Спостереження інтерференції методом поділу хвильового фронту. (інтерференційна схема Юнга).

Інтерференція світла.

1. Історична довідка. У механіці під інтерференцією хвиль (від лат.: inter – між собою і ferio – вдаряю, вражаю) розуміють накладання у просторі двох або більше хвиль, внаслідок чого у різних його ділянках спостерігається підсилення або послаблення амплітуди результуючої хвилі. Інтерференція характерна як для поздовжніх, так і для поперечних хвиль. Характерний для інтерференції просторовий розподіл амплітуди з максимумами і мінімумами ( ; де амплітуди хвиль, які накладаються, амплітуди результуючої хвилі у максимумах і мінімумах відповідно) залишається незмінним у часі за умови, що хвилі когерентні, або ж зазнає менш чи більш швидких змін у випадку хвиль некогерентних.

На явища, які мають відношення до інтерференції в оптиці, вперше звернув увагу у 1663 р. Р. Бойль, якому вдалося спостерігати кольорові кільця у світлі, яке відбивається від тонкого шару повітря у проміжку між плоско-опуклою лінзою і тонкою скляною пластинкою. Детальне експериментальне дослідження цих явищ провів тоді ж Р.Гук. Однак, оскільки вперше теорію цього явища дав Ньютон, воно отримало назву кілець Ньютона. В якості фізичної моделі явища Ньютон використав корпускулярну модель, яка привела до формально вірних результатів, однак, як виявилося пізніше, була хибна. Разом з тим корпускулярна модель світла лишалась у фізиці панівною аж до початку 19 ст., оскільки в її рамках з достатньою на той час точністю описувались всі явища, які стосувались відбивання і заломлення світла, а також фотометрії.

Однак, уже у 1665 р. вийшла з друку праця Ф. Грімальді „Фізико-математичний трактат про світло, кольори і райдугу”, у якому описувалось відкриття дифракції світла. Останнє наштовхнуло Р.Гука висловити припущення про хвильову природу світла (1665 р.). Це підштовхнуло Р. Гюйгенса на побудову хвильової моделі світла (1678 р.), яка дозволила йому описати всі відомі на той час оптичні явища ( „Трактат про світло”, 1690 р.). На значення нової моделі світла зразу ж звернув увагу Г. Лейбніц (1693 р.). Проте вона не набула всезагального визнання в силу своєї слабкої аргументації, складності та авторитету І.Ньютона. Так що після виходу в світ праці І. Ньютона „Оптика” хвильова модель була надовго забута.

Основи сучасної хвильової теорії світла були закладені в роботах Р. Юнга (1802 р.) та Ж. Френеля (1816 р.). Вона опиралась на модель світового ефіру, згідно з якою Всесвіт пронизується специфічним пружним середовищем – ефіром, у якому, власне, і поширюється світлові хвилі. Потреба у моделі ефіру відпала у зв’язку із побудовою Дж. К. Максвеллом теорії електромагнітних хвиль (1865 р.), згідно з якою світло є лише одним із різновидів електромагнітних хвиль, що поширюється у електромагнітному полі. Теорія Дж. К. Максвелла отримала експериментальне підтвердження у дослідах Г. Герца (1888 р.) і стала фундаментом сучасної хвильової (електромагнітної) теорії світла. Відтоді задачі, пов’язані з інтерференцією світла, розв’язуються шляхом застосування рівнянь Максвелла до електромагнітного поля, яке існує у просторі за певних граничних умов, або ж наслідків, отриманих із цих рівнянь.

2. Суперпозиція світлових хвиль.У подальшому викладі ми користуємось саме висновками електромагнітної теорії світла, згідно з якою у випадку поширення паралельного світлового пучка йому відповідає плоска електромагнітна хвиля, яка може бути описана рівняннями:

(1)

(2)

де відповідні вектори напруженості ЕП та індукції ЕП;

відповідно вектори амплітуд ;

– фаза електричної і магнітної компонент ЕМХ у точці спостереження;

– початкова фаза хвилі (фаза хвилі у точці у момент часу ).

Однак, оскільки вплив на зоровий аналізатор людини – око та на інші детектори, як свідчать численні досліди, здійснюється лише за рахунок електричної компоненти ЕМХ , надалі розглядаємо лише її поведінку і використаємо для її позначення термін „світлова хвиля” (СХ).

