Задачи на вычисление

(зачет по курсу 7 класса)

1. Точка принадлежит отрезку , см, причём больше на см. Точка принадлежит отрезку , причём . Найти длины отрезков .

2. Точки лежат на одной прямой. Найти расстояние между точками и , если см, см. Указать все возможные решения.

3. Точка В делит отрезок АС в отношении АВ:ВС=2:1. Точка D делит отрезок АВ в отношении AD:DB=3:2. В каком отношении точка D делит отрезок AC?

4. Луч проходит между сторонами развёрнутого угла , причём угол в раза больше угла . Луч проходит между сторонами угла . Найти угол , если известно, что он на больше, чем .

5. Найдите все углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух их них в три раза меньше суммы двух других.

6. Прямая пересекает параллельные прямые a и b в точках А и В соответственно. Биссектриса одного из образовавшихся углов с вершиной В пересекает прямую а в точке С. Найдите АС, если АВ=1.

7. Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AF. Доказать равенство треугольников ABF и ADF, если и .

8. В треугольнике АВС биссектрисы углов и пересекаются под углом . Найдите .

9. ВК – биссектриса треугольника АВС. Известно, что КВ: КВ=4:5. Найдите разность углов А и С треугольника АВС.

10. Сумма двух сторон равнобедренного треугольника равна 26 см, а периметр равен 36 см, какими могут быть стороны этого треугольника?

11. Периметр равнобедренного треугольника в 4 раза больше основания и на 10см больше боковой стороны. Найдите стороны треугольника.

12. Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС за точку А отложен отрезок AD=АВ, а за точку С – отрезок СЕ=СВ. найдите углы треугольника DBE, если углы треугольника АВС равны .

13. Высоты треугольника АВС, проведенные из вершин А и С, пересекаются в точке Н. Найдите угол АНС, если угол А равен 70⁰, а угол С – 80⁰.

14. В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и В. Точка их пересечения обозначена через D. Найдите угол ADB, если угол С равен γ.

15. Найдите угол между биссектрисами внутренних односторонних углов, образованных парой параллельных прямых и секущей.

16. В треугольнике АВС медиана, проведенная к стороне АВ, равна ее половине. Найдите угол С.

17. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом при вершине В, равным 36⁰, проведена биссектриса AD. Докажите, что треугольники CDA и ADB равнобедренные.

18. АВС – равнобедренный треугольник с основанием АС, СD – биссектриса треугольника, угол ADC равен 150⁰. Найдите угол В.

19. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 24⁰. Найдите углы этого треугольника.

20. Через вершину В треугольника АВС проведена прямая, параллельная прямой АС. Образовавшиеся при этом три угла с вершиной В относятся как 3:10:5. Найдите углы треугольника АВС.

21. Внешний угол треугольника на больше меньшего внутреннего угла, не смежного с ним, а внутренние углы, не смежные с ним, относятся как . Найдите углы треугольника.

22. Внешние углы треугольника АВС при вершинах А и С равны 115⁰ и 140⁰. Прямая параллельная прямой АС, пересекает стороны АВ и АС в точках М и N. Найдите углы треугольника BMN.

23. Две параллельные прямые пересечены третьей. Найдите угол между биссектрисами внутренних односторонних углов.

24. Прямая пересекает стороны и треугольника в точках и соответственно. , , . Докажите, что прямые и параллельны.

25. В треугольнике АВС угол В равен 50⁰. Биссектрисы внутреннего угла А и внешнего угла при вершине С пересекаются в точке D. Найдите угол ADC.

26. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника образует с гипотенузой углы, один из которых равен 70⁰. Найдите острые углы этого треугольника.

27. В прямоугольном треугольнике АВС ( =90⁰) биссектрисы CD и АЕ пересекаются в точке О. Угол АОС равен 105⁰. Найдите острые углы треугольника АВС.

28. В треугольнике АВС угол А меньше угла В в 3 раза, а внешний угол при вершине А больше внешнего угла при вершине В на 40⁰. Найдите внутренние углы треугольника АВС.

29. Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найдите отношение внешних углов треугольника.

30. Острый угол прямоугольного треугольника равен 30⁰, а гипотенуза равна 8. Найдите отрезки, на которые делит гипотенузу высота, проведенная из вершины прямого угла.