Полный факторный эксперимент

Основные понятия и определения теории эксперимента.

Входные переменные Хi, i = 1, 2,…k (где k – число переменных), определяющие состояние объекта называются факторами. Фиксированное значение фактора называют уровнем фактора. Основное требование к факторам достаточная управляемость, под которой понимается возможность установить нужный уровень фактора и стабилизировать его в течении всего опыта.

Выходная переменная Yg (обычно g = 1) – это реакция объекта на входные воздействия; она носит название функции отклика или цели. Выбор функции отклика определяется целью исследования, которая может представлять собой оптимизацию экономической (стоимость, производительность), технологической (точность, быстродействие), конструктивной (габариты, надежность) или другой характеристики объекта.

В результате эксперимента получают уравнение регрессии (аппроксимирующую функцию Y = f(X1, X2,…Xk)), которое часто называют статистической моделью процесса. Под аппроксимацией понимают замену точных аналитических выражений приближенными. В качестве уравнения регрессии обычно используют полином некоторой степени. Например, линейная зависимость при k =1 имеет вид Y = a0 + a1X, при k = 2 Y = a0 + a1X1 + a2X2. Квадратичная зависимость при k = 1 Y = a0 + a1X + a2X2. Где a0, a1, a2… – неизвестные коэффициенты регрессии, которые вычисляются на основании результатов эксперимента. Например, задавшись некоторым сочетанием факторов Xij (здесь i = 1, 2,…k – номер фактора, j =1, 2, …N – номер опыта), проведем первый опыт (j = 1) и получим функцию отклика Yj = Y1 при принятых значениях факторов (см. табл. 4.1).

Матрица спектра плана – матрица, составленная из всех строк матрицы плана, отличающихся уровнем хотя бы одного фактора. Размер матрицы спектра n×k; все строки этой матрицы различны.

Матрица дублирования – квадратная диагональная матрица, диагональные элементы которой равны числам параллельных опытов в соответствующих точках спектра плана. Под экспериментом будем понимать совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения информации о его свойствах. Эксперимент, в котором исследователь по своему усмотрению может изменять условия его проведения, называется активным экспериментом. Если исследователь не может самостоятельно изменять условия его проведения, а лишь регистрирует их, то это пассивный эксперимент. Опыт – это отдельная экспериментальная часть.

План эксперимента – совокупность данных определяющих число, условия и порядок проведения опытов.

Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий).

Этапы планирования и проведения эксперимента. Научный и промышленный эксперимент.

Можно выделить следующую последовательность процедур планирования эксперимента:
– выбирается цель исследования и ее количественная характеристика (функция отклика);
– выбираются из k действующих в системе факторов наиболее важные X1, X2, ….Xk;
– устанавливаются пределы изменений факторов и , вычисляются основной уровень и интервал (шаг) варьирования , заменяются переменные Xi на кодированные xi ;
– разрабатывается методика измерения выбранных факторов, определяется погрешность и число повторений в каждой из выбранных комбинаций факторов;
– выбирается регрессионная модель процесса. В случае недостатка информации вначале принимается линейная модель;
– составляется или выбирается по справочным таблицам план эксперимента;
– проводится эксперимент;
– вычисляются коэффициенты регрессии изучаемой зависимости и проверяется адекватность полученной модели. Если линейная модель не согласуется с экспериментом, то проводятся дополнительные опыты для построения более сложных зависимостей.
– проводится анализ полученного в итоге уравнения регрессии и делаются соответствующие выводы.

3. Применение метода наименьших квадратов в задачах управления качеством. Рассмотрим метод наименьших квадратов на примере квадратичной зависимости Y = a0 + a1X + a2X². Посредством МНК значения a0, a1 и a2 находятся из условия минимизации суммы квадратов отклонений измеренных значений отклика Yj от получаемых с помощью регрессионной модели, т. е. путем минимизации суммы:
.
Минимизация суммы квадратов производится обычным способом с помощью дифференциального исчисления путем приравнивания к 0 первых частных производных по a0, a1 и a2.

Выполнив ряд преобразований, получим систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов

Вычисляя из N опытов необходимые суммы и решая эту систему, находим значения коэффициентов a0, a1 и a2.

При использовании метода наименьших квадратов необходимым условием получения статистических оценок является выполнение неравенства N > d, т .е. количество опытов N должно быть больше, чем число коэффициентов полинома d. Увеличение N можно производить двумя различными путями: повторением опыта в исходных точках эксперимента либо увеличением количества этих точек. Второй путь дает возможность не только учесть погрешности измерения, но и оценить адекватность аппроксимирующего полинома во всей области экспериментирования и при необходимости повысить его порядок.

Полный факторный эксперимент.

Первый этап планирования эксперимента для получения линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях. В этом случае, если число факторов известно, можно сразу найти число опытов, необходимое для реализации всех возможных со­четаний уровней факторов. Простая формула, которая для этого используется, уже приводилась: , где N – число опытов, k – число факторов, 2 – число уровней. В общем случае эксперимент, в котором реализуются все­возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом. Если число уровней каждого фактора равно двум, то имеем полный факторный экспе­римент типа 2^k.

Нетрудно написать все сочетания уровней в экспе­рименте с двумя факторами. Напомним, что в планиро­вании эксперимента используются кодированные значения факторов: +1 и –1 (часто для простоты записи единицы опускают). Условия эксперимента можно записать в виде таблицы, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов. Будем называть такие таблицы матрицами планирования эксперимента.

Каждый столбец в матрице планирования называют вектор-столбцом, а каждую строку – вектор-строкой. Таким образом, мы имеем 2 вектор-столбца независимых переменных и один вектор-столбец парамет­ра оптимизации.

Если для двух факторов все возможные комбинации уровней легко найти прямым перебором (или просто запомнить), то с ростом числа факторов возникает необ­ходимость в некотором приеме построения матриц. Из многих возможных обычно используется три приема, основанные на переходе от матриц меньшей размерности к матри­цам большей размерности. Рассмотрим первый. При добав­лении нового фактора каждая комбинация уровней исход­ного плана встречается дважды: в сочетании с нижним и верхним уровнями нового фактора. Отсюда естественно появляется прием: записать исходный план для одного уровня нового фактора, а затем повторить его для другого уровня.