Лекция 7. Частотные характеристики. Определение частотных характеристик. Логарифмические частотные характеристики

Частотные характеристики. Определение частотных характеристик

Известно, что динамические процессы могут быть представлены частотными характеристиками (ЧХ) путем разложения функции в ряд Фурье. Предположим, имеется некоторый объект и требуется определить его ЧХ. При экспериментальном снятии ЧХ на вход объекта подается синусоидальный сигнал с амплитудой Авх = 1 и некоторой частотой ω, т.е. (рис. 1):

x(t) = Авхsin(ωt) = sin(ωt).

Тогда после прохождения переходных процессов на выходе мы будем также иметь синусоидальный сигнал той же частоты w, но другой амплитуды Авых и фазы φ:

у(t) = Авыхsin(ωt + φ)

При разных значениях w величины Авых и φ, как правило, также будут различными. Эта зависимость амплитуды и фазы от частоты называется частотной характеристикой. Виды ЧХ (рис. 2):

АФХ – амплитудно-фазовая характеристика - зависимость амплитуды и фазы выходного сигнала от частоты входного (изображается на комплексной плоскости);

АЧХ – амплитудно-частотная характеристика зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты входного: А(ω);

ФЧХ – фазо-частотная характеристика - зависимость фазы выходного сигнала от частоты входного: φ(ω);

ЛАХ, ЛАЧХ - логарифмические АЧХ, т.е. построенные в логарифмических координатах.

На комплексной плоскости входная величина x = Авх*sin(ωt) для каждого момента времени ti определяется вектором х на комплексной плоскости. Этот вектор имеет длину, равную Авх, и отложен под углом ωti к действительной оси (Re - действительная ось, Im - мнимая ось).

Тогда величину х можно записать в комплексной форме:

где мнимая единица.

Или, если использовать формулу Эйлера то можно записать:

Выходной сигнал y(t) можно аналогично представить как вектор:

Рассмотрим связь передаточной функции и частотной характеристики.

Определим производные по Лапласу:

Определим производные ЧХ:

Отсюда видно соответствие s = jω.

Вывод: частотные характеристики могут быть построены по передаточным функциям путем замены s = jω.

Для построения АЧХ и ФЧХ используются формулы:

где Re(ω) и Im(ω) – соответственно вещественная и мнимая части выражения для АФХ.

Формулы получения АФХ по АЧХ и ФЧХ:

Re(ω) = A(ω) . cos φ(ω), Im(ω) = A(ω) . sin φ(ω).

График АЧХ всегда расположен в одной четверти, т.к. частота ω > 0 и амплитуда А > 0. График ФЧХ может располагаться в двух четвертях, т.е. фаза φ может быть как положительной, так и отрицательной. График АФХ может проходить по всем четвертям.

При графическом построении АЧХ по известной АФХ на кривой АФХ выделяются несколько ключевых точек, соответствующих определенным частотам . Далее измеряются расстояния от начала координат до каждой точки и на графике АЧХ откладываются: по вертикали – измеренные расстояния, по горизонтали – частоты. Построение АФХ производится аналогично, но измеряются не расстояния, а углы в градусах или радианах.

Для графического построения АФХ необходимо знать вид АЧХ и ФЧХ. При этом на АЧХ и ФЧХ выделяются несколько точек, соответствующих некоторым частотам. Для каждой астоты по АЧХ определяется амплитуда А, а по ФЧХ – фаза φ. Каждой частоте соответствует точка на АФХ, расстояние до которой от начала координат равно А, а угол относительно положительной полуоси Re равен φ. Отмеченные точки соединяются кривой.