Построение статистического ряда информации

Результаты наблюдений за надежностью машин и их элементов в том виде, как они получены по данным первичной учетной документации, представляют собой ряд неупорядоченных чисел, указывающих наработку изделий до отказов, ресурсы изделий и др.

В результате наблюдений получены следующие данные о наработке пакера ___1_____ (таблица). Под наблюдением находилось 50 изделий.

Таблица 1 – Результаты наблюдений за надежностью оборудования

Номер п/п	Наработка до отказа, ч	Номер п/п	Наработка до отказа, ч	Номер п/п	Наработка до отказа, ч	Номер п/п	Наработка до отказа, ч

Минимальное значение наработки равно 19 ч, максимальное 2180 ч.

Зона рассеивания составляет

R = 2180 – 19 = 2161 ч.

Для определения числа интервалов используем формулу

Величина интервала в рассматриваемом случае равна

.

Определяем границы каждого интервала:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Определяем середину каждого интервала по формуле :

,

,

,

,

,

,

,

Определяем число отказов, соответствующих каждому интервалу:

n₁=24;

n₂=14;

n₃=5;

n₄=1;

n₅=2;

n₆=1;

n₇=3;

Определяем частоту отказов для каждого интервала по формуле :

,

,

,

,

,

,

,

Результаты сводим в таблицу 2.

Таблица 2 – Статистический ряд информации

Номер интервала i	Интервал времени, , ч	Середина интервала , ч	Число отказов	Частота отказов
	0-308			0,48
	308-616			0,28
	616-924			0,1
	924-1232			0,02
	1232-1540			0,04
	1540-1848			0,02
	1848-2156			0,06
Итого				1,00

3.2 Расчет параметров статистического распределения

Математическое ожидание определяем по формуле:

.

,

,

,

,

,

,

,

Математическое ожидание составляет

Дисперсию определяем по формуле:

.

,

,

,

,

,

,

,

Дисперсия составляет

Среднее квадратичное отклонение определяем по формуле:

.

Коэффициент вариации определяем по формуле:

.

Результаты расчета по вычислению числовых характеристик приведены в таблице 3.

Таблица 3 – Вычисление числовых характеристик

Номер интервала i	Интервал времени, , ч	Середина интервала , ч	Частота отказов
	0-308		0,48		73,92	11383,68
	308-616		0,28		129,36	59764,32
	616-924		0,1
	924-1232		0,02		21,56	11620,84
	1232-1540		0,04		55,44	76938,84
	1540-1848		0,02		33,88	57392,72
	1848-2156		0,06		120,12	240480,24
Итого			1,00		511,28	516870,64

3.3 Оценка резко выделяющихся статистических данных

Анализ резко выделяющихся статистических данных проводится с целью проверки возможности их исключения из рассматриваемого ряда.

Определяем минимальное и максимальное значения наработки. Выявляем возможные факторы, обеспечившие сокращение или увеличение сроков работы оборудования: режимы и условия эксплуатации, применение новых технологий при ПТО, т.п.

Вычисляем критерий Граббса:

,

3.4 Построение эмпирических кривых распределения

Объединим интервалы 3- 4 и интервалы 5-7, так как начиная с пятого интервала число отказов мало (0-2). В результате зона рассеивания разбивается на 6 интервалов:

; ; ; ; ∆t=616;

; ; ; ;∆t=924;

Статистическая оценка вероятности безотказной работы оборудования определяется выражением:

.

Определим число отказавших изделий n(t_срi) к моменту времени t_срi:

,

,

,

,

Определим число исправных изделий N(t_срi) к моменту времени t_срi:

,

,

,

.

Статистическая оценка вероятности безотказной работы оборудования определяется выражением:

,

,

,

.

Статистическая оценка вероятности отказа оборудования:

.

,

,

,

.

Статистическая частота отказов определяется выражением:

.

Статистическая интенсивность отказов определяется выражением:

.

Данные расчетов приведены в таблице 4.