Нехай від двох точкових джерел світла і у точку спостереження приходять дві світлові хвилі такі, що:

1. монохроматичні причому ;

2. амплітуди у точці спостереження відповідно рівні і ;

3. напрями коливань співпадають: .

У зв’язку з останнім говорять, що хвилі мають одну площину коливань або мають одну поляризацію.

Будемо вважати, що спостереження накладання СХ проводиться у області, достатньо віддаленій від джерел, так що хвилі є практично плоскими і їх амплітуда не залежить від відстані, яку пройшли хвилі. Окрім того, нехай хвиля поширюється до М у однорідному середовищі з показником заломлення , а хвиля – у середовищі з показником заломлення (мал. 1).

Виберемо координатну вісь Ох так, щоб коливання векторів здійснювались вздовж цієї осі.

У такому випадку для проекцій світлових хвиль на вісь Ох із (1) отримуємо:

(3)

(4)

де – амплітуди СХ у точці спостереження М;

– хвильові числа СХ (1) і (2);

– початкові фази СХ (1) і СХ (2).

Згідно з означенням хвильового числа:

(5)

де – довжина хвилі у вакуумі.

У такому разі СХ (1) і СХ (2) у точці М збудять коливання електричного поля:

(6)

(7)

де – відповідно початкові фази коливань, збуджених СХ (1) і (2) в М:

(8)

(9)

Згідно з принципом суперпозиції для напруженості електричного поля в точці М:

(10)

так, що

(11)

Надалі індекс „х” опускаємо, так що у подальшому Е означає проекцію на Ох. У цьому зв’язку для результуючого коливання електричного поля з врахуванням (6) і (7):

(12)

3. Застосування до суперпозиції СХ методу векторних амплітуд. Для знаходження рівняння результуючого коливання, яке збуджується СХ(1) і СХ(2) скористуємося графічним методом – методом векторних амплітуд.

У цьому зв'язку коливанню напруженості ЕП в М:

(13)

співставимо умовний вектор амплітуди , такий, що:

1. модуль вектора амплітуди дорівнює модулю :

2. початок співпадає з початком системи координат ХОУ;

3. у початковий момент часу утворює з Ох кут, який дорівнює початковій фазі коливання ;

4. обертається довкола Ох з кутовою швидкістю , яка дорівнює частоті коливання (мал. 2).

У такому разі у довільний момент часу t утворює з Ох кут: , який дорівнює фазі коливання у цей момент.

Проекція на Ох в момент часу t:

(14)

Із рівнянь (13), (14) бачимо, що формально у момент часу t виконується:

.

Співставимо кожному із коливань, які збуджують в М СХ (1) і СХ (2) умовні вектори амплітуд і .

Тоді для кожного із коливань умовно можна записати:

; .

Це дозволяє подати (14) у вигляді (мал. 3.):

,

де – результуючий умовний вектор амплітуди, отриманий згідно із принципом додавання векторів (правило паралелограма).

Тобто результуюче коливання в М є проекцією результуючого вектора амплітуди на Ох:

(15)

де – амплітуда результуючого коливання;

початкова фаза результуючого коливання.

Оскільки модуль результуючого вектора амплітуди згідно з теоремою косинусів:

,

то для амплітуди результуючого коливання напруженості ЕП в М:

(16)

де – різниця фаз коливань і у момент часу t.

Для отримуємо:

(17)

Враховуючи (8) і (9), маємо для різниці фаз коливань, які збуджені у точці М СХ (1) і СХ (2):

. (18)

Що стосується початкової фази результуючого коливання в М, пропонуємо знайти її самостійно, скориставшись теоремою синусів. Вона дорівнює:

Підводячи підсумок, відмітимо, що внаслідок приходу в М СХ, які задовольняють вимогам, наведеним на початку даного пункту 2, в М збуджується коливання напруженості ЕП з амплітудою , яка визначається амплітудами кожної з хвиль та , а також різницею фаз цих хвиль в М. Останнє за умови стаціонарного середовища та визначається лише різницею оптичних шляхів та , які пройшли хвилі, та початковою різницею фаз хвиль (фаз хвиль у момент їх випромінювання джерелами):

(19)

де

(20)

4. Інтенсивність результуючої хвилі. Разом з тим практичний інтерес представляє не амплітуда результуючого коливання , збудженого внаслідок суперпозиції (накладання) світлових хвиль, а інтенсивність світлової хвилі, оскільки саме вона характеризує взаємодію світла з детектором випромінювання, зокрема ока.

