Основные числовые множества, примеры. Вещественные числа.

Множества: понятие множества, способы задания множеств, операции над множествами.

Множества – совокупность объектов той или иной природы, обладающей общим свойством и рассматриваемой как целой.

Элемент множества – каждый объект, входящий в множество.

Способы задания множеств:

1) перечисление элементов A={ , ,…, };

2) Указание общего свойства или признака, которым обладают элементы множества

А={а Т | (а)}, где Т – универсальное множество, (а) – признак, которым обладает элемент а.

Операции над множествами:

1) Объединение

Объединением множеств А и В называется такое множество С ( С=А В), каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств А и В ( или А, или В, или обоим)

С =А В = {х| х А или х В}

С= А В

С= А В

Если А В, то С= А В

2) Пересечение

Пересечением А и В называется такое множество С = А В, каждый элемент которого принадлежит и множеству А, и множеству В.

С = А В = {х| х А и х В}

Замечание: операции объединения и пересечения обобщаются на случай произвольного числа множеств.

С= А В

А В=

Если АᴄВ, то А В = А

3) Разность

Разностью множеств А и В называется такое множество С, каждый элемент которого содержится в множестве А, но не содержится в множестве В.

С = А/В = = {х| х А и х В}

А/В

Если А В= , то А/В=А

Если ВᴄА, то разностью А/В= ВА называется дополнением множества В до множества А

Разность Т/А = А – дополнение множества А

Основные числовые множества, примеры. Вещественные числа.

Множество натуральных чисел N={1;2;3;4;…,n,…}

Добавление в N нуля и отрицательные числа -1;-2;-3… получаем множество целых чисел Z={0; 1; ; 2; ; 3…; n,…,где n N}, N Z

Операция деления приводит к рассмотрению рациональных чисел, представленных в виде дробей

, m Z, n N

Множество рациональных чисел Q={ , m Z,n N}, – несократимая дробь.

Целые числа также представляются в виде дробей m= = , где n=1, Z Q

Измерение отрезков приводит к числам, не являющихся рациональными. Например, диагональ квадрата со стороной 1 = - иррациональное число. Множество иррациональных чисел ( числа, не являющиеся рациональными)

Множество вещественных чисел

R = Q ( рациональные и иррациональные)

Числовая ось – прямая на которой выбрано начало отрезка (т.О), масштаб ( отрезок ОЕ) и положительное направление ( от О к Е). Любому рациональному числу соответствует точка на числовой оси. Рассмотрим числа х= . Найдем точку, ему соответствующую. Разобьем отрезок ОЕ на n частей и отложим одну часть ( ) m раз вправо

Влево – отрицательные числа

Обратное утверждение верно. Не всякой точке числовой оси соответствует рациональное число. Если от т.О отложить диагональ квадрата со стороной 1, то получим точку, которой не соответствует рациональное число. Существует процедура измерения отрезка, которая позволяет любой точке числовой оси поставить в соответствие бесконечную десятичную дробь.

, , …

«+» - если точка справа от О; «-» - слева

Множеством R вещественных ( действительных) чисел называется множество бесконечных дробей вида , , …

Рациональные числа – бесконечные периодические десятичные дроби 1/2 = 0, 50000…= 0,5(0) –формально

1/2 = 0,4999… = 0,4(9) измерение отрезков

Иррациональные числа- бесконечные непериодические десятичные дроби. П=3,14157… е=2, 7182818284590…

Ограниченные и неограниченные числовые множества, точные верхние и точные нижние грани множеств; теорема о существовании точной верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) множества.

Пусть Х – некоторое множество вещественных чисел.

Множество Х называется ограниченным сверху(снизу), если найдется такое вещественное число М (m), что каждый элемент х из множества Х удовлетворяет первому:

х М, х М, х Х

Число М –верхняя грань множества Х, m- нижняя грань множества Х.

Если множество ограничено сверху, то у него бесконечное множество верхних граней ( если снизу, то бесконечное число нижних).

Если М – верхняя грань, то любое число М – верхняя грань

Пример:

1. Множество натуральных чисел N={1;2;3;4;…,n,…} ограничено снизу. Нижние грани все числа m 1

2. Множество отрицательных чисел ограничено сверху. Верхние грани: М – любые неотрицательные числа.

*Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества Х называется его точной верхней гранью и обозначается = sup x (supremum – наивысший).

*Наибольшая из нижних граней ограниченного снизу множества Х называется его точной нижней гранью и обозначается = inf X (infimum – наинизший).

Пример: 1) х = inf N = 1;

2) sup x = 0, x – отрицательные числа

Теорема:

Если множество вещественных чисел Х не пусто и ограничено сверху (снизу), то найдется такое вещественное число ( ), которое является его точной верхней ( точной нижней) гранью.

Числовые последовательности: понятие числовой последовательности, операции над последовательностями. Ограниченные и неограниченные последовательности. бесконечно большие последовательности; примеры.

Если каждому натуральному числу n ставится в соответствие некоторое вещественное число , то занумерованное множество , … называется числовой последовательностью и обозначается { }.

Числа - элементы последовательности.

Операции над последовательностями:

Пусть заданы последовательности { } и { }

Суммой (разностью) последовательностей { } и { } называется последовательность { } с элементами ; …

Произведение последовательностей { } и { } – последовательность { }: ; …

Частное последовательностей { } и { } – последовательность : ; … ,

Последовательность { } называется ограниченной сверху (снизу), если найдется вещественное число M (m) такое, что каждый элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству: M, m, { } ( M – верхняя грань, m-нижняя грань).

Последовательность { } называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, т.е. найдутся такие числа M и m, что каждый элемент этой последовательности удовлетворяют неравенству: m M, { } (1)

Обозначим А=max { , } (2)

Тогда неравенство (1) можно переписать в виде A – форма записи условия ограниченности последовательности. Формулу (2) можно записать в виде –А А, которой эквивалентна формула (1).

Последовательность { } называется неограниченной, если для любого положительного числа А найдется элемент этой последовательности, для которого А. (3)

Примеры:

1) -1; -4; -9, … - – ограничена сверху. Множество верхних граней М -1

2) { }: 1; ; , … - ограничена и сверху, и снизу (сверху: числа М 1; снизу: числа m 0)

3) 1; 2; 1; 3; 1; 4 … 1, n, n+1… - не является ограниченной , но ограничена снизу числами m 1

Последовательность { } называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А можно указать номер N такой, что при n N все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству: А

1;2; 1; 3…..1, n, … является неограниченной, но не является бесконечно большой, т.к. для номеров с нечетными номерами условие А не выполняется.

Пример: последовательность 1, 2, 3, 4, …, n, - бесконечно большая.