Общие сведения о доверительной ве­роятности, доверительных интервалах и методах исключения грубых ошибок измерения

Оценки, полученные по формулам (7.3), (7.5), (7.6) и (7.7), называются точеч­ными. Для характеристики точности и надёжности оценки х_стат пользуются доверительными интервалами и доверительными ве­роятностями.

Пусть для параметра х получена из n опытов несмещенная оценка х_стат. Оценим вероятность, при которой допущенная при этом ошибка не превзойдет некоторой величины ε. Обозначим эту вероятность, называемую доверительной вероятностью, Ρ(ε):

Ρ(ε) = Ρ(|х_стат - х | < ε). (7.8)

Доверительная вероятность - это есть вероятность того, что истинное значение х будет заклю­чаться в пределах от х_стат – ε до х_стат +ε. Границы х_стат – и х_стат + ε называют доверительными границами, а интервал I_ε = х_стат ± ε - доверительным интервалом. Доверительный интервал характеризует точность полученного результата, а доверительная вероятность - его надёжность [4]. Если при испытаниях m значений измеряемой случайной величины х попадут в интервал (х₁, х₂), то при большом числе опытов отношение m к общему числу опытов N, называемое частостью, будет стремиться к постоянному числу. Для различных интервалов эти числа, есте­ственно, будут различны. Рассматривая случайные ошибки как случайные величины, можно утверждать, что вероятность P[х Î (х₁, х₂)] попада­ния случайной величины х в интервал (х₁, х₂), равна

P[х Î (х₁, х₂)] ≈ m / N. (7.9)

Правило, позволяющее находить P[х Î (х₁, х₂)] для любых интер­валов (х₁, х₂), и есть закон распределения вероятностей случайной величины х. Если закон распределения является нормальным, то вероятность попадания случайной ошибки х в симметричный ин­тервал (- х₁, х₂) при (х₁ > 0) оценивают выражением [1]

P[х Î (-х₁, х₂)] = P[|х| < х₁] = 2Ф(х / σ) = 2Φ(t) = Р_Д(t), (7.10)

где Ф(t) интеграл вероятности:

и Ф(-t) = - Ф(t); (7.11)

2Ф(х / σ) = 2Φ(t) = Р_Д(t) (при t = х / σ) - интегральная функция Лапласа. Её значения для различных t протабулированы и при­ведены в таблице 7.6;

Ф(х / σ) = Φ(t) - интеграл вероятностей или функция Лапласа;

σ - среднеквадратическая ошибка.

Вероятность того, что случайная ошибка х не выйдет за границы ± t_σ, (t > 0), равна

Ρ[|х| > t_σ] = 1 - 2Φ(t). (7.12)

При х ³ 3σ (т.е. при t ³ 3) вероятность Ρ[|х| > t_σ] становится настолько ма­лой (Ρ[|х| > 3σ] =1 - 2Ф(3) = 0,0027), что выход случайной ошиб­ки за трехсигмовый интервал считают практически невозможным. Это правило получило название правила трёх сигм. Оно находит широ­кое практическое применение для исключения грубых ошибок измерения (промахов), для которых |х| > 3σ, из статистического ряда. Если среднеквадратическая ошибка σ заранее неизвестна, то с помощью формулы (7.5) вычисляют статистическую оценку среднеквадратичного отклонения σ_стат, а затем исключают грубые ошибки измерения для которых

|х| > 3 σ_стат. (7.13)

Таблица 7.6 - Интегральная функция Лапласа Р_Д(t) = 2Φ(t) [1, 4, 30] и Ф(-t) = - Ф(t)

t	РД(t)	t	РД(t)	t	РД(t)
0.00	0.0000	0.75	0.5467	1.50	0.8864
0.05	0.0399	0.80	0.5763	1.55	0.8789
0.10	0.0797	0.85	0.6047	1.60	0.8904
0.15	0.1192	0.90	0.6319	1.65	0.9011
0.20	0.1585	0.95	0.6579	1.70	0.9109
0.25	0.1974	1.00	0.6827	1.75	0.9199
0.30	0.2357	1.05	0.7063	1.80	|0.9281
0.35	0.2737	1.10	0.7287	1.85	0.9357
0.40	0.3108	1.15	0.7419	1.90	0.9426
0.45	0.3473	1.20	0.7699	1.95	0.9488
0.50	0.3829	1.25	0.7887	2.00	0.9545
0.55	0.4177	1.30	0.8064	2.25	0.9756
0.60	0.4515	1.35	0.8230	2.50	0.9876
0.65	0.4843	1.40	0.8385	3.00	0.9973
0.70	0.5161	1.45	0.8529	4.00	0.9999

Согласно таблицы 7.6, если мы хотим исключить ошибки измерения величины х, вероятность появления которых Ρ[|х|> t_σ] меньше 5% (Р_Д(t) = 2Ф(t) = 0,95), то убирают значения х > 1,96 σ_стат (t > 1,96). Если мы хотим исключить ошибки измерения величины х, вероятность появления которых Ρ[|х|> t_σ] меньше 1% (Р_Д(t) = 2Ф(t) = 0,99), то убирают значения х > 2,576 σ_стат (t > 2,576). Если мы хотим исключить ошибки измерения величины х, вероятность появления которых Ρ[|х|> t_σ] меньше 0,1% (Р_Д(t) = 2Ф(t) = 0,999), то убирают значения х > 3,291 σ_стат (t > 3,291). Здесь сотые и тысячные доли величины t уточнены по более подробным таблицам из [1]. При вычислении σ_стат с помощью формулы (7.5) следует не включать в вычисления подозрительное значение х, которое проверяется на предмет его возможного исключения из статистического ряда.

Для исключения грубых ошибок измерения существует также критерий Ирвина, о котором не указы­вается, что он применим при определенном распределении. Метод или критерий Ирвина основан на оценке разности двух наибольших или наименьших членов выборки. Определяется величина λ, равная [10]

λ = (х₂ - х₁) / σ_стат (7.14 а)

или

λ = (х_n - х_n-1) / σ_стат, (7.14б)

в зависимости от того, с какой стороны выборки расположен резко выделяющийся член выборки. По приведенной таблице 7.7 в зависимости от объема выборки n при уровне значимости α = 0,95 находят критическое значение λ = 0,95. Если рассчитанная λ ≤ λ(a = 0,95), то оцениваемый ре­зультат является случайным и не подлежит исключению из выборки. Если λ > λ(a = 0,95), то следует исключить из выборки оцениваемое резко выделяющееся наименьшее или наибольшее значение случайной величи­ны (или оба вместе), так как оно представляет собой грубую ошиб­ку. После исключения ошибки необходимо снова вычислить значения x_стат и σ_стат. В [10] описаны и некоторые другие методы исключения грубых ошибок измерения.

Таблица 7.7 - Значения критерия Ирвина λ(a = 0,95) для уровня значимости α = 0,95 в зависимости от объёма выборки n [10]