Як вже відомо з попереднього, інтенсивність хвилі довільної природи амплітуда якої незмінна в часі (стаціонарна хвиля), пропорційна квадрату цієї амплітуди. Однак, щоб не порушувати загальності міркувань, включимо в розгляд і ті хвилі, амплітуда яких з часом змінюється, зокрема і випадковим чином. У такому разі детектор, поглинаючи енергію від світлової хвилі впродовж деякого малого проміжку часу , зареєструє інтенсивність:

(21)

де – поглинута детектором енергія впродовж ;

– площа робочої поверхні детектора, орієнтованої перпендикулярно до напрямку поширення світлової хвилі.

Кожен детектор характеризується певним скінченим проміжком часу, який необхідний для того, щоб було можливо провести реєстрування випромінювання, тобто необхідним для того, щоб детектор поглинув деяку мінімально можливу для реєстрування енергію. Проміжок часу, впродовж якого детектор поглинає таку порогову енергію, називають часом спрацювання детектора _дет. Зокрема, для ока _дет становить близько ( 0,04 с 40 мс), для фотоплівки може мати (0,1 мс = 100 мкс). Однак, застосування спеціальних пристроїв дозволяє зменшити проміжок часу, необхідний для вимірювання інтенсивності, аж до 10 нс і навіть менше (Р. Браун, Р. Твісс, 1956 р.; Л. Мендель, 1967 р.).

У зв’язку з цим не слід забувати, що незалежно від часу спрацювання детектора, останній проводить усереднення інтенсивності випромінювання впродовж _дет; так що інтенсивність випромінювання, яке реєструється:

(22)

Таким чином, якщо у випадку стаціонарних світлових хвиль інтенсивність може бути знайдена згідно із співвідношенням, аналогічним відомому з механіки ( – деякий коефіцієнт пропорційності):

(23)

то у загальному випадку цей вираз слід переписати так:

(24)

де – середнє значення квадрату амплітуди СХ впродовж часу спрацювання детектора _дет.

Зрозуміло, що у випадку стаціонарних СХ із (24) отримується рівність (23), оскільки середнє значення сталої величини дорівнює самій величині.

У такому разі знайдемо інтенсивність результуючої СХ, яка отримана шляхом суперпозиції СХ від двох джерел і (мал. 1), скориставшись (19):

(25)

Останній доданок в (25) можна подати у вигляді:

(26)

Тоді, домноживши (25) зліва і справа на у відповідності до (24) отримаємо:

(27)

або

, (28)

де – інтенсивності хвиль, що накладаються;

– середнє значення косинуса різниці фаз хвиль у точці спостереження впродовж _дет;

– інтенсивність результуючої хвилі.

5. Когерентність хвиль та її вплив на інтенсивність результуючої хвилі.Хвилі, різниця фаз яких у точці спостереження за час спрацювання детектора _дет не змінюється ( ) або змінюється неістотно ( ) називають когерентними. Якщо ж впродовж _дет різниця фаз хвиль змінюється не менше ніж на , хвилі називають некогерентними. Проміжний випадок відповідає квазікогерентним хвилям. Таким чином, як видно із порівнянь цих означень, є хвилі когерентними чи некогерентними, у значній мірі визначається часом спрацювання детектора _дет. Однак, якщо цей проміжок часу достатньо великий (детектор інертний), то когерентність чи некогерентність хвиль визначається як особливостями джерел хвиль, так і середовищ, у яких вони поширюються. У випадку, коли середовище стаціонарне, джерелами когерентних хвиль можуть бути лише когерентні джерела, тобто такі, що , тобто початкова різниця фаз хвиль не залежить від часу. Якщо ж джерела некогерентні або ж середовище нестаціонарне, то у точці спостереження ; , так, що, взагалі кажучи, і спостерігається накладання некогерентних хвиль. Виключенням є лише той випадок, коли залежності та співпадають або ж відрізняються на сталу величину, оскільки тоді .

