В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 вы­со­та равна 1, а ребро ос­но­ва­ния равно 2. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки A1до пря­мой BC1. Решение.

Ответ: −2.

16. На сто­ро­нах AD и BC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD взяты со­от­вет­ствен­но точки M и N , причём M — се­ре­ди­на AD, а BN : NC = 1 : 3.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые AN и AC делят от­ре­зок BM на три рав­ные части.

б) Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го на­хо­дят­ся в точ­ках С, N и точ­ках пе­ре­се­че­ния пря­мой BM c пря­мы­ми AN и AC , если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 27.

Решение.

а) Обо­зна­чим точки пе­ре­се­че­ния пря­мой BM c пря­мы­ми AN и AC бук­ва­ми P и R со­от­вет­ствен­но.

Пусть O – точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма. Тогда AO и BM — ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка ABD, зна­чит,

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков BPN и MPA на­хо­дим, что

Зна­чит, Из до­ка­зан­но­го сле­ду­ет, что б) Пусть пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна S . Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков MRA и BRC с ко­эф­фи­ци­ен­том сле­ду­ет, что вы­со­та тре­уголь­ни­ка BRC, про­ведённая к сто­ро­не BC, со­став­ля­ет вы­со­ты па­рал­ле­ло­грам­ма, про­ведённой к той же сто­ро­не. Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь тре­уголь­ни­ка BRC равна

Ана­ло­гич­но найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка BNP . Его вы­со­та, про­ведённая к BN , со­став­ля­ет вы­со­ты па­рал­ле­ло­грам­ма, про­ведённой к сто­ро­не BC , а сама сто­ро­на BN в че­ты­ре раза мень­ше сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма BC. По­это­му

Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь четырёхуголь­ни­ка PRCN равна

Ответ: .

17. Оля хочет взять в кре­дит 100 000 руб­лей. По­га­ше­ние кре­ди­та про­ис­хо­дит раз в год рав­ны­ми сум­ма­ми (кроме, может быть, по­след­ней) после на­чис­ле­ния про­цен­тов. Став­ка про­цен­та 10 % го­до­вых. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство лет может Оля взять кре­дит, чтобы еже­год­ные вы­пла­ты были не более 24000 руб­лей?

Решение.

Пусть сумма кре­ди­та равна S, а го­до­вые со­став­ля­ют a %. Тогда в по­след­ний день каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент b = 1 + 0,01a Со­ста­вим таб­ли­цу вы­плат.

Год	Долг банку (руб.)	Оста­ток доли после вы­пла­ты (руб.)
		–
	38528,6	14528,6
	15981,46

Зна­чит, Оля по­га­сит кре­дит за 6 лет.

Ответ: 6.

18.При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра си­сте­ма имеет ре­ше­ния?

Решение.

Пе­ре­пи­шем ис­ход­ную си­сте­му в виде

Ис­ход­ная си­сте­ма имеет ре­ше­ния, тогда и толь­ко тогда, когда от­но­си­тель­но имеет ре­ше­ния си­сте­ма:

Решая пер­вое урав­не­ние этой си­сте­мы, на­хо­дим, что

Тре­бо­ва­ние за­да­чи будет вы­пол­не­но, если по­след­няя сме­шан­ная си­сте­ма имеет хотя бы одно ре­ше­ние. Ис­ко­мые зна­че­ния на­хо­дят­ся из со­во­куп­но­сти не­ра­венств

решая ко­то­рое, по­лу­ча­ем

Ответ: .

19. Перед каж­дым из чисел 5, 6, . . ., 10 и 12, 13, . . ., 16 про­из­воль­ным об­ра­зом ста­вят знак плюс или минус, после чего к каж­до­му из об­ра­зо­вав­ших­ся чисел пер­во­го на­бо­ра при­бав­ля­ют каж­дое из об­ра­зо­вав­ших­ся чисел вто­ро­го на­бо­ра, а затем все 30 по­лу­чен­ных ре­зуль­та­тов скла­ды­ва­ют. Какую наи­мень­шую по мо­ду­лю и какую наи­боль­шую сумму можно по­лу­чить в итоге?

Решение.

1. Если все числа взяты со зна­ком плюс, то их сумма мак­си­маль­на и равна:

2. Так как преды­ду­щая сумма ока­за­лась нечётной, то число нечётных сла­га­е­мых в ней — нечётно, причём это свой­ство всей суммы не ме­ня­ет­ся при смене знака лю­бо­го её сла­га­е­мо­го. По­это­му любая из по­лу­ча­ю­щих­ся сумм будет нечётной, а зна­чит, не будет равна нулю.

