Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника

Основные теоремы и формулы

Признаки равенства и подобия треугольников.

Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Первый признак подобия треугольников: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, тогда эти треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны

Свойства и признаки параллельных прямых.

Признаки:

1. Если при пересечении двух прямых а и b третей прямой с внутренние накрестлежащие углы равны

(одна пара), то такие прямые а и b являются параллельными

2. Если при пересечении двух прямых а и b третей прямой с внешние накрестлежащие углы равны (одна пара), то такие прямые а и b являются параллельными

3. Если при пересечении двух прямых а и b третей прямой с сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусам (одна пара), то такие прямые а и b являются параллельными

4. Если при пересечении двух прямых а и b третей прямой с сумма внешних односторонних углов равна 180 градусам (одна пара), то такие прямые а и b являются параллельными

5. Если при пересечении двух прямых а и b третей прямой с соответственные углы равны (одна пара), то такие прямые а и b являются параллельными

Свойства:

1. Внутренние накрестлежащие углы равны

2. Внешние накрестлежащие углы равны

3. Сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусам
4. Сумма внешних односторонних углов равна 180 градусам
5. Соответственные углы равны

6. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

7. Если две прямые параллельны третей то они параллельны.

Теоремы о точках пересечения медиан, биссектрис, высот треугольника.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делят друг друга в отношении 2:1, считая от вершины.

Три высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности

Свойства средней линии трапеции.

Средняя линия трапеции параллельно основаниям и равна их полусумме.

Свойство углов со взаимно перпендикулярными (параллельными) сторонами.

1. углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.

2. углы с соответственно параллельными сторонами в сумме составляют 2d, если один из них острый, а другой тупой.

3. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны между собой, если они оба острые или оба тупые.

4. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами в сумме составляют 2d, если один из них острый, а другой тупой.

Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке - центре вписанной в этот треугольник окружности.

7. Теоремы о прямоугольном треугольнике: свойство медианы к гипотенузе и теорема обратная к ней; пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике; формулы радиусов вписанной и описанной окружностей.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

r= , где p=
Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Радиус равен половине гипотенузы: R=c\2.

Радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе.