Модуляция аналоговых сигналов

Сигналы от измерительных датчиков и любых других источников информации передаются по линиям связи к приемникам - измерительным приборам, в измерительно-вычислительные системы регистрации и обработки данных, в любые другие центры накопления и хранения данных. Как правило, информационные сигналы являются низкочастотными и ограниченными по ширине спектра, в отличие от широкополосных высокочастотных каналов связи, рассчитанных на передачу сигналов от множества источников одновременно с частотным разделением каналов. Перенос спектра сигналов из низкочастотной области в выделенную для их передачи область высоких частот выполняется операцией модуляции.

Допустим, что низкочастотный сигнал, подлежащий передаче по какому-либо каналу связи, задается функцией s(t). В канале связи для передачи данного сигнала выделяется определенный диапазон высоких частот. На входе канала связи в специальном передающем устройстве формируется вспомогательный, как правило, непрерывный во времени периодический высокочастотный сигнал u(t) = f(t; a₁, a₂, … a_m). Совокупность параметров a_i определяет форму вспомогательного сигнала. Значения параметров a_i в отсутствие модуляции являются величинами постоянными. Если на один из этих параметров перенести сигнал s(t), т.е. сделать его значение пропорционально зависимым от значения s(t) во времени (или по любой другой независимой переменной), то форма сигнала u(t) приобретает новое свойство. Она несет информацию, тождественную информации в сигнале s(t). Именно поэтому сигнал u(t) называют несущим сигналом, несущим колебанием или просто несущей (carrier), а физический процесс переноса информации на параметры несущего сигнала – его модуляцией (modulation). Исходный информационный сигнал s(t) называют модулирующим (modulating signal), результат модуляции – модулированным сигналом (modulated signal). Обратную операцию выделения модулирующего сигнала из модулированного колебания называют демодуляцией (demodulation).

Основным видом несущих сигналов являются гармонические колебания:

u(t) = U×cos(wt+j),

которые имеют три свободных параметра: U, w и j. В зависимости от того, на какой из данных параметров переносится информация, различают амплитудную (АМ), частотную (ЧМ) или фазовую (ФМ) модуляцию несущего сигнала. Частотная и фазовая модуляция тесно взаимосвязаны, поскольку изменяют аргумент функции косинуса, и их обычно объединяют под общим названием - угловая модуляция (angle modulation). В каналах передачи цифровой информации получила также распространение квадратурная модуляция, при которой одновременно изменяются амплитуда и фаза несущих колебаний.

При использовании в качестве несущих сигналов периодических последовательностей импульсов (например, прямоугольных) свободными параметрами модуляции могут быть амплитуда, длительность, частота следования и фаза (положение импульса относительно тактовой точки) импульсов. Это дает четыре основных вида импульсной модуляции: АИМ, ДИМ, ЧИМ и ФИМ.

В качестве несущих сигналов можно использовать не только периодические колебания, но и стационарные случайные процессы. В качестве модулируемых параметров случайных сигналов используются моменты случайных процессов. Так, например, модуляция второго момента случайных последовательностей (модуляция по мощности) представляет собой аналогию амплитудной модуляции.

5.1 5.1 Амплитудная модуляция/демодуляция

Амплитудная модуляция(amplitude modulation, АМ) исторически была первым видом модуляции, освоенным на практике. В настоящее время АМ применяется в основном только для радиовещания на сравнительно низких частотах (не выше коротких волн) и для передачи изображения в телевизионном вещании. Это обусловлено низким КПД использования энергии модулированных сигналов.

АМ соответствует переносу информации s(t) Þ U(t) при постоянных значениях параметров несущей частоты w и j. АМ – сигнал представляет собой произведение информационной огибающей U(t) и гармонического колебания ее заполнения с более высокими частотами. Форма записи амплитудно-модулированного сигнала:

u(t) = U(t)×cos(w_ot+j_o), (5.1.1)

U(t) = U_m×[1+M×s(t)], (5.1.2)

где U_m – постоянная амплитуда несущего колебания при отсутствии входного (модулирующего) сигнала s(t), М – коэффициент амплитудной модуляции

Значение М характеризует глубину амплитудной модуляции. В простейшем случае, если модулирующий сигнал представлен одночастотным гармоническим колебанием с амплитудой S_o, то коэффициент модуляции равен отношению амплитуд модулирующего и несущего колебания М=S_o/U_m. Значение М должно находиться в пределах от 0 до 1 для всех гармоник модулирующего сигнала. При значении М<1 форма огибающей несущего колебания полностью повторяет форму модулирующего сигнала s(t), что можно видеть на рис. 5.1 (сигнал s(t) = sin(w_st)). Малую глубину модуляции для основных гармоник модулирующего сигнала (М<<1) применять нецелесообразно, т.к. при этом мощность передаваемого информационного сигнала будет много меньше мощности несущего колебания, и мощность передатчика используется неэкономично.

