Логарифмические частотные характеристики

Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) используются довольно часто для описания динамических параметров различных устройств. Существуют два основных вида ЛЧХ, которые, как правило, используются совместно и изображаются в виде графиков:

1) ЛАЧХ - логарифмическая АЧХ (рис. 3).

Формула для построения ЛАЧХ: L(ω) = 20.lg Aвых(ω). Единица измерения – децибел (дБ).

На графике ЛАЧХ по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе. Это означает, что равным величинам отрезков по оси ω соответствуют кратные значения частоты. Для ЛЧХ кратность = 10. По оси ординат откладываются значения L(ω) в обычном масштабе.

2) ЛФЧХ - логарифмическая ФЧХ.

Представляет собой ФЧХ, у которой ось частоты w проградуирована в логарифмическом масштабе в соответствии с ЛАЧХ. По оси ординат откладываются фазы φ.

Примеры ЛЧХ

1 Фильтр низких частот (ФНЧ) (рис. 4).

Фильтр низких частот предназначен для подавления высокочастотных воздействий.

2 Фильтр высоких частот (ФВЧ) (рис. 5).

Фильтр высоких частот предназначен для подавления низкочастотных воздействий.

3 Заградительный фильтр.

Заградительный фильтр подавляет только определенный диапазон частот (рис. 6).

Лекция 8. Качество процессов управления. Критерии устойчивости (Понятие устойчивости линейных систем,критерий Стодола, критерий Гурвица)

Понятие устойчивости линейных систем

Важным показателем АСР является устойчивость, поскольку основное ее назначение заключается в поддержании заданного постоянного значения регулируемого параметра или изменении его по определенному закону. При отклонении регулируемого параметра от аданной величины (например, под действием возмущения или изменения задания) регулятор воздействует на систему таким образом, чтобы ликвидировать это отклонение. Если система в результате этого воздействия возвращается в исходное состояние или переходит в другое равновесное состояние, то такая система называется устойчивой. Если же возникают колебания со все возрастающей амплитудой или происходит монотонное увеличение ошибки е, то система называется неустойчивой.

Необходимое и достаточное условие устойчивости формулируется следующим образом: Звено или система называются устойчивыми, если переходная составляющая с течением времени стремится к нулю (рис. 7):

Если выходной сигнал звена или системы y(t) рассматривать как сумму двух составляющих

У(t)= Ууст + Уп(t),

где установившееся значение У(t), Уп(t) – переходная составляющая, то Уп(t) = У(t) – Ууст.

Если Уп(t) с течением времени стремится к бесконечности, звено илисистема называются неустойчивыми. Другими словами:

Примеры переходных процессов для каждого случая приведены на рис. 8.

Для того, чтобы определить, устойчива система или нет, используются критерии устойчивости:

1) корневой критерий;

2) критерий Стодола;

3) критерий Гурвица;

4) критерий Найквиста;

5) критерий Михайлова и др.

Первые два критерия являются необходимыми критериями устойчивости отдельных звеньев и разомкнутых систем, однако не являются достаточными для однозначного определения устойчивости.

Критерий Гурвица является алгебраическим и может быть использован для опреде-ления устойчивости как отдельных звеньев, так и замкнутых систем без запаздывания. При этом он позволяет обойтись без определения корней характеристического полинома, который может иметь достаточно большую степень.

Последние два критерия относятся к группе частотных критериев, поскольку определяют устойчивость замкнутых систем по их частотным характеристикам.

Их особенностью является возможность применения к замкнутым системам с запаздыванием, которыми является подавляющее большинство систем управления.

Критерий Стодола

Этот критерий является следствием из предыдущего и формулируется следующим образом: Линейная система устойчива, если все коэффициенты характеристического полинома положительны. То есть, передаточная функция из примера по критерию Стодола соответствует устойчивой системе.

Критерий Гурвица

Критерий Гурвица, как и критерий Стодола, определяет устойчивость по характеристическому полиному системы без непосредственного вычисления его корней. Однако критерий Стодола является необходимым критерием устойчивости, но не является достаточным. То есть, если по критерию Стодола система неустойчива, то она действительно является неустойчивой, если по критерию система устойчива, то для подтверждения ее устойчивости требуются дополнительные расчеты. Например, характеристический полином:

по критерию Стодола соответствует устойчивой системе, однако корни этого
полинома равны.

То есть система фактически является неустойчивой, хотя коэффициенты полинома положительны.

Критерий Гурвица дает необходимое и достаточное условие устойчивости линейных систем.

Исходной информацией для данного критерия является характеристический полином системы: разомкнутой A(s) или замкнутой D(s) – в зависимости от того, какая система анализируется.

Для определения устойчивости по Гурвицу строится матрица таким образом, чтобы по главной диагонали были расположены коэффициенты ХПЗС с an+1 по aо. Справа и слева от нее записываются коэффициенты с индексами через 2 (aо, a2, a4… или a1, a3, a5 …). Тогда для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель и все главные диагональные миноры матрицы были больше нуля.

Если хотя бы один определитель будет равен нулю, то система будет находиться на границе устойчивости.

Если хотя бы один определитель будет отрицателен, то система неустойчива независимо от числа положительных или нулевых определителей.

Пример. Дана передаточная функция разомкнутой системы. Требуется определить устойчивость замкнутой системы по критерию Гурвица.

Для этого определяется ХПЗС:

Поскольку степень ХПЗС равна n = 4, то матрица будет иметь размер 4х4. Коэффициенты ХПЗС равны а4 = 2, а3 = 5, а2 = 10, а1 = 6, а0 = 1.

Матрица имеет вид

(обратите внимание на сходство строк матрицы: 1 с 3 и 2 с 4). Определители (диагональные миноры матрицы):

Δ1 = 5 > 0,

- (0 *10 * 0 5 * 5 *1 2 * 6 * 6) =209 > 0

Δ4 = 1* Δ3 = 1*209 > 0.

Поскольку все определители положительны, то АСР устойчива.

Лекция 9. Критерий Михайлова

Описанные выше критерии устойчивости не работают, если передаточная функция системы имеет запаздывание, то есть может быть записана в виде:

где τ - запаздывание.

В этом случае характеристическое выражение замкнутой системы полиномом не является и его корни определить невозможно. Для определения устойчивости в данном случае используются частотные критерии Михайлова и Найквиста.

Порядок применения критерия Михайлова:

1) Записывается характеристическое выражение замкнутой системы:

2) Подставляется s = jω: Dз(jω) =Re(ω) + Im(ω).

3) Записывается уравнение годографа Михайлова Dз(jω) и строится кривая на комплексной плоскости (рис. 9).

Для устойчивой АСР необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, начинаясь при ω = 0 на положительной вещественной полуоси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) при возрастании ω от 0 до ∞ n-квадрантов, где n – степень характеристического полинома.

Если годограф Михайлова проходит через начало координат, то говорят, что система находится на границе устойчивости.

Пример. Характеристический полином замкнутой системы имеет вид (см. предыдущий пример):

После подстановки s = jω получается выражение для годографа Михайлова:

Далее, варьируя частоту ω от 0 до бесконечности, рассчитываются точки годографа (см. рисунок 1) и на комплексной плоскости строится кривая.(см.рисунок 10)

Годограф Михайлова начинается на положительной действительной полуоси и последовательно обходит четыре квадранта (степень характеристического полинома также равна n = 4), следовательно, система устойчива. Это подтверждает результат, полученный в предыдущем примере.

Лекция 10. Критерий Найквиста

Данный критерий определяет устойчивость по частотным характеристикам системы. Для построения частотных характеристик, например, АФХ требуется подстановка s = jω в передаточную функцию системы, которая, как правило, представляет собой дробно-рациональную функцию. Поэтому данный критерий более сложен для ручного расчета по сравнению с критерием Михайлова.

Последовательность:

1) Определяется передаточная функция разомкнутой системы.

2) Определяется число правых корней m.

3) Подставляется s = jω: W∞(jω).

4) Строится АФХ разомкнутой системы.

Для устойчивости АСР необходимо и достаточно, чтобы при увеличении ω от 0 до ∞ АФХ W∞(jω) m раз полуохватывала точку (-1; 0), где m - число правых корней разомкнутой системы, т.е. корней si > 0.

- Если АФХ проходит через точку(-1;0), то замкнутая система находится на границе устойчивости (рис. 11)

- В случае, если характеристическое уравнение разомкнутой системы A(s) =0 правых корней не имеет (т.е. m = 0), то критерий можно переформулировать: замкнутая система устойчива, если АФХ разомкнутой системы W∞(jω) не охватывает точку (-1; 0), в противном случае система неустойчива; если проходит через нее, то на границе устойчивости.

Пример. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Для построения АФХ разомкнутой системы делается подстановка s = j*ω в передаточную функцию:

.

По полученным формулам строится АФХ (рис. 12). Характеристическое уравнение правых корней не имеет, АФХ охватывает точку (-1; 0), следовательно, замкнутая система неустойчива.