Якщо розглядати випромінювання світла речовиною на мікроскопічному рівні, то приходимо до висновку, що власне джерелом СХ є окремі атоми. Останні випромінюють світлові хвилі випадково, переходячи випадковим чином із збудженого стану в основний. Таким чином, навіть окреме джерело світла випромінює одночасно безліч СХ із амплітудами і початковими фазами , які мають випадкові значення. Отже, випромінювання джерела світла не може бути охарактеризоване певною амплітудою та певною фазою СХ. Акт випромінювання окремого атома в середньому дорівнює часу життя атома у збудженому стані _зб, який зазвичай за порядком величини становить 10^-8 с ( с). Оскільки участь у випромінюванні одночасно приймає велика кількість атомів, то за час спрацювання детектора _дет, (зазвичай становить _дет ^-4 с), він встигає зареєструвати значну кількість хвиль із випадковими фазами і амплітудами. Тоді в якості результату вимірювання буде отримано:

де – середнє значення квадрата амплітуди результуючої хвилі від багатьох атомів за час спрацювання детектора.

У такому разі, якщо в М спостерігається суперпозиція СХ (1) і СХ (2) від джерел і відповідно, у загальному випадку слід прийняти до уваги, що ці джерела некогерентні (початкові фази СХ, які вони випромінюють, випадкові і різниця початкових фаз хвиль впродовж _дет змінюється випадковим чином не менш ніж на . Тому, навіть у випадку стаціонарних середовищ, у точці М відбувається суперпозиція некогерентних хвиль, для яких впродовж _дет у відповідності до (19) випадкових значень в широких межах ( ). Тобто впродовж _дет набуває (з однаковою ймовірністю) як додатніх, так і від’ємних значень ( ). Тому результат усереднення впродовж _дет зазвичай дорівнює нулю: .

Таким чином, внаслідок накладання пучків світла від звичайних джерел при використанні звичайних детекторів (наприклад, око, фотоплівка), згідно з (28) буде отримано:

(29)

Результатом суперпозиції світлових хвиль від звичайних некогерентних джерел є додавання їх інтенсивностей. Візуально це спостерігається як додавання освітленостей в М, що відомо із фотометрії: освітленість поверхні двома джерелами і , кожне з яких окремо забезпечує освітленість і відповідно, дорівнює сумі цих освітленостей:

(30)

Справа виглядала б зовсім інакше, якби в М накладались когерентні хвилі, тобто такі, для яких впродовж _дет зміна різниці фаз не спостерігається або ж ця зміна неістотна. Останнього можна досягнути, забезпечивши виконання хоч би однієї з умов:

1. джерела випромінюють СХ із сталою різницею фаз, зокрема, синфазні ; середовища стаціонарні ;

2. час спрацювання детектора _дет < _зб .

Поки що утримаємось від аналізу того, у який спосіб ці умови можна задовольнити в реальності, і будемо вважати, що СХ, суперпозицію яких ми розглядаємо, задовольняють хоча б одну з них. У кожному разі в М впродовж _дет різниця фаз хвиль не змінюється або змінюється несуттєво. За цієї умови із (28) для результуючої хвилі отримаємо:

(31)

6. Інтерференція світла та роль когерентності у її спостереженні. Як видно із (31) у випадку накладання двох когерентних світлових хвиль інтенсивність результуючої хвилі у точці спостереження не залежить від часу і при заданих та визначається лише різницею фаз хвиль (обраховується згідно (18)) і може змінюватись у межах:

(32)

де за умови ;

за умови .

Тобто СХ можуть як підсилювати, так і послаблювати одна одну, бути одна одній на заваді. У зв’язку з останнім говорять, що спостерігається інтерференція світла (interferentio – завада (англ.)).

Будемо змінювати положення точки спостереження М. Оскільки різниця фаз хвиль згідно з (19):

,

то таке переміщення М зумовлює зміну і і, як наслідок, зміну . Отже, при зміні положення М детектор буде реєструвати зміну інтенсивності в межах (32). У зв’язку з цим у оптиці інтерференція світла – перерозподіл інтенсивності світлового випромінювання внаслідок накладання світлових пучків від двох або більше джерел. На екрані інтерференція світла спостерігається як перерозподіл освітленості внаслідок накладання двох або більше пучків світла.