3. Зна­че­ние 1 сумма при­ни­ма­ет, на­при­мер, при сле­ду­ю­щей рас­ста­нов­ке зна­ков у чисел:

Ответ: 1 и 645.

Вариант 2 13. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Решение.а) Пусть , тогда ис­ход­ное урав­не­ние за­пи­шет­ся в виде

При по­лу­чим: , от­ку­да

При по­лу­чим: , от­ку­да

б) С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни при­над­л­жа­щие от­рез­ку

По­лу­чим числа:

Ответ:а)

б)

14. Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да с вер­ши­ной Бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды равно вы­со­та равна Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны бо­ко­во­го ребра до пря­мой где точки и — се­ре­ди­ны ребер и со­от­вет­ствен­но.

Решение.

Пусть — се­ре­ди­на ребра — се­ре­ди­на ребра По тео­ре­ме о сред­ней линии тре­уголь­ни­ка , сле­до­ва­тель­но, точки лежат в одной плос­ко­сти.

сле­до­ва­тель­но, — па­рал­ле­ло­грамм. Кроме того, а по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах (так как ), по­это­му этот па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник. Зна­чит, ис­ко­мое рас­сто­я­ние есть длина от­рез­ка . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Тогда , а

Ответ:

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Решение.

Пусть тогда пер­вое не­ра­вен­ство за­пи­шет­ся в виде:

Воз­вра­ща­ясь к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим:

Ответ:

16. Пря­мые, со­дер­жа­щие ка­те­ты AC и CB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АСВ, яв­ля­ют­ся об­щи­ми внут­рен­ни­ми ка­са­тель­ны­ми к окруж­но­стям ра­ди­у­сов 4 и 8. Пря­мая, со­дер­жа­щая ги­по­те­ну­зу АВ, яв­ля­ет­ся их общей внеш­ней ка­са­тель­ной.

а) До­ка­жи­те, что длина от­рез­ка внут­рен­ней ка­са­тель­ной, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны остро­го угла тре­уголь­ни­ка до одной из окруж­но­стей, равна по­ло­ви­не пе­ри­мет­ра тре­уголь­ни­ка АСВ.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АСВ.
Решение.

а) Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, пусть — точки ка­са­ния. Ка­са­тель­ные, про­ведённые к окруж­но­сти из одной точки равны: По­это­му:

от­ку­да

б) Для опре­де­ле­ния пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ис­поль­зу­ем фор­му­лу, свя­зы­ва­ю­щую её с по­лу­пе­ри­мет­ром, сто­ро­ной и ра­ди­у­сом внев­пи­сан­ной окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся этой сто­ро­ны и про­дол­же­ний двух дру­гих сто­рон тре­уголь­ни­ка:

Де­каб­ря 2014 года Дмит­рий взял в банке 4 290 000 руб­лей в кре­дит под 14,5% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 14,5%), затем Дмит­рий пе­ре­во­дит в банк X руб­лей. Какой долж­на быть сумма X, чтобы Дмит­рий вы­пла­тил долг двумя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за два года)? Решение.

Пусть сумма кре­ди­та равна S, а го­до­вые со­став­ля­ют а%. Тогда 31 де­каб­ря каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент b = 1 + 0,01а. После пер­вой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит S₁ = Sb − X. После вто­рой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит

По усло­вию двумя вы­пла­та­ми Дмит­рий дол­жен по­га­сить кре­дит пол­но­стью, по­это­му от­ку­да

При S = 4 290 000 и а = 14,5, по­лу­ча­ем: b = 1,145 и

(руб­лей).

Ответ: 2 622 050.

18. Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых ре­ше­ния не­ра­вен­ства об­ра­зу­ют от­ре­зок длины 1.

Решение.

Пе­ре­не­сем двой­ку:

По­стро­им схе­ма­тич­но гра­фи­ки функ­ций и

На ри­сун­ке видно, что не­ра­вен­ство имеет ре­ше­ния толь­ко при или

1)

Ре­ше­ния об­ра­зу­ют от­ре­зок длины 1, если от­ку­да

2)

Ре­ше­ния об­ра­зу­ют от­ре­зок длины 1, если от­ку­да

Ответ:

19. Участ­ни­ки одной школы пи­са­ли тест. Ре­зуль­та­том каж­до­го уче­ни­ка яв­ля­ет­ся целое не­от­ри­ца­тель­ное число бал­лов. Уче­ник счи­та­ет­ся сдав­шим тест, если он на­брал не менее 73 бал­лов. Из-за того, что за­да­ния ока­за­лись слиш­ком труд­ны­ми, было при­ня­то ре­ше­ние всем участ­ни­кам теста до­ба­вить по 5 бал­лов, бла­го­да­ря чему ко­ли­че­ство сдав­ших тест уве­ли­чи­лось.

а) Могло ли ока­зать­ся так, что после этого сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, по­ни­зил­ся?

б) Могло ли ока­зать­ся так, что после этого сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, по­ни­зил­ся, и сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, тоже по­ни­зил­ся?

в) Из­вест­но, что пер­во­на­чаль­но сред­ний балл участ­ни­ков теста со­ста­вил 80, сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, со­ста­вил 90, а сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, со­ста­вил 65. После до­бав­ле­ния бал­лов сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, стал равен 93, а не сдав­ших — 69. При каком наи­мень­шем числе участ­ни­ков теста воз­мож­на такая си­ту­а­ция?

Решение.

а) Пусть было 3 участ­ни­ка, ко­то­рые на­бра­ли 90, 72 и 2 балла. Сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест балла. После до­бав­ле­ния бал­лов у участ­ни­ков ока­за­лось 95, 77 и 7 бал­лов. Сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, со­ста­вил 7 бал­лов.

б) В при­ме­ре преды­ду­ще­го пунк­та сред­ний балл участ­ни­ков теста, сдав­ших тест, пер­во­на­чаль­но со­ста­влял 90 бал­лов, а после до­бав­ле­ния бал­лов со­ста­вил бал­лов.

в) Пусть всего было N участ­ни­ков теста, сдали тест a участ­ни­ков, после до­бав­ле­ния бал­лов сдали тест b участ­ни­ков. За­ме­тим, что сред­ний балл после до­бав­ле­ния со­ста­вил 85. Имеем два урав­не­ния: 90N = 65(N − a) + 90a и 85N = 69(N − b) + 93b, от­ку­да 15N = 25a, то есть 3N = 5a, и 16N = 24b, то есть 2N = 3b. По­это­му целое число N де­лить­ся на 5 и на 3, то есть де­лит­ся на 15. Таким об­ра­зом, N ≥ 15.

По­ка­жем, что N могло рав­нять­ся 15. Пусть из­на­чаль­но 5 участ­ни­ков на­бра­ли по 64 балла, 1 участ­ник — 70 бал­лов и 9 участ­ни­ков по 90 бал­лов. Тогда сред­ний балл был равен 80, сред­ний бал участ­ни­ков, сдав­ших тест, был равен 90, а сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, был равен 65. После до­бав­ле­ния сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, стал равен 93, сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, стал равен 69. Таким об­ра­зом, все усло­вия вы­пол­не­ны.

Ответ: а) да; б) да; в) 15.

Вариант 3 13. а) Ре­ши­те урав­не­ние .б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку
Решение.а) Левая часть урав­не­ния опре­де­ле­на при , то есть при . Чис­ли­тель дроби дол­жен быть равен :

Серию нужно от­бро­сить. По­лу­ча­ем ответ:

б) При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, ле­жа­щие на от­рез­ке

Ответ: а) б)

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 вы­со­та равна 1, а ребро ос­но­ва­ния равно 2. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки A1до пря­мой BC1. Решение.

Ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно вы­со­те тре­уголь­ни­ка Тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, по­сколь­ку До­пол­ни­тель­но про­ведём вы­со­ту и ме­ди­а­ну Найдём её длину: Тогда от­ку­да по­лу­ча­ем урав­не­ние Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Решение.

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Рас­смот­рим два слу­чая. Пер­вый слу­чай:

Вто­рой слу­чай: Имеем:

Ответ:

16. В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AP и CQ.

а) До­ка­жи­те, что угол PAC равен углу PQC.

б) Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, если из­вест­но, что PQ = 8 и
Решение.

а) Углы APC и AQC, опи­ра­ю­щи­е­ся на от­ре­зок AC, равны, зна­чит, точки A, Q, P и C лежат на одной окруж­но­сти, а, сле­до­ва­тель­но, равны и впи­сан­ные углы PAC и PQC этой окруж­но­сти, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу PC, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б) Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABP и CBQ имеют общий угол ABC, сле­до­ва­тель­но, они по­доб­ны, от­ку­да или но тогда и тре­уголь­ни­ки BAC и BPQ также по­доб­ны, при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен от­ку­да Тогда ра­ди­ус Rокруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC равен

Ответ:

17. Про­из­вод­ство x тыс. еди­ниц про­дук­ции об­хо­дит­ся в q = 0,5x² + 2x + 5 млн руб­лей в год. При цене p тыс. руб­лей за еди­ни­цу го­до­вая при­быль от про­да­жи этой про­дук­ции (в млн руб­лей) со­став­ля­ет px − q. При каком наи­мень­шем зна­че­нии p через че­ты­ре года сум­мар­ная при­быль со­ста­вит не менее 52 млн руб­лей?
Решение.

