Фибоначчиева система счисления

Система, основанная на числах Фибоначчи (ее цифры равны 0 и 1), служит той же цели, что и факториальная система. Однако эти числа используются не только для компактного представления чисел, но и при решении многих оптимизационных задач.

Числа Фибоначчи – элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 …, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел (F₀=F₁=1, F_k=F_k-1+ F_k-2 (k³2)). Данная последовательность названа по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи).

K
Fk
K
Fk

Число 137=1×89+0×55+1×34+0×21 +1×13 +0×8+0×5 +0×3+0×2+1×1 запишется в виде 1010100001_fib. Отметим, что в фибоначчиевой записи не встречается две единицы подряд.

Любопытства ради, заметьте, что

Число 0,6180… называют золотым сечением и используют в численном анализе, в строительстве сооружений, при поиске гармонии в природе и обществе. Еще строители Парфенона усматривали золотую пропорцию катетов 0,6180 : 0,3820 в приятнейшем для глаза треугольнике.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Ознакомьтесь с принципами работы непозиционных и смешанных систем счисления и ответьте на приведенные ниже вопросы.

1. Дайте определения непозиционных и смешанных систем счисления.

2. Назовите и охарактеризуйте свойства непозиционных и смешанных систем счисления.

3. Назовите известные вам непозиционные системы счисления.

4. Назовите известные вам смешанные системы счисления.

5. Объясните причину неполной непозиционности римской системы счисления.

6. Охарактеризуйте различие между цифрой и числом.

7. Ознакомившись с позиционными системами счисления, охарактеризуйте систему счисления майя.

8. Сравните между собой факториальную и фибоначчиеву системы счисления.

9. Чему равно отношение 15-го и 16-го чисел Фибоначчи и насколько оно далеко от золотого сечения?

10. Находится ли представительство партий в Государственно думе в отношении золотого сечения?

11. Чему равна обратная величина золотого сечения? Не наводит ли эта величина на размышления, которые позволили бы найти золотое сечение с большим числом знаков?

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

В процессе самостоятельного изучения непозиционных и смешанных систем счисления могут возникнуть вопросы, связанные с какой-либо конкретной системой счисления, или же желание более подробно изучить системы счисления в целом. Приведенная ниже литература позволит вам подробнее ознакомиться с существующими системами счисления.

1. Гашков, С. Б. Системы счисления и их применение. – М.: МЦНМО, 2004. – 52 с. – [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.29.pdf, свободный. – Загл. с экрана.

2. Стахов, А. П. Музей Гармонии и Золотого Сечения / А.П. Стахов, А.А. Слученкова. – [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.goldenmuseum.com/index_rus.html, свободный. – Загл. с экрана.

3. Фомин, С. В. Популярные лекции по математике. – М.: Наука, 1987. – 48 с. – [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://ilib.mirror1.mccme.ru/plm/ann/a40.htm, свободный. – Загл. с экрана.

4. Яглом, И. М. Системы счисления // Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». – М.: МЦНМО, 1970. – №6. – С. 2-10. – [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://kvant.mirror1.mccme.ru/1970/06/sistemy_schisleniya.htm, свободный. – Загл. с экрана.