Умова (31) була отримана у припущенні про когерентність СХ у пучках світла, які накладаються. Однак, як відмічалось, критерій когерентності ( або впродовж _дет) є відносним, оскільки беручи детектори із малими _дет цей критерій завжди, в принципі можна задовольнити. Тому можна зробити висновок, що інтерференція має місце завжди, незалежно від особливостей джерел світла і середовищ, у яких вони поширюються, однак не завжди може спостерігатись у зв’язку із відсутністю необхідного детектора із достатньо малим часом спрацювання _дет. І той факт, що зазвичай виконується відомий закон додавання освітленостей є лише наслідком великої інерційності ока чи інших детекторів ( ). По-суті, око усереднює картину інтерференції – чергування максимумів і мінімумів освітленості, яка змінюється кожних . Таких змін впродовж часу спрацювання ока _дет с відбувається . Однак, якби був наявний детектор з _дет с, він впродовж _дет реєстрував би розподіл освітленості поверхні, аналогічний (31):

(33)

Область накладання світлових хвиль, інтерференцію яких ми надалі називатимемо областю інтерференції або інтерференційним полем. Якщо хвилі когерентні, то впродовж часу спрацювання детектора _дет просторовий розподіл інтенсивності результуючої хвилі незмінний або його зміни незначні. У цьому випадку говорять, що картина інтерференції незмінна в часі. У випадку квазікогерентних хвиль впродовж часу спрацювання детектора картина інтерференції повільно змінюється, тоді як у випадку некогерентних хвиль вона змінюється настільки швидко, що спостерігати інтерференцію стає неможливо.

7. Умови спостереження максимумів і мінімумів інтерференції. Надалі розглядатимемо картину інтерференції у випадку когерентних світлових хвиль. Як зрозуміло із попереднього, вона незмінна (стійка) як в просторі, так і в часі і зручна для спостереження.

У такому разі у будь-якій точці М розміщення детектора інтенсивність світла визначається співвідношенням (31):

дe .

У випадку, коли : (34)

У цьому випадку говорять, що спостерігається конструктивна інтерференція або, що те ж саме, інтерференційний максимум. Це можливо, коли у точці спостереження різниця фаз хвиль:

; (35)

Значення числа m називають порядком інтерференційного максимуму. Очевидно, що інтерференційний максимум спостерігається у випадку, коли:

(36)

Якщо джерела світлових хвиль синфазні, то . У цьому випадку умова спостереження максимуму інтерференції:

, (37)

У випадку синфазних джерел конструктивна інтерференція спостерігається, якщо на оптичній різниці ходу хвиль вкладається парна кількість довжин півхвиль у вакуумі.

Якщо середовище однорідне ( ) умова (37) переходить у наступну:

(38)

В однорідному середовищі у випадку синфазних джерел конструктивна інтерференція спостерігається, якщо на геометричній різниці ходу хвиль вкладається парна кількість довжин півхвиль у середовищі. Зокрема, якщо спостереження ведеться у вакуумі або у повітрі умова (38) то (38) переходить в наступну умову:

(39)

У випадку, коли :

(39)

У цьому випадку говорять, що спостерігається деструктивна інтерференція або, що те саме, інтерференційний мінімум. Умова спостереження останнього:

.

Аналогічно до умов спостереження конструктивної інтерференції маємо наступні умови спостереження інтерференції деструктивної:

1. загальна умова для різниці фаз:

; (41)

2. загальна умова для оптичної різниці ходу:

; (42)

3. джерела синфазні ( ):

; (43)

4. джерела синфазні, середовища однорідні:

(44)

5. джерела синфазні, спостереження у вакуумі (повітрі):

. (45)

Для інтенсивності світлових хвиль в залежності від на основі (31) можна записати:

(46)

де та визначаються згідно з (32).

Зобразимо цю залежність графічно (мал. 4).

Зрозуміло, що доданок – інтенсивність результуючої хвилі, усереднена по області інтерференції. Очевидно, аналогічне матиме місце і для освітленості екрану, розміщеному в області інтерференції:

(46)

(47)

Так, що умови спостереження максимумів і мінімумів освітленості залишаються такими ж, як і для .

Якщо та істотно відрізняються наприклад , то у першому наближенні:

Max та min інтерференції розрізнити у цьому випадку зазвичай не вдається: інтерференція практично не спостерігається. Якщо ж , то виникають особливо сприятливі умови для спостереження інтерференції. У цьому випадку із (29):

(48)

Залежність від у цьому випадку приведена у вигляді графіка (мал. 5).

Як видно, в області інтерференції інтенсивність світла та освітленість змінюються в межах: .

