Определение натуральной величины отрезка прямой

И углов его наклона к плоскостям проекций

Методом прямоугольного треугольника

Рассмотрим схему проецирования прямой на плоскости П₁ и П₂ (рис. 15 и 33). АВ – прямая в пространстве, А₁В₁ – горизонтальная проекция прямой на плоскости П₁. Через точку А проведем прямую, параллельную А₁В₁. Получим прямоугольный треугольник, в котором один катет равен А₁В₁, второй катет – разности аппликат концов отрезка (т.е. представляет собой относительную аппликату z₀ точки В по точке А), а гипотенуза есть сам отрезок АВ. Угол α есть угол наклона прямой АВ к горизонтальной плоскости проекций. Сдвинем этот треугольник до совмещения с проекцией А₁В₁, а затем повернем его вокруг А₁В₁ до наложения на плоскость П₂. В наложенном на плоскость треугольнике гипотенуза уже не является пространственной прямой, но по величине ей равна. Перенесем полученное построение на эпюр (рис. 34). На А₁В₁, как на катете, строится прямоугольный треугольник, второй катет которого является z₀ и измеряется на фронтальной плоскости проекций. Тогда гипотенуза равна натуральной величине (Н.В.) отрезка АВ. Угол между натуральной величиной и горизонтальной проекцией А₁В₁ определяет угол α наклона прямой АВ к П₁.

Совершенно аналогичные построения можно выполнить для определения угла β наклона прямой АВ к плоскости П₂. Для этого на рис. 33 через точку А проведем прямую, параллельную фронтальной проекции отрезка А₂В₂. Полученный прямоугольный треугольник, вторым катетом которого является разность ординат концов отрезка y₀, переместим к А₂В₂, а затем повернем его вокруг А₂В₂ до наложения на плоскость П₁. Полученное построение выполнено на эпюре рис. 34. Величина у₀ = у – у_А и замерена при горизонтальной проекции отрезка. Между Н.В. отрезка АВ и его фронтальной проекцией получается угол β наклона прямой АВ к фронтальной плоскости проекций.

Рис. 33 Рис. 34

Итак: натуральная величина отрезка равна гипотенузе прямоугольного треугольника, один катет которого есть любая проекция отрезка, а второй равен разности расстояний концов отрезка от плоскости проекций, на которой выбран первый катет.

Взаимное расположение прямых

Две прямые в пространстве бывают:

1. пересекающимися;

2. параллельными;

3. скрещивающимися.

Пересекающиеся прямые

Пусть в пространстве имеем две пересекающиеся в точке М прямые АВ и CD (рис. 35). Из условия принадлежности известно, что если точка М лежит на прямой, то ее проекции М₁, М₂ лежат на одноименных проекциях прямой АВ (А₁В₁ и А₂В₂ соответственно). Одновременно, если М лежит на прямой CD, то ее проекции М₁, М₂ должны лежать на одноименных прямых проекциях прямой CD. Следовательно, М₁ лежит в пересечении проекций А₁В₁ и С₁D₁, а М₂ - в пересечении А₂В₂ и С₂D₂.

Итак: если две прямые пересекаются в пространстве, то их одноименные проекции, пересекаясь, определяют проекции единственной точки пересечения (рис. 36).

Рис. 35 Рис. 36

Параллельные прямые

Одноименные проекции двух параллельных прямых всегда параллельны. Рассмотрим рис. 37. Пусть дано, что m║n . Проецирующие их плоскости также параллельны (если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны). А так как при пересечении двух параллельных третьей в пересечении получаются параллельные прямые, то m₁║n₁. Аналогично получим, что m₂║n₂. На рис. 38 приведены различные случаи параллельных прямых.

Рис. 37 Рис. 38

Однако не всегда параллельность двух одноименных проекций двух прямых говорит о параллельности прямых. Для профильных прямых недостаточно задания фронтальных и горизонтальных проекций параллельных прямых (рис. 39). Для выяснения взаимного положения таких прямых надо построить профильную проекцию, которая покажет взаимное положение прямых.

а) б)

Рис. 39

Скрещивающиеся прямые

Две непараллельные прямые, которые не пересекаются, сколько бы их не продолжали, называются скрещивающимися. Это означает, что через них всегда можно провести пару параллельных плоскостей. На рис. 39а мы имеем скрещивающиеся профильные прямые, они лежат в плоскостях, параллельных плоскости П₃. Признаком скрещивающих прямых служит отсутствие точки пересечения при непараллельных проекциях (рис. 40).

Рис. 40