Перевірка гіпотези про нормальний закон розподілу генеральної сукупності. Критерій узгодженості Пірсона

В попередніх параграфах закон розподілу генеральної сукупності припускається відомим. Якщо ж він є невідомим, але є підстава, припущення, що він має певний вигляд (наприклад А), то перевіряють нульову гіпотезу: генеральна сукупність розподілена по закону А.

Перевірка гіпотези про припущений закон невідомого закону розподілу робиться так само, як і перевірка гіпотези про параметри розподілу, тобто з допомогою спеціально підібраної випадкової величини – критерію узгодженості.

Критерієм узгодженості називають критерій перевірки про вигляд невідомого розподілу.

Є декілька критеріїв узгодженості: (хі квадрат) Пірсона, Колмогорова, Смірнова і т.д. Для простоти обмежимося лише описом застосування критерію Пірсона для перевірки гіпотез про нормальний розподіл генеральної сукупності, оскільки інші закони перевіряються аналогічно.

Для перевірки критерію узгодженості за конкретними формулами порівнюють емпіричні частоти (за даними вибірки) n_і і теоретичні n_i' (обчислені в припущенні, що закон розподілу генеральної сукупності заданий, наприклад, у нашому випадку - нормальний).

Природно, що емпіричні та теоретичні частоти різняться, але чи випадкова ця розбіжність? Можливо, що розбіжність випадкова (незначна), а можливо, розбіжність невипадкова, і пояснюється це тим, що теоретичні частоти обчислені, виходячи з неправильної гіпотези про нормальний розподіл генеральної сукупності.

Критерій Пірсона якраз і відповідає на поставлене питання, правда, як і всякий критерій, він не доводить справедливість гіпотези, а лише встановлює на певному рівні значимості її узгодження чи неузгодження з даними спостереженнями.

Найбільш розповсюдженим критерієм перевірки нульової гіпотези про закон розподілу ознаки генеральної сукупності є критерій узгодженості , що розраховується за формулою:

, (1)

де m – число часткових інтервалів, на які поділяється статистичний розподіл вибірки; n_i – частота ознаки в і-му інтервалі; n_i' – теоретичні частоти, підраховані за відповідними формулами закону розподілу ймовірностей, який припускається для ознаки генеральної сукупності. Теоретичні частоти знаходяться за формулою:

, (2)

де n – об’єм вибірки, р_і – для дискретної величини є ймовірність події р_і=Р(Х=х_і), для неперервної випадкової величини р_і є ймовірність того, що ознака Х попаде в і-ий інтервал.

Наприклад, для гіпотези H₀, яка припускає, що ознака генеральної сукупності має нормальний закон розподілу, ймовірність р_і може бути обчислена за формулою:

Р_і=Ф(х_і+1)-Ф(х_і), (3)

де Ф(х) – функція Лапласа.

Критерій К у формулі (1) випадковий, і чим менше відрізняються значення емпіричних і теоретичних частот, тим менше буде значення К_сп і, отже, більш точно характеризує близькість теоретичного і емпіричного розподілів.

Значення критичної точки k_кр для критерію узгодженості Пірсона залежить від рівня значимості і числа ступенів вільності k. Число ступенів вільності розподілу визначається за формулою k=l-r-1, де l- число інтервалів статистичного ряду, r – число параметрів теоретичного закону розподілу, що оцінюється за даними вибірки.

Зокрема , якщо припущений розподіл нормальний, то оцінюється два параметри (математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення), тому r=2, отже, k=l-3.

Оскільки односторонній критерій більш “жорстко” відхиляє нульову гіпотезу, ніж двосторонній, то будуть правосторонню критичну область, виходячи з вимоги, щоб ймовірність попадання критерію в цю область при припущенні правдивості нульової гіпотези була рівна прийнятому рівню значимості :

.

Висновок. Для того, щоб при заданому рівні значимості перевірити гіпотезу Н₀: генеральна сукупність розподілена нормально, потрібно спочатку порахувати теоретичні частоти, а потім спостережуваний критерій:

.

Після чого по таблиці критичних точок розподілу (див. дод.1), за заданим рівнем значимості і числом ступенів вільності k=l-3 потрібно знайти критичну точку .

Якщо К_сп<k_кр – нема підстави відхиляти нульову гіпотезу.

Якщо К_сп>k_кр – нульову гіпотезу відхиляють.