Рис. 5.1. Нормальная модуляция Рис. 5.2. Глубокая модуляция

На рис. 5.2 приведен пример так называемой глубокой модуляции, при которой значение M стремится к 1 в экстремальных точках функции s(t). При глубокой модуляции используются также понятия относительного коэффициента модуляции вверх: M_в = (U_max - U_m)/U_m, и модуляции вниз: M_н = (U_m - U_min)/U_m, которые обычно выражаются в %.

Стопроцентная модуляция (М=1) может приводить к искажениям сигналов при перегрузках передатчика, если последний имеет ограниченный динамический диапазон по амплитуде несущих частот или ограниченную мощность передатчика (увеличение амплитуды несущих колебаний в пиковых интервалах сигнала U(t) в два раза требует увеличения мощности передатчика в четыре раза).

При М>1 возникает так называемая перемодуляция, пример которой приведен на рис. 5.3. Форма огибающей при перемодуляции искажается относительно формы модулирующего сигнала и после демодуляции, если применяются ее простейшие методы, информация может искажаться.

Рис. 5.3. Перемодуляция сигнала. Рис. 5.4. Спектры сигналов.

Однотональная модуляция. Простейшая форма модулированного сигнала создается при однотональной амплитудной модуляции – модуляции несущего сигнала гармоническим колебанием с одной частотой W:

u(t) = U_m[1+M×cos(Wt)]×cos(w_ot). (5.1.3)

Значения начальных фазовых углов несущего и модулирующего колебания здесь и в дальнейшем, если это не имеет принципиального значения, для упрощения получаемых выражений будем принимать равными нулю. С учетом формулы

cos(x)×cos(y) = (1/2)[cos(x+y)+cos(x-y)] из выражения (5.1.3) получаем:

u(t) = U_mcos(w_ot) + (U_mM/2)cos[(w_o+W)t] + (U_mM/2)cos[(w_o-W)t] (5.1.4)

Отсюда следует, что модулирующее колебание с частотой W перемещается в область частоты w_o и расщепляется на два колебания, симметричные относительно частоты w_o, с частотами соответственно (w_o+W) - верхняя боковая частота, и (w_o-W) - нижняя боковая частота (рис.5.4 для сигнала, приведенного на рис. 5.1). Амплитуды колебаний на боковых частотах равны друг другу, и при 100%-ной модуляции равны половине амплитуды колебаний несущей частоты. Если получить уравнение (5.1.4) с учетом начальных фаз несущей и модулирующей частоты, то правило изменения фаз аналогично изменению частоты: начальная фаза модулирующего колебания для верхней боковой частоты складывается с начальной фазой несущей, для нижней – вычитаются из фазы несущей. Физическая ширина спектра модулированного сигнала в два раза больше ширины спектра сигнала модуляции.

Энергия однотонального АМ-сигнала.

Определим функцию мгновенной мощности однотональногоАМ-сигнала (5.1.4):

u(t) = u_нес(t) + u_вб(t) + u_нб(t).

p(t)=u²(t)=

=u²_нес(t)+u²_вб(t)+u²_нб(t)+2u_нес(t)u_вб(t)+2u_нес(t)u_нб(t)+2u_вб(t)u_нб(t) (5.1.5)

Для определения средней мощности сигнала выполним усреднение функции p(t):

P_u =

Все взаимные мощности модулированного сигнала при усреднении становятся равными нулю (спектры не перекрываются), при этом:

P_u = Р_нес + Р_вб + Р_нб = U_m²/2 + (U_mM)²/4 (5.1.6)

Доля мощности боковых частот в единицах мощности несущей частоты:

(Р_вб + Р_нб)/Р_нес = М²/2, (5.1.7)

т.е. не превышает 50% даже при 100%-ной модуляции.

