Способы задания дискретной СВ

Случайные величины

Основные понятия, определения

1.1. Записать определения следующих понятий:
Случайная величина (СВ)
Множество возможных значений СВ
Дискретная СВ
Непрерывная СВ
Закон распределения СВ
1.2. Какие из перечисленных ниже СВ являются дискретными, укажите для них множество возможных значений: 1) число попаданий в мишень при 3-х независимых выстрелах; 2) отклонение размера обрабатываемой детали от стандарта; 3) число родившихся мальчиков среди 10 новорожденных; 4) номер курса наугад выбранного студента вуза; 5) расстояние от места выстрела до места падения снаряда; 6) время безотказной работы прибора?   Ответ:

Дискретные случайные величины

Способы задания дискретной СВ

1.1. Записать определения следующих понятий:
Ряд распределения
Многоугольник распределения
1.2. Заполните таблицу соответствия, закон распределения выберите из списка: а) гипергеометрическое распределение; б) распределение Пуассона; в) геометрическое распределение; г) равномерное распределение; д) биномиальное распределение.
Закон распределения вероятностей СВ	Формула, по которой выражаются вероятности, соответствующие возможным значения СВ
	, где — число различных элементов множества , из которых элементов обладают определенным свойством; — число элементов выборки, a — число элементов, обладающих этим же свойством и оказавшихся в выборке, причем может принимать следующие значения: , если . , где . Возможные значения СВ — значения числа появления события при проведении повторных независимых испытаний. — вероятность появления события в одном испытании.
	, где — все возможные значения СВ, — количество возможных значений СВ.
	, где . - параметр распределения, — достаточно мало, — достаточно велико. Возможные значения СВ — значения числа появления события при проведении повторных независимых испытаний. — вероятность появления события в одном испытании.
	, где . Возможные значения СВ — значения числа проведенных повторных независимых испытаний, которые продолжаются до первого появлении события . — вероятность появления события в одном испытании.
Замечание. Общим способом задания СВ как дискретной, так и непрерывной является функция распределения (интегральная функция): . Функция распределения для дискретная СВ имеет вид:   .

График для дискретной СВ – ступенчатая линия, точки разрыва которой совпадают с возможными значениями СВ.   В точках разрыва функция имеет скачок, равный соответствующей вероятности .
1.3. Заполнить пропуски
Свойства функции распределения : 1. Все значения функции распределения принадлежат отрезку ………, т. е.   2. Функция распределения является неубывающая, т.е. если , то выполняется неравенство 3. Функция распределения в точке непрерывна слева, т.е. 4. и
1.4. Проанализировать приведенное решение задачи и заполнить пропуски
Задача 1.Задают ли законы распределения дискретной СВ следующие таблицы? а) 0,3 0,2 0,2 0,3

Решение.

Таблица задает закон распределения, т. к. выполняется равенство : .

б)

				…		…
				…		…

Решение.

Таблица задает закон распределения, т. к. выполняется равенство : геометрический ряд вида ,

т.к. , то ряд сходится и его сумма равна , т.е. .

в)

				…		…
				…		…

Решение.

г)

				…		…
				…		…

Решение.

Задача 2.Дискретная СВ имеет закон распределения:

		0,15		0,25	0,35

1. Найти вероятности , , если известно, что в 4 раза больше .

2. Построить многоугольник распределения.

Решение.

Должно выполняется равенство : .

По условию . Значит, .

.

, следовательно .

В прямоугольной системе координат строим точки , , , , .