Зауваження. Об’єм вибірки повинен бути досить великим (не менше 50), а кожна група з інтервалу (х_і,х_і+1) містити не менше 5-8 варіант; малочисленні групи слід об’єднувати в одну, сумуючи частоти.

Для контролю обчислень, формулу (1) перетворюють до вигляду:

Отже, суть критерію узгодженості Пірсона полягає в порівнянні емпіричних і теоретичних частот. Емпіричні частоти знаходять експериментально, а теоретичні, наприклад, таким методом:

1. Весь інтервал спостережуваних значень Х (вибірки об’єму n) ділять на l часткових інтервалів [x_i,x_i+1] однакової довжини. Знаходять їх середини , а частоти n_i варіанти беремо рівними числу варіант, що попали в і-ий інтервал.

В результаті отримано послідовність рівновіддалених варіант з відповідними частотами:

.

2. Обчислюємо вибіркову середню і вибіркове середнє квадратичне відхилення:

.

3. Нормують випадкову величину Х, тобто переходять до величини і обчислюють кінці інтервалів (z_i,z_i+1):

,

причому найменше значення Z, тобто z₁ покладають рівним , а найбільше, тобто z_e, рівним .

4. Обчислюють теоретичні ймовірності р_і попадання Х в інтервали (х_і,х_і+1) з рівності

Р_і=Ф(z_і+1)-Ф(z_і),

де Ф(z) – функція Лапласа і остаточно знаходять теоретичні частоти n_i'=np_i.

Приклад 1. Вивчається відсоткове відношення номінальної і ринкової цін на акції на фондовому ринку (Х) за певний період. Зроблена вибірка за акціями 50-ти різних підприємств.

98,01	100,02	98,1	96,2	99,8
101,2	99,2	104,1	102,6	103,8
101,2	99,4	104,1	100,6	99,8
97,2	98,2	101,1	100,6	99,8
100,8	98,2	100,1	101,6	96,1
101,2	97,2	102,1	96,3	96,8
98,8	97,2	102,0	96,3	98,8
99,2	100,3	100,1	99,6	100,8
100,5	98,2	103,5	100,1	98,8
100,4	97,2	102,1	101,6	100,8

Потрібно за допомогою критерію узгодження Пірсона перевірити гіпотезу про нормальний закон розподілу відсоткового відношення номінальної і ринкової цін на акції на фондовому ринку при рівні значимості .

Рішення. І. Min x_i=96,1%, max x_i=104,1%, тому побудуємо інтервальний статистичний ряд відсотків від 94,1% до 104,1%. Розмах варіації для даного ряду становить R=104,1-96,1=8%, тому поділимо інтервальний ряд на 8 частин.

96,1¸ 97,1

97,1¸ 98,1

98,1¸ 99,1

99,1¸ 100,1

100,1¸ 101,1

101,1¸ 102,1

102,1¸ 103,1

103,1¸ 104,1

Будуємо статистичний розподіл, варіантами якого є середини інтервалів:

	96,6	97,6	98,6	99,6	100,6	101,6	102,6	103,6
ni

Для знаходження теоретичних частот n_i¢ використаємо формули:

і скористаємось розрахунковою таблицею.

№	Межі інтер-валів
	96,1 - 97,1	-∞	-1,400	-0,5	-0,4152	0,085		4,25
	97,1 – 98,1	-1,400	-0,860	-0,4125	-0,3051	0,110		5,50
	98,1 – 99,1	-0,860	-0,322	-0,3051	-0,1255	0,180		9,00
	99,1 – 100,1	-0,322	0,215	-0,1255	0,0852	0,211		10,54
	100,1 – 101,1	0,215	0,753	0,0852	-0,2734	0,188		9,40
	101,1 – 102,1	0,753	1,290	0,2734	0,4015	0,128		6,40
	102,1 – 103,1	1,290	1,828	0,4015	0,4664	0,065		3,25
	103,1 – 104,1	1,828		0,4664	0,5	0,025		1,25

Значення критерію К_сп обчислюється за формулою:

.

За таблицями критичних точок розподілу .

Оскільки К_сп=4,46<11,1=k_кр, то гіпотеза про нормальний закон розподілу відсоткового відношення номінальної і ринкової цін на акції на фондовому ринку приймається.

§5. Порівняння двох середніх генеральних сукупностей,

дисперсії яких відомі (великі незалежні вибірки)

Нехай і об’єми великих незалежних вибірок, для яких знайдені відповідні вибіркові середні та . Генеральні дисперсії , відомі.

