Задание 25 № 340341. Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.
Решение.
Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда Рассмотрим треугольники и углы и равны как вертикальные, следовательно, эти треугольники подобны, откуда
Задание 24 № 340344. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведенную из вершины B в отношении 5:3, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 8.
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. В треугольнике — биссектриса. Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам, то есть Найдём косинус угла
Следовательно, синус угла равен:
Из теоремы синусов найдём радиус описанной окружности:
Задание 25 № 340347. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по площади части.
Решение.
Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке. Пусть — длина высоты трапеции. Площадь треугольника равна площади треугольника поскольку высоты, проведённые к основаниям и равны, а основания и равны. Аналогично равны площади треугольников и Покажем, что площади четырёхугольников и равны:
Задание 25 № 340370. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
Решение.
Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°, поэтому Углы и образуют развёрнутый угол, значит, Из приведённых равенств получаем, что Рассмотри треугольники и угол — общий, углы и равны, следовательно, треугольники подобны.
Задание 26 № 340376. В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 49 и 21, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 20.
Решение.
Продолжим стороны и до их пересечения в точке Угол равен 90°, поскольку сумма углов и равна 90°. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны, откуда Найдём
Пусть окружность касается прямой в точке причём точка может лежать или на стороне или на её продолжении. Отрезок перпендикулярен прямой как радиус проведённый в точку касания, и — радиусы.
Треугольник — равнобедренный, — высота, следовательно, является медианой и биссектрисой. Четырехугольник — прямоугольник, потому что все его углы прямые. Откуда:
Задание 26 № 340378. Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 31 и 32, касаются сторон угла с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Решение.
Проведём построения как показано на рисунке. Пусть радиус меньшей окружности равен а радиус большей окружности равен Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Откуда
Прямая — касательная к окружностям, поэтому перпендикулярна прямой Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, — общая, следовательно, треугольники и равны, откуда Найдём тангенс угла
Из прямоугольного треугольника
Найдём синус угла
Радиус окружности, описанный около треугольника
Задание 24 № 340409. В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ = 86, SQ = 43.
Решение.
Углы и — вписанные, опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Рассмотрим треугольники и углы и равны, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Откуда получаем:
Таким образом,