Ломанная является многоугольником распределения данной СВ:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Указания к решению задач. Анализ и решение задач, в которых требуется составить таблицу распределения вероятностей случайной величины, рекомендуется делать по следующей схеме: 1. Установите, что является СВ в рассматриваемой задаче. 2. Перечислите все возможные значения СВ. 3. Найдите вероятности появления возможных значений СВ: в частности, если возможно, то из условия задачи установите закон распределения вероятностей СВ и используйте соответствующую формулу для нахождения вероятности появления возможных значений СВ. 4. Составьте таблицу распределения вероятностей СВ и проверьте, что . Задача 3.Испытуемый прибор состоит из трех малонадежных элементов. Отказы элементов за некоторое время независимы и их вероятности соответственно равны 0,1; 0,2; 0,3. Найти закон распределения числа элементов, отказавших за время .   Решение. СВ – число элементов, отказавших за время , значит может принять значения: .   Найдем вероятности того, что отказавших элементов прибора за время :   1) нет отказавших элементов, т.е. все элементы работают: и первый, и второй, и третий – событие . Пусть событие означает, что - ый элемент работает, а событие – - ый элемент отказал. Тогда, используя операции над событиями, получим .   С учетом того, что отказы элементов независимы, имеем: .   По условию задачи известно, что ; ; .   Тогда ;   Таким образом,   2) один элемент отказал, т.е. откажет первый элемент, а второй и третий работают или откажет второй элемент, а первый и третий работают, или откажет третий элемент, а первый и второй работают – событие .   Пусть событие означает, что - ый элемент работает, а событие – - ый элемент отказал. Тогда используя операции над событиями, получим     Итак, с учетом того, что отказы элементов независимы, а предложенные варианты отказа одного элемента не могут произойти одновременно, то имеем:       3) два элемента, т.е. первый элемент работает, а второй и третий отказали или второй элемент работает, а первый и третий отказали, или работает третий элемент, а первый и второй отказали – событие .   Пусть событие означает, что - ый элемент работает, а событие – - ый элемент отказал. Тогда используя операции над событиями, получим     Итак, с учетом того, что отказы элементов независимы, а предложенные варианты отказа двух элементов не могут произойти одновременно, то имеем:     4) все три элемента, т.е. все элементы отказали: и первый, и второй, и третий – событие . Пусть событие означает, что - ый элемент работает, а событие – - ый элемент отказал.   Тогда используя операции над событиями, получим .   Итак, .   Напишем искомый закон распределения:

				0,006

Контроль

Задача 4.В партии 10% нестандартных деталей. Наугад отобраны 4 детали. 1. Написать закон распределения дискретной СВ – числа нестандартных деталей среди четырех отобранных . 2. Построить многоугольник полученного распределения. Решение. СВ – число нестандартных деталей среди четырех отобранных, значит множество возможных значений . Найдем вероятности возможных значений , пользуясь формулой Бернулли . Вероятность появления нестандартной детали в каждом случае равна 0,1. Найдем вероятности того, что среди отобранных деталей: 1) нет нестандартных.   2) одна нестандартная.   3) две нестандартные детали.   4) три нестандартные детали. 5) четыре нестандартных детали. . Напишем искомый биномиальный закон распределения:

					0,0001

Контроль

Построим многоугольник распределения.

Задача 5.В урне 10 шаров, из которых 8 белых. Из этой урны наудачу извлекаются 2 шара; СВ – число извлеченных белых шаров. Найти закон распределения дискретной СВ . Решение. СВ – число извлеченных белых шаров среди двух отобранных, значит имеет следующие возможные значения: Найдем вероятности возможных значений , пользуясь формулой , где — число всех шаров, из которых — белые шары; — число отобранных шаров, a — число белых шаров, оказавшихся в выборке.   .       Получили гипергеометрическое распределение:

Контроль

Задача 6.Составить ряд распределения вероятностей случайного числа очков, выпавших на верхней грани игрального кубика при одном подбрасывании, построить многоугольник распределения. Решение. СВ – число очков, выпавших при одном подбрасывании кубика, значит имеет следующие возможные значения:   Найдем вероятности возможных значений , пользуясь формулой , где — все возможные значения СВ, — количество возможных значений СВ. Запишем искомое равномерное распределение:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 Контроль Построим многоугольник распределения:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 Задача 7.Составить ряд распределения вероятностей случайного числа страниц с опечатками, если проверяемая книга насчитывает 800 страниц, а вероятность того, что на странице могут оказаться опечатки, равна 0,0025. Решение. СВ – число страниц с опечатками, т.е. имеет следующие возможные значения: . Событие - появление страницы с опечатками. Получается, что производится большое количество повторных независимых испытаний - , в каждом из которых событие имеет очень малую вероятность . Тогда для вычисления вероятности, что событие появится ровно раз, можно воспользоваться формулой , - параметр распределения Пуассона, которым приближенно заменяется биномиальное распределение.  

					…		…
					…		…

Контроль : принимая во внимание разложение функции в степенной ряд и вытекающего отсюда равенства , получаем

.

Задача 8. Закон распределения: дискретной СВ задан следующей таблицей:

	0,2	0,4	0,3

Найти функцию распределения СВ и построить ее график.

Решение.

Найдем :

Функция распределения в нашем случае имеет вид:

.

Если то .

Если , то .

Если , то .

Если , то

Если , то .

Итак,