Правило 1. Для того, щоб при заданому рівні значимості перевірити нульову гіпотезу про рівність математичних сподівань (генеральних середніх) двох нормальних генеральних сукупностей з відомими дисперсіями (у випадку великих вибірок) при конкуруючій гіпотезі , потрібно порахувати спостережуване значення критерію

,

і по таблиці 2 функції Лапласа знайти критичну точку з рівності

.

Якщо - нема підстави відкидати нульову гіпотезу. Якщо - нульова гіпотеза відкидається.

Правило 2. При конкуруючій гіпотезі знаходять критичну точку по таблиці 2 з рівності

.

Якщо - нема підстави відкидати нульову гіпотезу, якщо ж - нульова гіпотеза відкидається.

Правило 3. При конкуруючій гіпотезі знаходять точку за правилом 2. Якщо - нульова гіпотеза приймається, а якщо - нульова гіпотеза відкидається.

Приклад 1. За двома незалежними вибірками, об’єми яких , вибраних з нормальних генеральних сукупностей, знайдемо і . Генеральні дисперсії відомі: , . Потрібно при рівні значимості перевірити нульову гіпотезу при .

Рішення. Знайдемо . Так як , то критична область двостороння. Знайдемо з рівності , тобто згідно табл.2 . Так як , то нульова гіпотеза відкидається, тобто генеральні середні різніться суттєво.

Лекція 10. КОРЕЛЯЦІЙНИЙ І РЕГРЕСІЙНИЙ АНАЛІЗ

В багатьох задачах потрібно встановити залежність випадкової величини Y від однієї чи декількох інших величин. Залежності між величинами можна поділити на функціональні і статистичні. В природничих, технічних науках здебільшого зустрічаються функціональні залежності, при яких кожному значенню аргументу х за певним законом відповідає зазвичай одне значення функції y.

Строга функціональна залежність здійснюється рідко, так як обидві величини х та y, чи одна з них підпадає під дію випадкових впливів (факторів), причому деякі з них можуть бути спільними для обох величин х та y.

Між змінними, що характеризують економічні величини, здебільшого існують залежності, які проявляються в тому, що одна з них реагує на зміну іншої зміною свого закону розподілу. Наприклад, урожайність сільськогосподарських культур залежить від кількості внесеного добрива, але ця залежність не буде функціональна, оскільки на врожайність, крім того, впливатимуть кліматичні умови, технологія землі та посіву тощо.

Статистичною називають залежність, при якій зміна однієї з величин веде до зміни розподілу іншої, зокрема кореляційним називається зв’язок між статистичними змінними Х і Y, за якими при зміні ознаки Х змінюється середнє значення ознаки Y. Причому при кореляційній залежності одному значенню незалежної змінної Х відповідає не одна, а декілька значень залежної змінної Y. Наведений приклад показує, що середня врожайність є функцією від кількості внесеного добрива, тобто Y зв’язаний з Х кореляційною залежністю.

Отже, дві випадкові величини X і Y не є незалежними, то вони називаються залежними випадковими величинами. При цьому залежність між величинами Х і Y не є, взагалі кажучи, функціональною і носить ймовірносний (стохастичний) характер. Така ймовірність вивчається методами теорії ймовірності і математичної статистики. Вивченню статистичної залежності випадкових величин і присвячений цей розділ.

§1. Рівняння парної регресії

В ролі оцінки умовних математичних сподівань беруть умовні середні, які знаходять за даними вибірки.

Умовною середньою називають середнє арифметичне із значень Y, що відповідають одному і тому ж значенню Х=х.

Приклад 1. Нехай Х – статистична величина, що характеризує вагу людини в кг, а Y – відповідно зріст в см, і двовимірний статистичний розподіл задається таблицею:

Y	x
70	75	80	n
170	15	10	5	30
175	-	10	-	10
180	-	5	5	10
n	15	25	10	50

Наприклад, вазі 75 кг відповідає середній зріст:

см.

Аналогічно вводиться умовна середня .

Використовуючи поняття умовної середньої, введемо таке означення кореляційної залежності.

Кореляційною називається залежність умовної середньої від аргументів і записується в такому вигляді: , якщо n змінних: .

Дані рівняння називають вибірковими рівняннями регресії Y на Х; функцію - вибірковою регресією Y на Х, а її графік – вибірковою лінією регресії Y на Х.

