Визначається передатна характеристика кола для того параметра х, для якого нам треба розрахувати перехідний процес

АНАЛІЗ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ ПРИ ДОВІЛЬНИХ ВХІДНИХ СИГНАЛАХ

Якщо вхідна напруга лінійного електричного кола не є постійною або періодичною, то для аналізу параметрів перехідних процесів часто застосовують інтеграл Дюамеля (integral of Duamel) і так звані перехідні характеристики кола (the transitive characteristic of a circuit) відносно кожного з параметрів.

Нагадаємо, що перехідну характеристику кола для певного параметру можна знайти, як перехідну функцію цього параметра при постійній вхідній напрузі 1 В. Відмітимо, що перехідна характеристика визначається для нульових початкових умов.

Приклад 1.17

Знайти перехідні струми та в колі (рис. 1.69), яке вмикається на напругу, що змінюється за законом . Побудувати графіки цих величин в часі. Параметри: В, , мГн, Ом, Ом, Ом.

Рисунок 1.69

Перехідні характеристики кола можна визначати різними методами. В цьому прикладі знайдемо та операторним методом.

Операторна схема заміщення зображена на рис. 1.70.

Рисунок 1.70

Складемо систему рівнянь за законами Кірхгофа в операторному вигляді (вважатимемо напрямок обходу контурів за годинниковою стрілкою):

,

, (1.113)

.

Знайдемо операторні зображення перехідних характеристик.

Знайдемо оригінали та .

Запишемо інтеграли Дюамеля для нашого випадку:

, (1.114)

, (1.115)

В цих виразах:

, . (1.116)

В MathCAD це виглядатиме так:

Вирази в MathCAD та не наводимо, оскільки вони занадто громіздкі.

Графіки цих параметрів показані на рис. 1.71, 1.72.

Рисунок 1.71

Рисунок 1.72

Розв’яжемо цей же приклад за умови, що вхідна напруга задається не в аналітичній формі, а у вигляді графіка, який зображено на рис. 1.73. Значення відповідають сталій часу перехідного процесу для цього кола.

Продемонструємо в цьому випадку метод знаходження перехідних характеристик та за допомогою передатних характеристик кола.

Передатна характеристика знаходиться як

. (1.117)

Аналогічно

. (1.118)

Рисунок 1.73

Для нашої схеми (рис. 1.69) можна записати:

. (1.119)

. (1.120)

Для визначення перехідних характеристик та передатні характеристики слід записати в канонічній формі, яка (для кола першого порядку) має вигляд:

. (1.121)

Після цього перехідну характеристику можна записати як:

. (1.122)

Виконаємо ці процедури в MathCAD.

Для цього випадку перехідні струми і є складними функціями у яких різним часовим інтервалам відповідають різні аналітичні вирази.

(1.123)

(1.124)

Графіки, побудовані за цими виразами показані на рис. 1.74, 1.75.

Рисунок 1.74

Рисунок 1.75

Цю задачу можна розв’язати і за допомогою частотного (спектрального) методу, який базується на використанні прямого та зворотного перетворення Фур’є. Цей метод розрахунку перехідних процесів передбачає такий алгоритм.

За допомогою прямого перетворення Фур’є за формулою

, (1.125)

визначається спектральна густина вхідного сигналу .

Визначається передатна характеристика кола для того параметра х, для якого нам треба розрахувати перехідний процес.

За допомогою зворотного перетворення Фур’є за формулою

, (1.126)

знаходиться оригінал .

Запишемо спочатку вхідну напругу в аналітичній формі з використанням функції Хевісайда.

(1.127)

Далі реалізуємо вищенаведений алгоритм в MathCAD. При цьому відзначимо, що перетворення Фур’є не обов’язково виконувати безпосередньо за виразами (1.125, 1.126), а досить використати вбудовані функції “fourier” та “invfourier”.

Аналітичний вираз для теж такий же громіздкий, тому ми його не наводимо.

Звернемо увагу на те, що, якщо сигнал записати за допомогою функції Хевісайда Ф(t), то спектральна густина сигналу виражається через функцію Дірака Dirac(ω).

Оскільки порівняння аналітичних результатів розрахунків частотним методом та за допомогою перехідних характеристик практично неможливе, побудуємо графіки цих функцій (рис. 1.76, 1.77).

Рисунок 1.76

Рисунок 1.77

Легко помітити, що графіки збігаються.