Под полезной мощностью модулированных сигналов понимают мощность, несущую информацию, т.е. в данном случае мощность боковых частот. Коэффициент полезного действия данного типа модуляции определяется отношением мощности боковых частот к общей средней мощности модулированного сигнала (Рис. 5.1.5):

Рис. 5.5. КПД амплитудной модуляции

h_АМ = (U_m² M²/4) /P_u = M²/(М²+2) (5.1.8)

Как можно видеть на рис. 5.5, даже при М=1 КПД амплитудной модуляции составляет только 33%, а при практическом использовании обычно меньше 20%.

Для модулированных сигналов применяют также понятие пиковой мощности P_max. Значение пиковой мощности для однотонального АМ-сигнала:

P_max = U_m² (1+M)².

Многотональный модулирующий сигнал имеет произвольный спектральный состав. Математическая модель такого сигнала, в том числе непрерывного по частоте, может быть аппроксимирована тригонометрической суммой, в пределе бесконечной:

s(t) = a_n cos(W_nt+F_n), (5.1.9)

где значения амплитуд a_n и начальных фаз F_n упорядоченной возрастающей последовательности гармоник W_n произвольны. Подставляя (5.1.9) в (5.1.2) и заменяя произведения M·a_n парциальными (частичными) коэффициентами модуляции M_n = M·a_n, получим обобщенное уравнение амплитудно-модулированного сигнала и его физического спектра:

u(t) = U_m[1+ М_ncos(W_nt+F_n)]×cos(w_ot+j_o). (5.1.10)

u(t) = U_mcos(w_ot+j_o) + (U_m/2) M_ncos[(w_o+W_n)t+j_o +F_n] +

+ (U_m/2) M_ncos[(w_o-W_n)t+j_o -F_n] (5.1.11)

Рис. 5.6. Многотональная модуляция.

На рис. 5.6 приведен схематический пример амплитудных спектров модулирующего и АМ-сигналов при многотональной модуляции. Он также содержит полосы верхних и нижних боковых частот относительно несущей частоты w_o, являющихся прямой и зеркальной масштабными копиями модулирующего сигнала. Соответственно, полная ширина спектра АМ-сигнала равна удвоенной ширине спектра модулирующего сигнала.

Пример:

Частотный диапазон кабеля длиной 1 км 0-200 кГц. Частотный диапазон измерительных датчиков 5-5000 Гц. От какого количества датчиков одновременно может передаваться информация по данному кабелю?

Минимальная несущая частота должна быть на порядок выше максимальной частоты модулирующего сигнала, т.е. порядка 50 кГц. Для передачи сигнала от одного датчика требуется полоса частот 2×5 = 10 кГц плюс пустой защитный интервал для исключения перекрестных помех порядка 1 кГц, т.е. 11 кГц. Общее количество каналов передачи информации: (200-50+5)/11 = 14 каналов.

Автокорреляционная функция АМ-сигналов:

B_u(t) = u(t) u(t-t) dt. (5.1.12)

C учетом того, что постоянная фаза не влияет на форму АКФ, при u(t)=U(t)·cos w_ot получаем:

cos w_ot cos w_o(t-t) = 0.5 cos w_ot + 0.5 cos w_o(2t-t).

B_u(t) = U(t) U(t-t) dt + 0.5 U(t) U(t-t) cos w_o(2t-t) dt. (5.1.13)

Второй интеграл в формуле АКФ существенно меньше первого - произведение медленно меняющейся функции U(t)U(t-t) и сильно осциллирующего члена с частотой 2w_o, и им можно пренебречь. Первый интеграл представляет собой АКФ сигнала U(t). Отсюда:

B_u(t) @ B_U(t). (5.1.14)

Полная энергия сигнала за счет усреднения по высокочастотным колебаниям:

B_u(0) @ (1/2) B_U(0).

При бесконечной энергии сигнала:

B_u(t) = (5.1.15)

Демодуляция АМ-сигналов может выполняться несколькими способами.

Самый простейший способ – двухполупериодное детектирование (вычисление модуля сигнала) с последующим сглаживанием полученных однополярных полупериодов несущей фильтром низких частот.