Рівняння регресії найчастіше використовують як різновид статистичних моделей, що застосовують, наприклад, в економічному аналізі, де за допомогою рівнянь регресії є можливість виміряти вплив окремих факторів-аргументів на залежну змінну. Цим самим аналіз стає конкретним і цінність його суттєво збільшується. Крім регресивного аналізу, рівняння регресії використовують у прогнозних дослідженнях. В економічних дослідженнях кореляційні дослідження ввійшли під поняттям виробничі функції.

Найпростішою буде кореляційна залежність, коли є один аргумент і вона називається парною . Якщо ж аргументів більше, ніж один, то залежність називається множинною.

Вигляд рівняння визначає тип кореляційної залежності. Найбільш поширеним і простим є рівняння лінійної регресії, коли всі параметри входять в першій степені:

. (1)

Прикладами можуть бути: залежність між витратами на рекламу та обсягом реалізованої продукції, витратами на споживання та валовим національним продуктом (ВНП), зміною ВНП в залежності від часу і т.д.

В загальному вигляді проста лінійна вибіркова регресійна модель запишеться так:

. (2)

Спочатку вважаємо, що різні значення х ознаки Х і відповідні їм значення y ознаки Y спостерігались по одному разу, тому нема потреби групувати дані, а також використовувати поняття умовної середньої, тому шукане рівняння (2) можна записати:

, (3)

де y – вектор спостережень за залежною змінною ,

х – це вектор спостережень за незалежною змінною , k,b – невідомі параметри регресійної моделі, - вектор випадкових величин (помилок) .

Модель (3) можна трактувати як пряму на площині, де b – перетин її з віссю ординат, k – кутовий коефіцієнт нахилу (звичайно, якщо абстрагуватись від випадкової величини е).

Щоб мати явний вигляд залежності, необхідно знайти (оцінити) невідомі параметри k,b цієї моделі. Як це зробити, яким критерієм користуватись? Щоб відповісти на ці запитання, розглянемо приклад.

Приклад 2. Бюро економічного аналізу кондитерської фабрики оцінює ефективність відділу маркетингу з продажу цукерок. Для такої оцінки вимагає досвід роботи у п’яти зонах з майже однаковими умовами. У цих зонах зафіксовано протягом певного періоду обсяги продажі (млн. коробок), витрати (млн. грн.) фірми та рух товару на ринку (дані наведені в таблиці).

Зони	yi	xi

Візуально можна припустити, що між даними є лінійна залежність, тобто її можна наближено зобразити прямою лінією. Взагалі, існує необмежена кількість прямих y=kx+b, які можна провести через множину точок спостережень. Яку з них вибрати? Щоб це визначити, потрібно мати у розпорядженні певний критерій, що дозволяв би вибрати з множини прямих “найкращу” з точки зору даного критерію. Найпоширенішим є критерій мінімізації суми квадратів відхилень. На рис. 1 видно, що на цих прямих є точки, розташовані таким чином, що деякі з них знаходяться вище, деякі нижче цієї прямої, на основі чого можна встановити відхилення (помилки) відносно цієї прямої:

, (4)

де - і-та точка на прямій, яка відповідає значенню .

Реальні спостереження (Х_і,Y_і) зобразимо в системі (ХОY).

60

45

35

30

25

0 5 6 9 12 18 x

Відхилення або помилки ще називають залишками. Логічно, що треба проводити пряму таким чином, щоб сума квадратів помилок була мінімальною. В цьому і полягає критерій суми найменших квадратів: невідомі параметри k та b визначають так, щоб мінімізувати , тобто:

. (5)

Мінімум функції досягається за необхідних умов, коли перші похідні дорівнюють нулеві, тобто:

, (6)

або отримують лінійну систему рівнянь:

, (7)

що називається нормальною. Розв’язують систему і знаходять невідомі параметри k,b:

, (8)

. (9)

З метою спрощення виразу для (8) чисельник і знаменник виразу помножимо на :

, (10)

де . Вираз (10) можна записати ще таким чином:

, (11)

а розділивши друге рівняння (7) на n, отримаємо: , звідки і остаточно .

Аналогічно знаходять вибіркове рівняння прямої лінії регресії х та y:

.

Приклад 3. Візьмемо дані прикладу 2 і проведемо обчислення параметрів k та b:

.

Отже, .

Коефіцієнт регресії k показує, на скільки зміниться детермінована складова y, якщо фактор х зміниться на одиницю.

