Ірраціональні рівняння
Ірраціональними називають такі рівняння, у яких змінна знаходиться під знаком кореня. Наприклад, 
, 
.
!!! При розв’язуванні ірраціональних рівнянь обов’язковим є АБО знаходження ОДЗ рівняння, АБО перевірка знайдених коренів. Тому що при виконанні перетворень може порушуватись рівносильність рівнянь.
Основним методом розв’язування ірраціональних рівнянь є піднесення обох частин рівняння до одного степеня. На допомогу приходять формули скороченого множення 
; 
ПРИКЛАД 1. 
. Оскільки 
, а -4 
0, то рівність неможлива.
Відповідь: коренів немає.
ПРИКЛАД 2. 
. 
; х-1=8; х=9.
Відповідь: 9.
ПРИКЛАД 3. 
. 
; 2х+3= 
; -2х-3= 0; х1=-1, х2=3.
Перевірка. При х=-1 маємо 
=-1 – неправильна рівність, отже, х=-1 - сторонній розв’язок. При х=3 маємо 
= 3 – правильна рівність, отже, х=3 – корінь.
Відповідь: 3.
ПРИКЛАД 4. 
+ 
= 4 . Ізолюємо один корінь і піднесемо обидві частини рівняння до квадрата. = 4- ; . 
= 
;
5х-1 = 16 - 8 + 
; 5х-1 = 16 - 8 +х+3. Знову ізолюємо корінь і знову піднесемо обидві частини рівняння до квадрата. 8 = 16 +х+3-5х+1;
8 = 20 – 4х; 2 = 5-х; 
; 4(х+3) = 25-10х+ ;
-14х+13=0; х1=1, х2=13.
Перевірка. х=1 – корінь; х= 13- сторонній розв’язок.
Відповідь: 1.
ПРИКЛАД 5. Розглянемо рівняння з кубічними коренями: 
.
( 
)3=13;
( 
)3+3( 
2 
+ 3 
)2+( )3 = 1;
2х-1 + 3 
( ) + х-1 = 1;
3 ( ) = 1-2х+1-х+1;
3 *1 = 3 – 3х; = 1 – х;
( )3=(1 – х)3; (2х – 1)(х – 1) = (1 – х)3;
2х2 – 2х – х + 1 = 1 – 3х + 3х2 – х3; х3 – х2 = 0; х1=1, х2=0.
Перевірка. Заміна порушує рівносильність, оскільки ця рівність виконується не при всіх значеннях х.
х=1 – корінь; х= 0- сторонній розв’язок.
Відповідь: 1.
Ще один метод розв’язування ірраціональних рівнянь – заміна змінної.
Якщо до рівняння змінна входить в одному і тому самому вигляді, то зручно відповідний вираз позначити новою змінною.
ПРИКЛАД 6. 
Нехай 
= t, тоді маємо 
Звідки
t1=-4, t2=2. Зробимо обернену заміну: 
= -4 – коренів немає; =2; х=2.
Відповідь: 2.
ПРИКЛАД 7. 
=4. Запишемо рівняння у вигляді: 3( 
)2 
і зробимо заміну = t. Маємо: 
+ t – 4 = 0; t1=1, t2 = 
.
Зробимо обернену заміну: 
= 1; х = 0; 
= – коренів немає.
Відповідь: 0.
ПРИКЛАД 8. 
Підкореневі вирази є взаємно оберненими, тому зробимо заміну 
, тоді 
, отримаємо рівняння t - 
= 1, розв’язавши яке отримуємо: t1=-1, t2=2. Виконавши обернену заміну, маємо х=2,5.
Відповідь: 2,5.
ПРИКЛАД 9. 2х2+6х -3 
= 5. Запишемо 2(х2+3х) -3 = 5.
Заміна = t, тоді 
= t2, звідки 
= t2 
, і рівняння приймає вигляд 2(t2 )-3t=5, звідки t1=1, t2=0,5.
Зробимо обернену заміну: = 1, ; х1=1, х2= -4; х1=-1, х2=3.
= 
; х1,2= 
.
Відповідь: 1;- 4; .
Завдання:
1) Розібрати приклади 1-4.
2) Розв’язати № 616(1,3), 618( 1,3,7), №623 (1)
3) Розібрати приклади 6-8.
4) Розв’язати №641(1,2,5,9)
5) Розібрати приклад 5.
6) Розв’язати 
.
7) Розібрати приклад 9.
8) Розв’язати № 643(1,2)