На рис. 5.7 приведен пример изменения однотонального амплитдно-модулированного сигнала и его физического спектра при детектировании (в реальной односторонней шкале частот и в реальной шкале амплитудных значений гармоник колебаний). Параметры представленного сигнала: несущая частота 30 Гц, частота модуляции 3 Гц, коэффициент модуляции М=1.

При детектировании спектр модулированного сигнала становится однополярным, переходит на основную несущую частоту 2w_o и уменьшается по энергии почти в 5 раз. Основная часть энергии (более 4/5) трансформируется в область низких частот и распределяется между постоянной составляющей и выделенной гармоникой сигнала модуляции. Между постоянной составляющей и выделенной гармоникой энергия распределяется в зависимости от значения коэффициента модуляции М. При М=1 энергии равны, при М=0 (в отсутствие сигнала модуляции) вся энергия переходит на постоянную составляющую.

Рис. 5.7. Изменение однотонального модулированного сигнала при детектировании

Кроме этих составляющих в спектре появляются также 2-я, 3-я и более высокие гармоники детектированного модулированного сигнала (т.е. в данном случае на частотах {117, 120, 123} Гц, {177, 180, 183} Гц и т.д.), которые не показаны на рисунке. Энергия второй гармоники не превышает 2%, а остальных и вовсе незначительна. Демодуляторы сигнала выделяют после детектирования только низкочастотный информационный сигнал и подавляют все остальные частоты, включая постоянную составляющую.

Очевидно также, что в случае перемодуляции сигнала исходный информационный сигнал будет восстанавливаться с ошибкой.

Другой распространенный метод – синхронное детектирование. При синхронном детектировании модулированный сигнал умножается на опорное колебание с частотой несущего колебания. Без учета фазовых углов колебаний:

y(t) = u(t) cos(w_ot) =

=U(t) cos(w_ot) cos(w_ot) = ½ U(t) + ½ U(t) cos(2w_ot). (5.1.16)

Рис.5.8.

Как следует из этого выражения, сигнал разделяется на два слагаемых, первое из которых повторяет исходный модулирующий сигнал, а второе повторяет модулированный сигнал на удвоенной несущей частоте 2w_о. На рис. 5.8 приведено визуальное сопоставление двухполупериодного и синхронного детектирования, которое наглядно показывает практически полное подобие процессов. Но форма новой несущей при синхронном детектировании является чистой гармоникой, в отличие от двухполупериодного детектирования, где новая несущая явно содержит дополнительные гармоники более высоких частот. Физический амплитудный спектр сигналов после демодуляции подобен спектру двухполупериодного детектирования, но однозначно соотносится со спектром входного модулированного сигнала: амплитуды гармоник модулированного сигнала на частоте 2w_о в два раза меньше амплитуд входного сигнала, постоянная составляющая равна амплитуде несущей частоты w_o и не зависит от глубины модуляции, амплитуда информационного демодулированного сигнала в 2 раза меньше амплитуды исходного модулирующего сигнала. Замечательной особенностью синхронного детектирования является полная независимость от глубины модуляции, т.е. коэффициент модуляции сигнала может быть больше 1.

Однако при синхронном детектировании требуется точное совпадение фаз и частот опорного колебания демодулятора и несущей гармоники АМ-сигнала.

При сдвиге фазы опорного колебания на Dw относительно несущей частоты выходной сигнал демодулятора оказывается умноженным на косинус фазовой ошибки:

y(t) = U(t) cos(w_ot) cos(w_ot-Dj) = ½ U(t) cos(-Dj) + ½ U(t) cos(2w_ot-Dj).

и амплитуда сигнала занижается, а при Dw=p/2 становится равной нулю.

При сдвиге частоты между несущим и опорным колебаниями сигнал демодулятора оказывается умноженным на гармоническое колебание с разностной частотой:

y(t) = U(t) cos(w_ot) cos(w_ot-Dw) = ½ U(t) cos(-Dwt) + ½ U(t) cos((2w_o-Dw)t),

при этом выходной сигнал демодулятора начинает пульсировать (beat – биения) с частотой биений Dw.

Для частотной и фазовой синхронизации между несущим и опорным колебаниями в составе демодуляторов обычно используются следящие системы фазовой автоподстройки опорной частоты.