При великому числі спостережень одне і те ж значення х може зустрітись n_x раз, одне і те ж значення y-n_y раз, одна пара чисел (х, y) може спостерігатись n_xy раз. Тому дані спостережень групують, тобто підраховують частоти . Всі згруповані дані заносять до так званої кореляційної таблиці:

Y X			…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
			…		…
			…		…

Тут n_ij – число елементів сукупності, в якій ,

тобто в першому рядку таблиці вказані спостережувані значення х₁,х₂,...х_m, а в першому стовпці – спостережувані значення y₁,y₂,…y_k. На перетині рядків і стовпців знаходяться частоти спостережуваних пар .

Тепер повернемось до системи рівнянь (7). Використаємо тотожності

.

Підставивши праві частини тотожностей в систему (7), отримують систему

, (12)

з якої знаходять:

. (13)

Підставивши праву частину в рівняння регресії , отримують

, (14)

де знову ж

.

Помноживши обидві частини на , записують:

Підставивши r_в в (14) остаточно отримаємо вибіркове рівняння прямої лінії регресії Y та Х за згрупованими даними:

. (15)

§2. Вибірковий коефіцієнт кореляції та його властивості,

методика знаходження

Число r_в є вибірковим коефіцієнтом кореляції, тобто оцінкою коефіцієнта кореляції

.

Сила кореляційної залежності у випадку прямої регресії оцінюється коефіцієнтом кореляції r. Так як , то чим r ближче до , тим щільніший зв’язок Y та Х, який переходить у функціональну (лінійну) залежність при . Якщо r<0, то зв’язок між величинами обернений, якщо r>0, то прямий, якщо r=0, то зв’язок відсутній.

Залежність щільності зв’язку між явищами від величини коефіцієнта кореляції r можна зобразити графічно.

1 – зв’язок тісний,

2 - зв’язок середній,

3 – зв’язок слабкий.

Вибірковий коефіцієнт r_в є оцінкою коефіцієнта кореляції r генеральної сукупності і тому також служить для вимірювання лінійного зв’язку між величинами X та Y. Нехай, вибірковий коефіцієнт кореляції виявився . Так як вибірка відібрана випадково, то звідси ще не можна робити висновок, що коефіцієнт кореляції генеральної сукупності також відмінний від нуля . Виникає необхідність перевірити гіпотезу про значимість вибіркового коефіцієнту кореляції (або про рівність нулеві коефіцієнта генеральної сукупності H₀: r=0). Перевірку цієї гіпотези теж можна здійснити (див. [3]).

Якщо вибірка має досить великий об’єм і добре представляє генеральну сукупність, то висновок про щільність лінійної залежності між ознаками, отриманий по даних вибірки, в певній мірі може бути поширений і на генеральну сукупність. Наприклад, для оцінки коефіцієнту кореляції r нормально розподіленої сукупності (при ), можна користуватись формулою

.

Нехай потрібно за даними кореляційної таблиці обчислити вибірковий коефіцієнт кореляції. Розрахунки можна спростити, якщо перейти до умовних варіант (при цьому величина r_в не зміниться)

,

де u_i, v_j – умовні варіанти, с₁, с₂ – хибні нулі, тобто варіанти, що мають найбільшу частоту, h₁, h₂ – кроки, тобто різниці між будь-якими двома сусідніми варіантами.

Тоді:

.

Оскільки при знаходженні r_в вже обчислені , то доцільно повернутись до величин х, y:

.

І записати рівняння лінійної регресії:

.

Приклад 1. Зв’язок ознак Х та Y подається кореляційною таблицею:

Y X
			-	-	-	-
	-			-	-	-
	-	-				-
	-	-				-
	-	-	-

Записати рівняння прямої регресії.

Рішення. Переходимо до умовних варіант , тобто С₁=45, С₂=38, h₁=5, h₂=10 (С₁, С₂ – варіанти, що мають найбільшу частоту 35).

V U	-3	-2	-1
-2			-	-	-	-
-1	-			-	-	-
	-	-				-
	-	-				-
	-	-	-

Послідовно знаходимо:

;

;

; ; ;

.

Рівняння прямої регресії Y та Х має вигляд:

або .