Таблица 4 – Определение статистических показателей надежности

Номер интервала i	Интервал времени, ∆ti, ч	Середина интервала tсрi, ч	Число отказавших изделий ∆ni за время ∆ti	Число отказавших изделий n(tсрi) к моменту времени tсрi	N(tсрi)=N(0)-n(tсрi)
	0-308					0,77	0,24	0,00156	0,00205
	308-616					0,38	0,62	0,00091	0,00239
	616-1232					0,18	0,82	0,00019	0,00108
	1232-2156					0,06	0,94	0,00013	0,00216

По данным таблицы 4 строим зависимости показателей безотказности , , , .

Рисунок 2 - Статистическая вероятность безотказной работы

Рисунок 3 – Статистическая вероятность отказов оборудования

Рисунок 4 - Статистическая частота отказов оборудования

Рисунок 5 - Статистическая интенсивность отказов оборудования

3.5 Выбор теоретического закона распределения

По виду кривых (Рисунки 2, 3, 4, 5)выбираем экспоненциальный закон распределения.

3.6 Определение параметров распределения

Определяем теоретические показатели надежности , , , .

При экспоненциальном распределении применяем формулы:

Вероятность безотказной работы изделия

Вероятность отказа изделия

Частота отказов

Интенсивность отказов

Для экспоненциального закона распределения необходимо прежде всего определить значение интенсивности.

Зная параметр экспоненциального распределения, можем найти значения характеристик надежности оборудования.

Вероятность безотказной работы изделия

,

,

,

,

Вероятность отказа изделия

,

,

,

,

Частота отказов

,

,

,

,

Данные расчетов сводим в таблицу 5.

Таблица 5 - Определение теоретических показателей надежности

Номер интервала i	Интервал времени, ∆ti, ч	Середина интервала tсрi, ч
	0-308		0,74	0,26	0,001443	0,00195
	308-616		0,41	0,59	0,0007995	0,00195
	616-1232		0,165	0,835	0,000322	0,00195
	1232-2156		0,037	0,963	0,000072	0,00195

3.7 Проверка гипотезы о соответствии эмпирического и теоретического законов распределения

Для проверки гипотезы о законе распределения статистических данных применим критерий Пирсона.

Критерий Пирсона определяем по формуле:

,

где К - количество интервалов наблюдения.

- эмпирические частоты случайной величины в заданном временном интервале, определяется по результатам наблюдений (таблица 4);

- теоретические частоты случайной величины в том же интервале.

Значения вероятностей случайной величины на границах интервалов:

,

,

,

,

,

Теоретические вероятности попадания случайной величины в i-ый интервал:

,

,

,

,

Теоретические частоты случайной величины:

,

,

,

,

Определим отклонения эмпирических параметров случайной величины от теоретических - :

,

,

,

,

Следующий этап вычислений критерия Пирсона:

,

,

,

,

Результаты вычислений приведены в таблице 6.

Таблица 6 - Определение критерия Пирсона

Номер интервала i	Интервал времени, ∆ti, ч
	0-308			0,548	0,452	22,6	1,4	0,087
	308-616		0,548	0,3008	0,2472	12,36	1,64	0,218
	616-1232		0,3008	0,0905	0,2103	10,515	-4,515	1,939
	1232-2156		0,0905	0,0149	0,0756	3,78	2,22	1,304

Критерий Пирсона равен:

.

Определяем число степеней свободы

,

где s - число параметров теоретического распределения, для экспоненциального распределения s=1.

.

При данном уровне значимости и данном количестве наблюдений определяем, что .

Число степеней свободы r=2 и X²=3,548(таб.9) вероятность совпадения теоретического и статического распределения Р<0,5, что отвергает принятую нами гипотезу о распределении наработки пакера по экспоненциальному закону.

Т.к. , то расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами считаем случайными, а теоретическое распределение показателей надежности - не противоречащим опытному.

3.8 Построение теоретических кривых распределения

По данным таблицы 5 строим графики

Рисунок 6 - Теоретическая вероятность безотказной работы

Рисунок 7 – Теоретическая вероятность отказов оборудования

Рисунок 8 - Теоретическая частота отказов оборудования

Рисунок 9 - Теоретическая интенсивность отказов оборудования

3.9 Определение доверительных границ показателей надежности

Доверительные границы рассеивания среднего значения для экспоненциального закона распределения определяем по формулам:

и ,

где , = 1,28 - коэффициент, определяемый по таблице 12 [9]

= 0,8 - коэффициент, определяемые по таблице 13 [9].