Інтерференція світла є прикладом дії закону збереження енергії. Внаслідок накладання двох пучків СХ їх енергія в мінімумах не зникає, так само як і не виникає у максимумах. Відбувається лише закономірний перерозподіл густини енергії в області інтерференції: густина енергії електромагнітного поля в максимумах інтерференції зростає на стільки, на скільки вона зменшується в мінімумах. Дійсно, зменшення результуючої інтенсивності в мінімумах від 2I₀ до 0 супроводжується її зростанням від 2I₀ до 4I₀ в максимумах.

Спостереження інтерференції методом поділу хвильового фронту. (інтерференційна схема Юнга).

1. Інтерференційна схема Юнга. Як уже відмічалось, окремі атоми джерела світла випромінюють світлові хвилі неузгоджено, так що картина інтерференції зазнає істотних змін приблизно кожних 10^-8 с. Це приводить до того, що звичайними детекторами, наприклад оком, зареєструвати картину інтерференції не вдається. Однак існує спосіб, який дозволяє усунути цю перешкоду, пов’язану з некогерентністю світлових хвиль, які випромінюють джерела світла. Як зауважив Р. Юнг (1803 р.), для цього достатньо СХ, яку випромінює джерело, розділити на дві. У такому разі, навіть якщо початкова фаза СХ, яку випромінюють окремі атоми джерела змінюється випадковим чином , різниця фаз вторинних СХ, отриманих шляхом поділу первинних, буде рівною нулю ( ). Те ж саме стосується сукупності всіх СХ, які випромінюють різні атоми джерела світла.

Таким чином, отримується дві синфазні хвилі, які поширюються від двох дійсних або уявних вторинних джерел та . Оскільки вторинні хвилі (вторинні джерела) отримуються шляхом поділу первинної хвилі, метод спостереження інтерференції, запропонований Юнгом, дістав назву методу поділу хвильового фронту. Зараз не будемо зупинятися на конкретних способах отримання вторинних синфазних джерел світла, а розглянемо особливості спостереження інтерференції згідно зі схемою, запропонованою Юнгом.

Нехай є два лінійних паралельних стаціонарних монохроматичних джерела і , від яких світлові хвилі поширюються в однорідному середовищі з показником заломлення (мал.1). У такому разі хвилі поширюються прямолінійно і, будучи поблизу джерел циліндричними, в далекій від джерел області є практично плоскими. Розмістимо в далекій області екран Е, площина якого паралельна площині джерел і . В результаті накладання СХ від цих джерел на екрані спостерігатиметься картина інтерференції. Якщо у далекій області інтенсивності хвиль від і однакові, то, як відомо з попереднього, інтенсивність світла в площині екрану:

(1)

де – інтенсивність кожної із хвиль від і в далекій області;

– різниця фаз хвиль в точці спостереження М екрану Е.

Очевидно, те ж саме стосується і освітленості:

(2)

де – освітленість екрану, зумовлена одним окремим джерелом.

Виберемо координатну вісь ОХ так, щоб вона лежала у площині екрану, була перпендикулярна джерелам і її початок О перебував посередині між ними. Внаслідок руху вздовж ОХ різниця фаз світлових хвиль зазнаватиме змін , так що на екрані спостерігатимуться коливання освітленості у відповідності до (2) і картина інтерференції матиме вигляд паралельних смуг відповідного кольору (визначається довжиною хвиль випромінювання).

Якщо джерела і випромінюють біле світло з довжиною хвилі , то картини інтерференції для світла різних кольорів (різних довжин хвиль) накладаються. Як буде показано нижче, максимуми і мінімуми інтерференції для світла різних довжин хвиль (різних кольорів), взагалі кажучи, не співпадають. Це зумовлює розмиття картини інтерференції. У випадку білого світла спостерігати інтерференцію стає вкрай важко.

Для виділення світла окремого кольору можна використати світлофільтр. Але навіть найкращі світлофільтри пропускають не ідеально монохроматичне світло з довжиною хвилі , а СХ з набором довжин хвиль у деякому інтервалі , де . У випадку немонохроматичного світла. Щоб картини інтерференції СХ з різною довжиною хвилі зміщувались одна щодо одної неістотно (розмиття картини інтерференції неістотне), оптична різниця ходу хвиль не повинна перевищувати:

(3)

Взявши за (середина оптичного діапазону) для світлофільтра з отримуємо: . Очевидно, при спостереженні у повітрі для геометричної різниці ходу матимемо таке ж значення геометричної різниці ходу : ( ).

Останнє означає, що у випадку спостереження інтерференції за схемою Юнга (мал. 1) геометрична різниця ходу світлових хвиль від джерел і у області спостереження не повинна перевищувати 1мкм, так що для спостереження інтерференції точка спостереження М повинна перебувати недалеко від середини екрану О. Оскільки спостереження ведеться у далекій області, то отримаємо для координати точки спостереження: . У зв’язку з останнім для геометричної різниці ходу хвиль:

(4)

Знайдемо, яким чином в залежності від координати Х змінюється освітленість екрану у випадку інтерференції монохроматичного світла з довжиною хвилі , від джерел однакової інтенсивності . Оскільки різниця фаз хвиль у точці спостереження М:

то згідно з (2) і (4) отримаємо:

.

Як видно, освітленість екрану періодично змінюється.

Х

Знайдемо координату Х точок, в яких на екрані спостерігається мінімум інтерференції (деструктивна інтерференція).

Оскільки середовище однорідне, а і - синфазні джерела, то в М на екрані спостерігатиметься деструктивна інтерференція (мінімум інтерференції), якщо на вкладається непарна кількість півхвиль.

.

З врахуванням (4) отримуємо для мінімуму порядку m:

(5).

Аналогічно для координати максимуму порядку m:

(6)

Шириною інтерференційної смуги називають відстань між двома сусідніми мінімумами (мал. 1):

(7).

Вимірювання ширини інтерференційної смуги на екрані дозволяє визначити довжину хвилі випромінювання:

(8).

Як видно з (6), для двох різних довжин хвиль та максимуми інтерференції мають різні координати , і, як наслідок, різну ширину інтерференційних смуг та . Саме тому, як вже зазначалось вище, інтерференційні смуги світла різних кольорів (різних довжин хвиль), накладаючись одна на одну, зумовлюють складність спостереження картини інтерференції. У випадку білого світла на Е отримуються смуги із чергуванням кольорів від фіолетового з краю, ближчого до О, і до червоного з іншого краю, оскільки, як видно із (6), максимум даного порядку розміщений від О тим далі, чим більша довжина хвилі.

У випадку немонохроматичного світла з довжиною хвилі спостереження інтерференційного максимуму порядку m стає неможливим, якщо згідно із критерієм розділення Релея, край максимуму (мінімум) порядку m для накладеться на центр максимуму того ж порядку для .

Враховуючи, що згідно з (5) і (8) для цього випадку:

.

Таким чином, якщо світло немонохроматичне розмиття максимумів може спостерігатись вже з порядку:

(9)

Для білого світла з нм маємо: так що розмиття картини інтерференції робить її непридатною для спостереження, вже починаючи з максимумів першого порядку .

Тобто умова (9) може розглядатись як умова знаходження максимального порядку інтерференційного максимуму, який ще спостерігається:

Тоді максимальна оптична різниця ходу, при якій ще можливе спостереження інтерференції:

,

на що зверталось увагу в (3).

2. Метод Юнга. Світлові хвилі, які випромінюються звичайними (не лазерними) джерелами світла, не бувають монохроматичними, оскільки випромінювання окремих атомів джерела є хвильовим пакетом, який складаються із хвиль з частотами або довжинами хвиль які належать деякому інтервалу:

або ,

де – центральна частота або довжина хвилі пакета відповідно;

– ширина смуги частот або довжин хвиль відповідно, які присутні у пакеті.

У цьому зв’язку наочно залежність для окремої ЕМХ – хвильового пакета, якого випромінив атом, можна зобразити так, як показано на мал. 3. Як доводять у квантовій фізиці, набір частот хвиль у пакеті визначається співвідношенням:

що дає для смугу частот .

У такому разі для набору довжин хвиль :

Тоді в точці спостереження М ми маємо справу із накладанням випадкових хвильових пакетів, які випромінюють атоми джерел і відповідно, і які мають випадкові початкові фази і розкид частот (довжин хвиль) у яких у кращому випадку становить .

Такі хвильові пакети мають скінчену протяжність у просторі. В силу останнього впродовж при накладанні СХ – хвильових пакетів різниця фаз хвиль окремих пакетів (тривалістю кожен) багаторазово зміниться (більше ніж у разів). Хвилі виявляються некогерентними: інтерференція не спостерігається.