Лекція 11. БАГАТОФАКТОРНА ТА НЕЛІНІЙНА РЕГРЕСІЯ

Багатофакторна регресія

На практиці економічний процес змінюється під впливом багатьох різноманітних факторів, які треба вміти виявити та оцінити. Якщо розглянути приклад з лк 30 , то аналіз обсягу продажу на фірмі було б спрощено допускати тільки від витрат на рекламу. На обсяги продажу впливає частина ринку, яку утримує фірма, якість продукції, імідж марки продукції, середня заробітна плата населення у регіонах продажу та інші фактори.

Узагальнена багатофакторна лінійна регресійна модель може бути записана у вигляді:

у = а₀+а₁х₁+а₂х₂+…+а_рх_р+e , (1)

де у – залежна змінна, х₁, х₂,…х_p – незалежні змінні (фактори) а₀, …а_р – параметри моделі, які потрібно оцінити, e - не спостережувана випадкова величина.

Узагальнена регресійна модель – це модель, яка дійсна для всієї генеральної сукупності. Невідомі параметри узагальненої моделі є константами, а випадкова величина – не спостережувана, і можна лише зробити припущення відповідно до закону її розподілу. На відміну від узагальненої регресійної моделі, вибіркова модель будується для певної вибірки; невідомі параметри вибіркової моделі є випадковими величинами, математичне сподівання яких дорівнює параметрам узагальненої моделі.

Відповідна вибіркова лінійна багатофакторна модель має вигляд:

ŷ = b₀+b₁х₁+…+b_рх_р+e , (2)

де ŷ – залежна змінна, х₁…х_р – незалежні змінні, b₀, b₁…b_р – оцінки невідомих параметрів узагальненої моделі, е – випадкова величина (помилка).

Нехай дано ряд спостережень за залежною змінною та за незалежними змінними, або факторами: . На підставі цих спостережень будується лінійна вибіркова багатофакторна модель, а саме – у вигляді (2).

Як і у випадку простої лінійної регресії, знаходять невідомі параметри за методом найменших квадратів, тобто мінімізують суму квадратів відхилень фактичних даних від теоретичних:

тобто .

Звідки отримується нормальна система рівнянь:

(3)

Розв’язуючи систему рівнянь (3) щодо b₀, b₁…b_р одержують рівняння множинної регресії.

Лінійну багатофакторну модель, як і основні проблеми регресійного аналізу, зручно розглядати за допомогою матриць. Для цього введемо матриці:

Тоді систему (2) можна записати у матричній формі

, (4)

а систему (3) можна записати у такому матричному вигляді:

, (5)

або Х^ТХВ =X^TY Якщо обернена матриця Х^ТХ існує (Х^ТХ)^-1, то, помноживши на неї останню рівність, отримаємо:

(Х^ТХ)^-1(Х^ТХ) В = (Х^ТХ)^-1 Х^ТY, або остаточно:

(6)

Рівняння (6) є фундаментальним результатом для визначення невідомих вибіркових параметрів у матричному вигляді.

§2. Нелінійна регресія

Якщо графік регресії або зображується кривою лінією, то кореляцію називають криволінійною (нелінійною). Наприклад, квадратичні функції використовуються для опису дуже широкого спектру економічних процесів, завдяки їхнім універсальним властивостям. Дійсно, у загальному випадку квадратична функція має вигляд:

. (1)

Обернена функція має вигляд:

, (2)

тобто узагальнені регресії моделі відповідно будуть:

, (3)

а вибіркові нелінійні регресії є

(4)

(5)

За методом найменших квадратів параметри знаходять з системи:

, (6)

(7)

Для аналізу зв’язку y і х в цих випадках використовуються кореляційними відношеннями:

, (8)

де .

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

1. Інвестиційна кампанія має пакетів акцій, серед яких пакетів цукрових заводів. Визначити ймовірність, що серед навмання вибраних пакетів акцій є рівно пакетів цукрових заводів.

Задачу розв'язати за даними таблиці ( ― номер варіанта ):

2.В двох партіях відповідно і якісних виробів. Навмання вибирають по одному виробу з кожної партії. Яка ймовірність того, що серед відібраних виробів: а) хоча б один бракований; б) обидва браковані; в) один бракований і один якісний?

Задачу розв'язати за даними таблиці ( ― номер варіанта ):

3. В магазин надходять однотипні вироби з трьох заводів, причому з -го заводу надходить виробів ( ). Серед виробів -го заводу якісних. Куплено один виріб. Він виявився якісним.

Визначити ймовірність того, що куплений виріб виготовлено -им заводом.

Задачу розв'язати за даними таблиці ( ― номер варіанта ):