечным тригонометрическим рядом Фурье, содержащим постоянную состояния и гармонические колебания. Результат воздействия на схему каждой составляющей определяется сравнительно просто, пользуясь принципом наложения можно действия импульса на цепь заменить суммарным действием всех его составляющих. Часто используется следующая формула ряда Фурье:

f(t)=A0\2+A1*cosω1t+ A2*cos2ωt+…+ An*cos*nωt+…+ B1*sinω1t+ B2*sinω2t+…+ Bn*sin*ωt+…

Совокупность гармоник составляют данное несинусоидальное колебание представленное, графическим изображением спектра называется спектральной диаграммой. На спектральной диаграмме каждая гармоника изображается вертикальной линией, длина этой линии пропорционально амплитуде гармоники, а ее положение на оси абсцисс определяется частотой гармоники. Спектральная диаграмма дает наглядное представление о зависимости амплитуд гармоник то ее частоты

f01=1\tn, f02=2\tn. а) – временные диаграммы, б) – спектральные диаграммы

С увеличением номера гармоники их амплитуда имеет тенденцию к уменьшению. Чем короче импульс, тем шире его спектр. Симметрия его относительно начало координат левый рисунок приводит к тому, что в разложении не будет синусоид гармоники постоянной составляющей и отсутствую гармоники четных номеров, обусловленные симметрией относительно оси абсцисс. Поэтому разложение будет содержать синусоидальные составляющие нечетных номеров. Таим образом, в составе спектра содержит бесконечное количество синусоидальных гармоник амплитуд, которых обратно пропорциональны номеру гармоник, с увеличение они уменьшаются по гиперболическому закону (правый рисунок).

Преобразование Фурье: операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Преобразование Фурье функции вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой: Применения:Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть обратимый переход от временно́го пространства (timedomain) в частотное пространство (frequencydomain). Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля, или, в более общем случае, как теорема Планшереля, или, в наиболее общем, как дуализм Понтрягина).

Преобразования обратимы, причём обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование. Синусоидальные базисные функции (вернее, комплексные экспоненты) являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота — консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо). По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свёртки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.