При­быль (в млн руб­лей) за один год вы­ра­жа­ет­ся как

Это вы­ра­же­ние яв­ля­ет­ся квад­рат­ным трёхчле­ном и до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния при x = p − 2. Наи­боль­шее зна­че­ние равно Через 4 года при­быль со­ста­вит не менее 52 млн руб­лей при

то есть при p ≥ 8, по­сколь­ку цена про­дук­ции не может быть от­ри­ца­тель­ной. Таким об­ра­зом, наи­мень­шее зна­че­ние p = 8.

Ответ: p = 8.

18. Най­ди­те все зна­че­ния при каж­дом из ко­то­рых гра­фик функ­ции

пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс более чем в двух раз­лич­ных точ­ках.
Решение.

Рас­смот­рим вспо­мо­га­тель­ную функ­цию Гра­фик функ­ции пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс в трёх или более точ­ках, если урав­не­ние имеет более двух раз­лич­ных кор­ней.

Если или то и

Если то и

Гра­фик функ­ции со­сто­ит из двух лучей и дуги па­ра­бо­лы. На ри­сун­ке видно, что урав­не­ние имеет более двух кор­ней толь­ко если Со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния функ­ции равны:

Ответ:

19. Все члены ко­неч­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти яв­ля­ют­ся на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми. Каж­дый член этой по­сле­до­ва­тель­но­сти, на­чи­ная со вто­ро­го, либо в 10 раз боль­ше, либо в 10 раз мень­ше преды­ду­ще­го. Сумма всех чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти равна 3024.

а) Может ли по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ять из двух чле­нов?

б) Может ли по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ять из трёх чле­нов?

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чле­нов может быть в по­сле­до­ва­тель­но­сти?
Решение.

а) Если по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ит из двух чле­нов, и (в про­из­воль­ном по­ряд­ке), то Урав­не­ние не имеет ре­ше­ний в на­ту­раль­ных чис­лах. По­это­му по­сле­до­ва­тель­ность не может со­сто­ять из двух чле­нов.

б) По­сле­до­ва­тель­ность может со­сто­ять из трёх чле­нов: 252, 2520, 252.в) При­ведём при­мер по­сле­до­ва­тель­но­сти из 549 чле­нов: Сумма её чле­нов равна

До­пу­стим, что в по­сле­до­ва­тель­но­сти более чем 549 чле­нов. Разобьём пер­вые 550 чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти на 275 пар со­сед­них чле­нов: пер­вый и вто­рой, тре­тий и четвёртый, пятый и ше­стой и т. д. Сумма двух чле­нов в каж­дой паре де­лит­ся на 11 и по­это­му не мень­ше 11. Зна­чит, сумма всех чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти не мень­ше, чем По­лу­чи­ли про­ти­во­ре­чие.

Ответ: а) нет, б) да, в) 549.

Вариант 4

13Ре­ши­те урав­не­ние:

Решение.

Левая часть урав­не­ния имеет смысл при По­это­му мно­жи­тель по­ло­жи­те­лен. Рас­смот­рим два слу­чая.

Пер­вый слу­чай: тогда

Вто­рой слу­чай: тогда

Учи­ты­вая усло­вие по­лу­ча­ем, что числа не яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­я­ми дан­но­го урав­не­ния.

Ответ:

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де с ос­но­ва­ни­ем из­вест­ны ребра Най­ди­те угол, об­ра­зо­ван­ный плос­ко­стью ос­но­ва­ния и пря­мой, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны ребер и Решение.

Пусть и — се­ре­ди­ны ребер и со­от­вет­ствен­но. — ме­ди­а­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка сле­до­ва­тель­но, на­хо­дит­ся по фор­му­ле Пря­мая про­еци­ру­ет­ся на плос­кость ос­но­ва­ния и пря­мую По­это­му про­ек­ция точки — точка — лежит на от­рез­ке Зна­чит, пря­мая яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей пря­мой сле­до­ва­тель­но, угол — ис­ко­мый.

где — центр ос­но­ва­ния, зна­чит, — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка по­это­му Тогда и Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Зна­чит, ис­ко­мый угол равен

Ответ: