Обчислення координат витягнутого полігонометричного ходу

Строгим методом

и о	Кути повороту (ліві) (3	Дирекцій-ні кути ОС	Виміряні довжини S, м	Зрівнова­жені довжини S3e,M	Прирости координат (наближені)	Зрівноважені прирости координат
О 1 II	О t Н	Ах = S cos a	Ду =5е sin а	S„cosa,	SMsmae
і
		10138 46
	-2
	104 12 45
	+6,5	+6,5	-2,8
	-2	25 51 29	423,678	423,6752	+381,258	+184,784	+381,249	+184,795
	18132 13
	+4,3	+10,8	... 2.5
	-2	27 23 40	366,123	366,1205	+325,066	+168,458	+325,055	+168,474
	174 18 00
	+2,4	+ 13,2	-2,8
	-2	2141 38	412,725	412,7222	+383,493	+152,563	+383,481	+152,586
	188 17 49
	+0.3	+13,5	-1,7
	-2	29 59 25	248,645	248,6433	+215,354	+124,286	+215,344	+124,299
	173 28 42
	-1.0	+12,5	-1,4
	-2	23 28 05	207,548	207,5466	+190,380	+82,653	+190,374	+82,664
	180 02 40
	-2,0	+10,5	-1,1
	-2	23 30 43	156,267	156,2659	+143,293	+62,341	+143,289	+62,348

Розділ II

					Продовження табл. II. 8.3
	184 15 11
	. -2,8	■+■7,7	-1,0
	-3	27 45 52	138,117	138,1160	+122,216	+64,478	+122,213	+64,482
	178 42 31
	-3.6	+4.1	-0,7
	-3	26 28 20	107,485	107,4843	+96,215	+47,913	+96,213	+47,915
	123 08 12
	. 4,1	0.0
		329 36 29

Кінцеві (точні) координати				Формули допоміжного обчислення
хт	YT
+212,421	+7835,154		-1262
+593,670	+8109,949	+424	-838
+908,725	+8188,423	+790	^68
+1302,206	+8341,099	+1203	-59
+1517,550	+8465,308	+1451	+189
+1707,924	+8547,972	+1659	+397
+1851,213	+8610,320	+1815	+553

Планові геодезичні мережі

Закінчення табл. II.8.3

+1973,426	+8674,802	+1953	+691
+2069,639	+8722,717	+2060	+799

11.8.9. Суть параметричного методу зрівноваження геодезичних мереж

Рис. 11.8.6. До пояснення суті зрівноваження лінійної засічки параметричним методом

Суть такого зрівноваження розглянемо на прикладі багаторазової лінійної засічки (рис. ІІ.8.6). Нехай 1, 2, 3 та 4 - вихідні пункти, тобто пункти з відомими координатами X_t ,Y_t. Ці пункти не отримають поправок у результаті зрівноваження. Для визначення координат точки Р виміряні довжини ліній d_x, d₂, d₃,d₄. Відомі також середні квадратичні похибки вимірів цих ліній т_і (і= 1, 2, 3, 4). Кінцеве завдання - визначити найімовірніші значення координат пункту Р (Xp,Y_P).

Розділ II

Під час параметричного зрівноваження параметрами зазвичай приймають саме координати пунктів, які потрібно визначити. Отже, у нас це Х_Р та Y_P. Проте для визначення координат пункту Р достатньо виміряти дві віддалі, на­приклад, d_x та d₂ . Отже, в нашому прикладі два надлишкові виміри с/₃ та d₄.

Зв'язок виміряних віддалей з координатами пункту Р можна записати в такому вигляді:

d_i = Щ -Х_Р)²+ & - Y_P)²]^1/2 . (П.8.69)

Таких рівнянь відповідно до рис. П.8.6 можна записати чотири. Оскільки

невідомих величин тільки дві -Х_Р та Y_P, то задача має шість розв'язків.

Справді, можливі шість комбінацій по дві лінії. Тому отримаємо по шість

значень Х_Р та Y_P.

Потім достатньо визначити середнє вагове з них. Проте зрівноваження виконується іншим способом: за двома довільними лініями знаходять наб­лижене значення координат Х_Р t&Y_p, а потім визначають найімовірніші поправки до наближених координат. Розглянемо цей метод детальніше.

У загальному вигляді (під час зрівноваження деякої кількості t пара­метрів) вираз (П.8.69) запишеться так:

(П.8.70)

де T_t - зрівноважені значення шуканих параметрів (координат); dj-зрівноважені значення виміряних величин (у нашому випадку ліній).

Рівняння системи (П.8.70) називають параметричними рівняннями зв'язку.

Замінивши зрівноважені значення d_i на виміряні d_t з шуканими поправ­ками V,, матимемо:

d,=d,+V,. (II.8.71)

Далі із системи (П.8.70) та (П.8.71) знайдемо формули для визначення поправок v_;-:

У!=вд,г₂,...,7;)-4

v₂=F₂(T_l,T₂,...,T_t)-d₂

(П.8.72)

Планові геодезичні мережі

Рівняння (ІІ.8.72) називають рівняннями поправок у загальному вигляді. Задача зрівноваження складається із знаходження поправок v_;- (/= 1, 2,

..., п) та параметрів

Для розв'язання системи (ІІ.8.72) приведемо функції F_t до лінійного вигляду, розклавши їх у ряд Тейлора, обмежившись першими членами розкладу. Це можливо, якщо попередньо відомі наближені значення параметрів

Ті . У нашому прикладі, як уже відзначалося, за наближені значення пара­метрів можна прийняти значення координат, визначені за однією парою виміряних віддалей. Тоді:

(ІІ.8.73) Позначимо часткові похідні

Тоді отримаємо систему (II.8.72) в лінійному вигляді:

(И.8.74) Оскільки відомі значення виміряних величин d_t та наближені значення

параметрів , тобто відомі функції то, останні два члени

рівняння (П.8.74) приймемо як вільні члени:

(П.8.75)

Підставивши вирази (П.8.74) та (П.8.75) в (ІІ.8.72), одержимо парамет­ричні рівняння поправок у лінійному вигляді:

V] = aj87j + 6,5Г₂ + ■•• + t_xbT_t +/,з вагою Р_х

V-, =а-,8Т, + Ь-,ЬТ-, +... + ґт8Г, +U звагою В,

(II. 8.76)

v„ = а„57] + Ь„ЬТ₂ +... + t_nbT_t + /„ з вагою Р_п Як відомо, істинна похибка вимірювання А_; характеризується тією самою вагою, що й результат вимірювання, тільки поправка v, = -А,, тому можна вва­жати, що будь-яка поправка V, в системі рівнянь (П.8.76) має вагу, яка дорівнює вазі відповідного виміру d,, який знаходять за формулою

Розділ II

Р^/щ², (ІІ.8.77)

де \і - середня квадратична похибка одиниці ваги; щ— середня квадратична похибка результатів вимірювання.

Проте система (II.8.76) має нескінченну множину розв'язків, оскільки маємо п рівнянь та (n+t) невідомих. Тому застосуємо принцип найменших квадратів і позначимо

(ІІ.8.78)

Для визначення мінімуму функції Ф необхідно знайти похідні цієї функції за всіма аргументами v_;, тобто за 8Г , та прирівняти їх до нуля.

Часткова похідна функції Ф за першим параметром 87J буде мати вигляд:

(П.8.79)

Звідси отримаємо

(П.8.80)

Далі визначимо часткову похідну функції Ф за другим параметром ЬТ₂ :

(П.8.81)

За аналогією знайдемо часткові похідні за всіма параметрами 8Tj, та, ввівши позначення Гаусса, запишемо:

(II. 8.82)

Система (II.8.82) є системою нормальних рівнянь розміром txt, симет­ричною щодо діагоналі D D'. На цій діагоналі розташовані квадратичні кое­фіцієнти, які завжди додатні. Неквадратичні коефіцієнти розміщені симетрично відносно головної діагоналі.

Планові геодезичні мережі

Розв'язавши систему нормальних рівнянь (ІІ.8.82), знайдемо поправки 5Г до попередніх (наближених) значень шуканих параметрів та отримаємо

зрівноважені значення параметрів (координат). Потім знайдені значення 5Tj підставимо в систему рівнянь поправок (ІІ.8.76). Визначимо поправки у виміряні величини d_i і, нарешті, знайдемо зрівноважені значення довжин d_i за (ІІ.8.71).

11.9. Зрівноваження полігонометричних мереж

11.9.1. Зрівноваження полігонометричної мережі, що збігаються в одну вузлову точку

Найпростішою полігонометричною мережею є мережа із трьох ходів, що сходяться в одну вузлову точку. Раніше була розглянута висотна мережа, яка також складалася із трьох нівелірних ходів, що збігались в одну вузлову точку. Проте раніше ми визначали зрівноважене значення висоти вузлової точки. У цьому випадку ми повинні визначити зрівноважені значення координат вузлової точки.

Рис. 11.9.1. Схема полігонометричної мережі із трьох ходів, що збігаються в одну вузлову точку

В основу такого зрівноваження, як у разі визначення висот, так і у разі визначення координат вузлової точки чи дирекційних кутів ліній, що виходять із цієї точки, покладено ваги ходів. Проте зрівноваження полігонометричних мереж має певні особливості, й ми детально його розглянемо.

Розділ II

До того ж зауважимо, що на виробництві зрівноважують полігоно-метричні мережі окремо (окремо кути, окремо прирости координат), тобто використовують наближені методи. Тільки для зрівноваження окремих ходів застосовують строгі методи. Якоюсь мірою це правильно, оскільки координати вузлових точок визначають як середні вагові, тобто як зрівноважені.

Нехай маємо полігонометричну мережу, зображену на рис. П.9.1. Формули для визначення ваг дирекційних кутів та приростів координат записані на рисунку. Зрівноваження будемо виконувати у такій послідовності:

1. Спочатку визначимо середнє вагове значення дирекційного кута однієї
з ліній, що виходить із вузлової точки М . Візьмемо лінію MN і визначатимемо

її дирекційний кут . Ваги дирекційних кутів Ра. обернено пропорційні

до кількості кутів (у ході). Врахуємо, що в ходах вимірювались ліві кути, і крім того, для ходу 1 кількість кутів дорівнює «] +1 («j - кількість ліній цього ходу);

межуючий кут цього ходу Pj. Для ходу 2 визначається не , а

(обернений дирекційний кут); під час визначення останнім вико-

ристовується кут Р₃> ДО^{51 Х}°ДУ 2 кількість кутів дорівнює кількості ліній п_г цього ходу. Для ходу 3 межуючим є сумарний кут, що дорівнює . Отже,

середнє вагове значення дирекційного кута визначимо за формулою

(П.9.1)

2. Знайдемо кутові нев'язки ходів

(ІІ.9.2)

3. Виміряні кути Р, виправляються поправками. Суми поправок у кути

будь-якого ходу повинні дорівнювати нев'язці цього ходу, взятій з оберненим знаком:

Планові геодезичні мережі

4. Переходимо до зрівноваження координат. Розглянемо зрівноваження
тільки абсцис. Зрівноваження ординат виконується аналогічно. Знайдемо
середнє вагове значення абсциси точки М. Ваги ходів обернено пропорційні до
довжини ходів.

(ІІ.9.3)

5. Після визначення X_м та Y_M вузлової точки мережа розділяється на
три незалежні ходи, які врівноважуються окремо строгим або спрощеним
методом.

11.9.2. Зрівноваження полігонометричної мережі способом послідовних наближень

Рис. 11.9.2. Полігонометрична мережа з п'яти ходів, що створюють дві вузлові точки

Розглянемо такий спосіб на конкретному прикладі. Припустимо, ми маємо мережу з п'яти ходів, що створюють дві вузлові точки М та N (див. рис. ІІ.9.2). Необхідно знайти ймовірні координати точок М та N способом послідовних наближень. Для стислості будемо виконувати визначення тільки Х_м та X_N. Ординати Y_M та Y_N знаходять аналогічно. Припустимо, що Х_м та X_N вже знайдені. Тоді для кожного ходу можна скласти рівняння похибок. Цим рівнянням припишемо ваги як величини, обернені до довжини ходів.

Розділ II

X_M-(x_A-[AX\) = V_x X_M-(X_B+[AX]₂) = V₂ X_M-(X_N-[AX\) = V₃} X_N-(X_C-[AX]₄) = V₄

X_N-(X_D+[AX]₅) = V₅

Як відомо, коли ці рівняння розв'язувати за додаткової умови [PFF] = min, то це приведе до нормальних рівнянь, які у скороченому вигляді при двох невідомих (Х_м та X_N) запишуться так:

(11.9.5)

У (ІІ.9.5) щ - коефіцієнти при першому невідомому (при Х_м); у рів­няннях похибок (ІІ.9.4), тобто a_t = 1; своєю чергою, b_t- коефіцієнт при другому невідомому (приХд,); у цих самих рівняннях похибок (П.9.4) b_t= 1. Відомі частини рівнянь похибок, взяті в круглі дужки, позначені /,. Наприклад,

- ваги ходів.

Підставимо в перше нормальне рівняння системи (ІІ.9.5) значення a_t та /, і запишемо це рівняння в розгорнутому вигляді. Отримаємо:

(П.9.6)

Розв'яжемо (ІІ.9.6) відносно невідомого Х_м . Матимемо:

(ІІ.9.7)

(Х_А-[ЬХ\)-Р_х+(Х_В+[ЬХ]₂\Р₂+{Х_М-[АХ\)-Р_г

Аналізуючи (П.9.7), зауважимо, що Х_м знаходять як середнє вагове з

трьох ходів, які збігаються в одну вузлову точку. Аналогічне рівняння ми вже отримали раніше під час зрівноваження мережі з однією вузловою точкою (рівняння ІІ.9.3). Тому для знаходження ймовірної абсциси точки N-X_N запишемо аналогічно:

(х_с-[АХ]₄)-Р₄+(х₀+[АХ]₅)Р₅+(х_м+[АХ]_г)Р_і

(П.9.8)

Планові геодезичні мережі

Розглядаючи (II.9.7) та (ІІ.9.8), бачимо, що в цих рівняннях невідомі (тобто Х_м та X_N) є в лівій та у правій частинах. Тому їхнє безпосереднє розв'язання неможливе. Але ці рівняння можна розв'язати методом наближень (ітерації). Щоб знайти значення абсциси цієї точки з першого наближення Х_мх,

підставимо у (П.9.7) замість невідомого X_N наближену абсцису цієї точки, знайдену з ходу 4 (можна з ходу 5):

(П.9.9)

Тоді, розв'язавши (П.9.7), знайдемо Х_т - значення абсциси точки М з першого наближення.

Далі, у рівняння (ІІ.9.8) підставимо Х_М], знайдемо Х_т, тобто визначимо X_Nl з першого наближення. Маємо Х_т та Х_т з першого наближення. Переходимо до другого наближення. Для обчислення Х_М2 в (П.9.7) підставляємо значення X_Nl, а для обчислення X_N2 підставляємо в (11.9.8) Х_М2 ■ Достатньо 3-4 наближень. Коли , а , тобто коли

значення абсцис в останньому і -му наближенні такі самі, як і в попередньому (і -1) наближенні, ітерацію зупиняють.

Аналогічно знаходять кінцеві ординати цих точок Y_M та Y_N. Після цього

мережа розпадається на п'ять незалежних ходів, кожний з яких врівно­важується, як звичайно.

11.9.3. Зрівноваження полігонометричної мережі методом еквівалентної заміни

Розглянемо, як урівноважуються цим методом горизонтальні кути. При­рости координат врівноважуються аналогічно.

Нехай маємо мережу з п'яти ходів із двома вузловими точками, показану на рис. П.9.3. Дужками на рисунку показано горизонтальні кути.

На вузлових точках М та N вибрані напрямки (М - М') та (N - N'),

•~ • • (М) (N)

шукані дирекщині кути яких позначені oc^v ' та tf '.

В усіх ходах мережі виміряні ліві кути, якщо рухатися від вихідних тріангуляційних пунктів (показаних на рисунку трикутниками) у напрямку до вузлових точок М або N. Ваги ходів обчислені як величини, обернені до кількості кутів у ходах:

(П.9.10)

Розділ II

Рис. 11.9.3. До зрівноваження кутів мережі з п'яти полігонометричних ходів, що сходяться у дві вузлові точки

Суми виміряних кутів [(З]. також показані на рисунку. Замінимо ходи 1 та

2 еквівалентним ходом. За визначенням вага еквівалентного ходу дорівнює сумі

ваг ходів, які замінені еквівалентним ходом:

(П.9.11) Під час зрівноваження далі будемо дотримуватися такої послідовності: 1. Визначимо дирекційний кут лінії (М - М') з еквівалентного

ходу 1,2:

(П.9.12)

Р₁₊Р₂ У (ІІ.9.12), оскільки виміряні ліві кути (див. рисунок), то:

2. Знайдемо кількість кутів в еквівалентному ході 1,2. Відповідно до (П.9.10) маємо:

(П.9.13)

3. Знайдемо значення дирекційного кута лінії (N - N') з трьох ходів, тобто з першого, другого (точніше, з еквівалентного) та третього ходу:

«і,2 з = «і? + [Рз ] -180- (/і +1),. (П.9.14)

Планові геодезичні мережі

4. Визначимо кінцеве значення дирекційного кута лінії (N — N') з усіх
ходів (з еквівалентного, третього, четвертого та п'ятого):

(П.9.15)

ДЄ

(ІІ.9.16)

5. Маючи кінцеве (найточніше) значення дирекційного кута а' ' лінії
[N - N'), можемо надалі знайти кутові нев'язки та у ходах 4 та 5:

(ІІ.9.17)

(ІІ.9.18)

6. Підрахуємо сумарну кутову нев'язку, що припадає на еквівалентний
та третій ходи:

(П.9.19)

7.Розділимо цю нев'язку і підрахуємо окремо нев'язки, що припадають на еквівалентний та третій ходи. Нев'язка припадає на кількість кутів

(w + l)j ₂ +(п■'+1)₃. Звідки неважко здогадатися, що:

(ІІ.9.20)

(П.9.21)

Формула (П.9.21) визначає нев'язку у третьому ході. Знаючи , кути

третього ходу, можна зрівноважувати, вводячи поправки у виміряні кути, як в окремому, незалежному ході. Формула (ІІ.9.20) визначає нев'язку еквівалент­ного ходу 1, 2.

8. Оскільки завжди кутову нев'язку можна знайти, як різницю між по­переднім (наближеним) значенням й остаточним (кінцевим) значенням дирекційного кута, то для еквівалентного ходу 1, 2 запишемо:

(ІІ.9.22)

Розділ II

9. Розв'язуючи рівняння (П.9.22) щодо невідомого сс , отримаємо
формулу для обчислення кінцевого значення дирекційного куга лінії

(П.9.23)

Значення fa визначаємо за (ІІ.9.20), а значення а| ₂' - за формулою (ІІ.9.12). Праві члени формули (П.9.23) відомі. Отже, за (П.9.23) знайдемо

сс ' - кінцеве значення дирекційного кута лінії М - М .

10. Знайдемо, нарешті, нев'язки в початкових ходах 1 та 2:

(П.9.24)

(П.9.25)

У результаті виконання дій задана мережа розділена на п'ять незалежних ходів з відомими кутовими нев'язками, кожний з ходів врівноважується як незалежний.

11.9.4. Зрівноваження кутів полігонометричної мережі методом професора В.В. Попова

Як вже відзначалося, професор В.В. Попов удосконалив наближений метод зрівноваження порівнянням нев'язок суміжних полігонів. Зрозуміло, що такий метод (метод порівняння нев'язок) придатний як для зрівноваження висотних, нівелірних мереж, так і для зрівноваження теодолітних та полігонометричних мереж. Удосконалення В.В. Попова привели до створення ним строгих методів зрівноваження геодезичних мереж. Метод В.В. Попова дає змогу, насамперед, підрахувати кількість кутів у ходах межуючих полігонів. На рис. П.9.4 показана мережа з трьох полігонів. Хід A-D є суміжним з першим та третім полігонами. Виникає запитання: скільки у цьому ході кутів? В.В. Попов міркував приблизно так: кут створюється двома напрямками; але кожна лінія ходу також має два напрямки: прямий та зворотний. Кут при точці А в першому полігоні двома напрямками входить в полігон І і, одночасно, одним напрямком (напрямок AN ) в полігон III. Напрямок NA - другий напрямок цієї лінії. Отже, напрямки AN та NA також можна розглядати як кут. Тому у суміжних ходах стільки кутів, скільки ліній.

Справді, два напрямки AN та NA створюють один кут, а інші два напрямки -Ж>та DN - другий кут. Отже, в ході AD два суміжні кути, в ході BD (абоDB) один - суміжний кут. У ході CD (абоDC) два суміжні кути. Це,

Планові геодезичні мережі

здавалося б, просте міркування, дає змогу складати нормальні рівняння корелат безпосередньо на основі схеми мережі і виконати строге зрівноваження кутів.

Рис. 11.9.4. Зрівноваження кутів мережі полігонів полігонометріїметодом професора В. В. Попова

Позначимо корелати - поправки в один кут першого полігона/Tj, в один кут другого полігона К₂, третього полігона К^. Тоді можемо записати:

+1К_Х-К₂-2К₃ -30' = 0

(П.9.26)

-2К_Х -2К₂ + 6К₃+24" = 0\ Розв'язавши цю систему, знайдемо корелати К_х = (+4"), К₂ = (+2), К_г = (-2). Зовнішні ходи отримають поправки, відповідно, в першому полігоні (+4), у другому - (+2), у третьому - (-2). Кут А в полігоні І (два напрямки кута входять в полігон І, одночасно один із цих напрямків входить в полігон III) одержить поправку

Кут А у полігоні III: Аналогічно, у точці В . Полігон І: Полігон II:

Розділ II

Так само у точці С , полігон II:

Полігон III:

Знайдемо поправки у кути в точці N.

На ланку AD :

На ланку DA :

Визначимо поправки у кути при точці М .

На ланку CD:

На ланку DC:

Залишається знайти поправки на три кути при точці D.

Кут у точці D у полігоні І:

Кут у точці D у полігоні II:

Кут у точці D у полігоні III:

Контроль правильності обчислення поправок: \V_t ] = -fa .

11.9.5. Зрівноваження приростів координат полігонометричних мереж методом професора В.В. Попова

Нехай маємо ту саму мережу з трьох полігонів. У прямокутних рамках подано нев'язки полігонів f_x та f_Y у метрах. У кружках подано довжини ходів

у кілометрах.

(х) їх) (х) Позначимо jSTj , Щ , Щ - поправки у прирости абсцис АХ на 1 км

(у)

ходу відповідно для першого, другого та третього полігонів. Аналогічно Щ ,

(Y) (Y)

(ІІ.9.27)

К\ , КІ — поправки у прирости ординат AY також на 1 км ходу. Складемо нормальні рівняння корелат для зрівноваження приростів АХ

Планові геодезичні мережі

Рис. 11.9.5. Зрівноваження приростів координат мережі полігонів полігонометрії способом професора В. В. Попова

Нормальні рівняння корелат для зрівноваження приростів AY будуть відрізнятися тільки вільними членами та позначеннями корелат

AK.\^Y) - К^{/^] - 0, №% ⁾ + 0,22 = 0

(П.9.28)

Розв'язавши системи рівнянь (ІІ.9.27) та (П.9.28), знайдемо поправки

, КУ"^;, К^"' та КУ ', КУ ', КУ ' у прирости абсцис та ординат на 1 км

зовнішніх ходів мережі. Поправки у прирости координат на окремі ходи обчислюють у відомості (табл. П.9.1). У цій відомості подані буквені вирази для визначення поправок на окремі ланки (ходи), з яких складаються полігони.

У відомості позначено відповідно щ , п₂, щ - довжини зовнішніх ходів (ланок) АВ, ВС та СА у кілометрах; п_{х 3}, «₂1 > ^пгі ~ довжини суміжних ланок

AD, BD, CD в кілометрах. У стовпчики 2 і 3 вписують числові значення поправок у метрах.

Контроль правильності введення поправок у прирости координат виконується за сумами поправок в окремі ходи, що створюють полігони: суми цих поправок повинні дорівнювати відповідним нев'язкам та цих

полігонів, взятих з оберненими знаками.

Розділ II

Таблиця П.9 Л Відомість обчислення поправок у прирости координат на окремі ходи (ланки)

11.9.6. Оцінка точності полігонометричних ходів та мереж за результатами зрівноваження

Раніше, під час попереднього опрацювання результатів польових вимірю­вань, ми виконували оцінку точності лінійних та кутових вимірювань полігонометрії за нев'язками, тобто за результатами польових робіт. Проте достовірнішою є оцінка точності кутових та лінійних вимірювань за результа­тами зрівноваження на основі поправок у кути Va. та лінії V_s..

Для оцінки точності зрівноважених кутів та ліній скористаємося узагаль­неною формулою Бесселя. Для кутів:

(П.9.29)

Для ліній:

(П.9.30)

де л - кількість усіх ходів; к- кількість вузлових точок. Різниця (n — к) дає кількість надлишкових вимірювань у мережі. При цьому, як відомо, кути

Планові геодезичні мережі

вважаються рівноточними, а лінії - нерівноточними. Ваги ліній можна виз­начити за формулою

якщо похибки m_s відомі. В іншому разі для визначення ваг оцінюваних вели­чин необхідно кожну з них подавати у вигляді функції результатів вимірювання

Тоді вагу P_t знайдемо за відомою формулою

іЧІ-, (ІІ.9.31)

dd_t)P_d

Оцінку точності результатів вимірювань за результатами зрівноваження вважають надійнішою, тому що на таку оцінку впливають як випадкові, так і систематичні похибки вимірювань, тоді як на нев'язки, отримані за резуль­татами польових вимірювань, часто не впливають або менше впливають деякі систематичні похибки, характерні для усього масиву кутових та лінійних вимірювань.

РОЗДІЛ III. ПРОСТОРОВІ СУПУТНИКОВІ МЕРЕЖІ (ОСНОВИ СУПУТНИКОВОЇ ГЕОДЕЗІЇ)

111.1. Будова та принцип роботи геодезичних супутникових систем

///. 1.1. Принцип роботи систем визначення просторового положення точок

Більшість високоточних приладів наземної геодезії (теодоліти, нівеліри, світловіддалеміри, тахеометри тощо) удосконалені завдяки вдалим технічним рішенням та продуманим технологіям їхнього використання. Проте майже всі вони використовують оптичний діапазон електромагнітних хвиль.

Це, по-перше, спричинило певні недоліки, наприклад: необхідність під час вимірювання не тільки прямої (геометричної), але й оптичної видимості між пунктами; певні складності цілодобових спостережень; неможливість безпе­рервних моніторингових спостережень та багато інших.

Другою особливістю традиційного геодезичного вимірювання є значне поширення вимірювання кутів, хоча сучасні світловіддалеміри забезпечують вищий рівень точності. Крім того, наземне вимірювання виконується у про­шарках високодинамічної атмосфери, що істотно ускладнює вимірювання і знижує потенціальний рівень точності.

Альтернативний підхід до геодезичного вимірювання на принципово іншій основі проявився у застосуванні просторових методів вимірювань із використанням миттєвого положення штучних супутників Землі як точок із відомими координатами. Засновані на такому принципі вимірювальні комплекси отримали назву глобальних систем позиціонування, початковим призначенням яких було розв'язання навігаційних задач.

Проте подальші дослідження показали, що завдяки приладному та програмному забезпеченню такі системи можуть бути використані для роз­в'язання широкого кола геодезичних задач та різко підвищити продуктивність та точність вимірювань.

Під час вибору найефективнішого діапазону електромагнітних хвиль враховувалось те, що ці системи повинні забезпечити виконання вимірювання під час будь-яких погодних умов. Дослідженнями встановлено, що саме таким є ультракороткий діапазон радіохвиль.

Ще одна особливість супутникових віддалемірних систем - те, що вони повинні уможливити одночасне забезпечення вимірювання віддалі між незнач-

Просторові супутникові мережі (основи супутникової геодезії)

ною кількістю супутників та необмеженою кількістю станцій, що розміщені на земній поверхні. Під час створення масової портативної апаратури доцільно унеможливити двосторонній обмін інформацією, як це прийнято під час наземного вимірювання, тобто вимкнути радіопередавальні пристрої, що мали б входити до складу апаратури користувача. Ця вимога визначила необхідність застосування одностороннього методу вимірювання довжин і значно спростила будову наземних та супутникових приладів. Головна особливість односто­роннього методу вимірювання у тому, що передавальний пристрій встановлено на супутнику, а приймальний - на наземному пункті. Інформаційний сигнал проходить тільки в одному напрямку, а саме від супутника до приймача [2]. В основу цього методу покладена проста функціональна блок-схєма (рис. III. 1.1). З рисунка видно, що інформаційний сигнал справді проходить віддаль S тільки в одному напрямку. Якщо миті випромінювання та приймання цього сигналу зафіксовані точно синхронізованими годинниками, які встановлені на супутнику та наземному пункті і які реалізуються на основі відповідних високостабільних опорних генераторів, то віддаль S може бути визначена за формулою

(Ш.1.1) де с - швидкість ЕМХ; т - визначений час проходження віддалі сигналом.

Формула (Ш.1.1) аналогічна до відомої нам формули імпульсних наземних світловіддалемірів:

(III. 1.2)

Множник — у (Ш.1.1) відсутній, оскільки сигнал проходить віддаль S один раз. Оскільки ЕМХ за одну наносекунду (1нс = 11(Г⁹с) проходять

Розділ III

віддаль близько ЗО см, то для забезпечення сантиметрового рівня точності необхідно синхронізувати годинники на супутнику та на приймачу до сотих часток наносекунди. Але сучасний рівень техніки поки що не дає змоги цього зробити. Тому необхідно враховувати асинхронність цих годинників, що ускладнює розв'язання задачі і вимагає одночасного вимірювання віддалей від точки на поверхні Землі (координати якої визначаються) до чотирьох супутників, як мінімум. Зауважимо, що віддалі, виміряні без урахування синх­ронізації годинників, називають псевдовіддалями.

Вимірювання супутникової геодезії ґрунтується переважно на використанні глобальної позиційної системи GPS (Global Positioning System), що останнім часом широко застосовується в усіх видах геодезичних робіт. Менш відомою є система ГЛОНАСС, запропонована Росією.

Супутникова геодезія зарекомендувала себе цілою низкою кардинальних переваг перед наземною геодезією. Найважливіші з них:

• зникла необхідність будувати зовнішні геодезичні знаки;

• з'явилася можливість об'єднати планові і висотні пункти геодезичних мереж, оскільки система GPS дає одночасно просторове положення цих пунктів;

• значно коротший час, необхідний для отримання кінцевих результатів;

• можливість повнішої автоматизації вимірювання;

• значне зменшення вартості робіт.

GPS-вимірювання використовують не тільки для встановлення положення пунктів геодезичної основи, топографічного та кадастрового знімання, інженерної геодезії, але й в геодинамічних дослідженнях, для визначення таких важливих параметрів геодинаміки, як рухи полюсів нашої планети, стабільності обертових рухів Землі та інших параметрів.

Усе вищесказане та, особливо, висока точність GPS-вимірювання є причиною того, що "Основні положення створення державної геодезичної ме­режі", затверджені Постановою Кабінету Міністрів України від 8 червня 1998 р. № 8441, передбачають створення нових та оновлення наявних мереж сучасними радіонавігаційними системами (GPS) та комп'ютерними технологіями. Допускається застосування традиційних геодезичних методів. Проте традиційні методи вже нездатні конкурувати з методами космічної геодезії. Щоправда, поки що таку конкуренцію витримує високоточне геометричне нівелювання, яке, до того ж, ще необхідне для визначення геоїда.

Просторові супутникові мережі (основи супутникової геодезні)

111.1.2. Найважливіші відомості про будову глобальних навігаційних систем

Глобальна позиційна система GPS спроектована і сконструйована міністерством оборони США. Уряд США витратив понад 12 мільярдів доларів на створення системи і продовжує витрачати кошти на її розвиток і підтримання в робочому стані. Повна назва системи - Navigation System with Time and Raining, Global Position System. Виділені потовщенням літери утворюють скорочену назву системи NAVSTAR/GPS. У перекладі ця назва означає: навіга­ційна система часу і віддалей, глобальна система визначення місцезнаходження. У Радянському Союзі була створена система ГЛОНАСС (глобальна навігаційна система супутників), початкова назва проекту "Ураган". Саме ці дві системи уже застосовуються в геодезії. Крім цього, Європейське співтовариство створює свою навігаційну систему GALLILEO.

Оскільки GPS-система створювалась передусім як військова, вона стійка, надійна і несприйнятлива до природних та штучних перешкод. До складу системи входять:

1. Навігаційні супутники.

2. Наземний комплекс керування.

3. Апаратура користувачів.

Отже, GPS поділяється на три блоки, які найчастіше називають сег­ментами.

Космічний сегмент. Повністю розвинутий космічний сегмент спроможний забезпечити у глобальному масштабі можливість одночасного спостереження від чотирьох до восьми супутників для кутів відсікання понад 15 градусів. Якщо цей мінімальний вертикальний кут між горизонтом і напрямком на супут­ник зменшити до 10 градусів, тоді час від часу в полі зору буде до 10 супутників, а за умови зменшення цього кута далі до 5 градусів кількість видимих супутників інколи може сягати 12. Для цього космічні апарати розташовуються на орбітах, близьких до кругових, з висотою над поверхнею Землі близько 20200 км та періодом обертання приблизно 12 зоряних (сиде­ричних) годин. Спочатку було заплановано здійснити запуск 24 супутників, які б обертались в трьох орбітальних площинах, нахилених під кутом 63° до екватора.

Пізніше космічний сегмент був скорочений до 18 супутників, які роз­ташовувались по три на кожній із шести орбітальних площин. Згодом довелось відмовитись від цієї скороченої конфігурації, оскільки вона не забезпечувала можливості цілодобового неперервного використання системи в будь-якій точці на поверхні Землі. Приблизно в 1986 р. кількість ШСЗ була збільшена до 21,

Розділ III

також по три супутники на кожній із шести орбітальних площин та три запасні супутники. Запасні супутники призначені для заміни зіпсованих "неактивних" супутників. Сьогодні планується конфігурація, що складатиметься з 24 діючих супутників, розташованих на шести орбітальних площинах, нахилених до площини екватора під кутом 55°, по чотири в кожній. Крім того, для оперативної заміни ще чотири запасні супутники є на Землі. Супутники виводяться дуже точно на свої орбіти відповідно до генерального плану розгортання системи і, оскільки на висоті 20200 кілометрів атмосферне гальму­вання практично відсутнє, залишаються на них протягом тривалого часу. Орбіти відомі заздалегідь, а у пам'яті комп'ютера кожного приймача є "аль­манах", тобто своєрідний довідник, що постійно оновлюється, з якого видно, де буде кожний супутник у будь-який момент часу.

Космічні апарати GPS фактично слугують платформами для встановлення транссенсорів (приймачів-передавачів), атомного годинника, комп'ютера та іншого устаткування, необхідного для роботи системи. Це електронне обладнання дає користувачу змогу своїм приймачем вимірювати відстань до супутника. Крім того, кожен спостерігач, завдяки інформаційному повідом­ленню про орбіти, яке кодується в сигналі із супутника, може визначити просторові координати ps супутника у довільний момент часу. Спираючись на ці дві можливості та на метод просторових засічок, користувачі можуть визначити свої координати на поверхні або поблизу Землі.

Допоміжне обладнання кожного супутника складається із двох сонячних батарей площею 7 м², які забезпечують електричне живлення, та системи реактивних двигунів, потрібних для корекції орбіти та керування орієнтацією космічного апарата у просторі.

Супутники мають різноманітні системи ідентифікації, а саме: за номером запуску, за присвоєним кожному апарату окремим псевдошумовим кодом (PRN), за номером позиції на орбіті, за номером у каталозі НАСА, за міжнародною класифікацією. Для того, щоб уникнути можливих непорозумінь та зберегти відповідність змісту навігаційного повідомлення із супутника, ми використовуємо, як правило, номер PRN.

Нині створено п'ять типів супутників GPS. їх розділяють на класи: Block І, Block II, Block НА, Block IIR, та Block IIF. Конфігурація супутників типу Block І дещо відрізняється від конфігурації супутників Block II, оскільки кут нахилу їхньої орбітальної площини до екваторіальної дорівнює 55°, тоді як до попереднього покоління він становив 63°. Крім кута нахилу орбіти, існує ще одна істотна відмінність між супутниками Block І та Block II, пов'язана з національною безпекою США. Сигнали супутників Block І могли вільно

Просторові супутникові мережі (основи супутникової геодезйі)

реєструватись цивільними користувачами, а доступ до інформації з ШСЗ наступного покоління Block II став обмеженим.

Супутники типу Block II були призначені для забезпечення першої версії повної уніфікованої системи GPS (тобто 21 активного та трьох запасних супутників). Перший із супутників типу Block II коштував приблизно 50 млн. доларів США і важив більше ніж 1500 кг. Його запуск здійснено 14 лютого 1989 р за допомогою ракети "Дельта II" яка стартувала з космодрому ім. Кеннеді, що на мисі Канаверал у штаті Флорида. Сьогодні середня тривалість функціональної здатності супутників цього типу становить шість років, хоча метою проекту було досягти семи з половиною років. Деякі із супутників можуть справно працювати навіть до десяти років, тому що їхні основні модулі функціонують упродовж такого часу.

Супутники наступного покоління, які названо Block IIF (від слова follow on - наступний), будуть запускатись у період від 2001 до 2010 р. Ці супутники обладнуються удосконаленим устаткуванням для автономної навігації, наприклад, інерціальними системами навігації.

Планується збільшити термін роботи супутника Block IIF до 14-15 років, а також увести в склад сигналів додаткову частоту L5, яка дорівнює 1176,45 МГц, що істотно полегшить визначення неоднозначності, характерне для фазового вимірювання.

Розгортання Російської системи ГЛОНАСС також проходить поетапно. Перший супутник системи (із назвою Космос 1413) був запущений 12 жовтня 1982 р. До кінця 1998 р. було запущено 74 супутники, більшість з яких уже виведені з експлуатації. У лютому 2000 р. залишилось 8 супутників.

За проектними даними у сузір'я супутників ГЛОНАСС повинні також входити 24 супутники, розташовані на трьох орбітальних площинах, нахил яких щодо площини екватора дорівнює 64,8°. Номінальна висота кругової орбіти над земною поверхнею становить 19100 км, період обертання навколо Землі 11 год 15 хв 44 с. Загальна маса супутника 1415 кг. Планується підвищити стабільність частоти генераторів, точність визначення ефемерид супутників та їхній прогноз, а також продовжити термін функціонування супутників. Проект запуску 24 супутників системи ГЛОНАСС здійснено в Росії важкими ракетами "Протон".

Технічні параметри системи NAVSTAR/GPS та ГЛОНАСС є різними. Істотною відмінністю цих систем є те, що в системі GPS усі супутники випромінюють коливання однакових частот, а в системі ГЛОНАСС кожен супутник випромінює свою частоту. Вивчається можливість одночасного використання обох систем для визначення положення наземних пунктів. Такі дослідження дуже важливі, оскільки дають змогу використати для визначення

Розділ III

пунктів більшу кількість супутників (в обох системах понад сорок ШСЗ), не кажучи вже про те, що сигнали ГЛОНАСС не спотворюються і тому ця система дає змогу отримувати вищу точність.

Країни Європейського Союзу, як уже зазначалось, планують створити свою, незалежну від США, глобальну навігаційну систему.

Принцип визначення положення наземних пунктів за допомогою глобальних систем описано у п. II. 1.1.

У США для заміни супутників, які припинили функціонувати, починаючи з 1995 р. виводять на орбіти нові супутники кораблями "Шатл". Хронометрами (основними генераторами) таких супутників є водневі лазери, стабілізація частот яких на порядок вища, ніж генераторів попередніх супутників, і становить 10"¹³. До того ж ці супутники мають засоби міжсупутникового зв'язку, які, завдяки обміну даними між супутниками та вимірюванню віддалей між ними, здійснюють автономне уточнення параметрів орбіт та автономну синхронізацію годинників.

Передавачі всіх супутників безперервно випромінюють коливання двох частот. Частоти модельовані кодами. Крім вимірювальних сигналів, передавачі передають інформацію про свою орбіту, а також про стан інших супутників системи і параметри їхніх орбіт. Супутники мають також приймачі, які приймають сигнали від основної станції сегмента керування. Ці сигнали містять інформацію про орбіту супутників. Траєкторії супутників можна коригувати з основної наземної станції керування.

Сегмент керування. Сегмент являє собою мережу наземних станцій спостереження за ШСЗ і центрів оброблення інформації. Головним завданням сегмента є стеження за супутниками з метою визначення траєкторій ШСЗ та похибок годинників на їхньому борту. Крім того, через систему керування здійснюється синхронізація годинників та оновлення даних.

Цей сегмент складається з:

• головного центра керування MCS (Master Control Station), розміщеного у місті Colorado Springs;

• основної станції керування GPS (Ground Control Station), що розта­шована на Гавайських островах;

• трьох стаціонарних станцій контролю (Monitor Station). Вони розміщені на островах Вознесіння (Ascension) у північній частині Атлантичного океану, Дієго-Гарсія в Індійському океані та Кваджалейн у північній частині Тихого океану;

• рухомих контрольних станцій.

Просторові супутникові мережі (основи супутникової геодезії)

Як бачимо, станції сегмента керування розташовані на великих віддалях одна від одної. Вони безперервно приймають коливання, які випромінюють супутники, що розміщені в одній півкулі зі станцією. Віддалі від станцій до супутників визначають через півтора секундні інтервали часу. Віддалі усереднюються для інтервалів часу 15 хв. Крім того, на станціях керування виконуються метеорологічні зондування атмосфери по вертикалі з метою визначення поправок за тропосферу. Результати опрацювання сигналів су­путників та вертикального зондування із контрольних станцій передаються до головного центра керування. Тут обчислюють ефемериди орбіт супутників та рівняння їхніх хронометрів (генераторів ШСЗ) на 12 годин наперед. Ці дані передаються на ШСЗ, а вони, своєю чергою, пересилають їх користувачам, точніше - на наземні приймачі користувачів системи GPS. Військово-картографічному агентству США підпорядковано ще п'ять станцій стеження, дані яких використовують для обчислення високоточних ефемерид супутників. Крім вищеописаних станцій, на Землі ще працюють приватні станції стеження за ШСЗ. Ці станції не керують роботою супутників, а виконують уточнення параметрів їхніх орбіт та рівнянь хронометрів (генераторів) супутників.

Сегмент користувача. Це власники приймачів сигналів ШСЗ, програмного забезпечення та комп'ютерів. Кількість приймачів системи є необмеженою, оскільки вони пасивні.

Для геодезичних вимірювань кожний споживач повинен мати мінімум два приймачі з антенами, комп'ютер та програмне забезпечення для відповідних геодезичних робіт.

Приймачі, які використовують геодезисти, виготовляють декілька фірм. Найвідоміші з них: Trimble, Ashtech (США), Leica (Швейцарія), Sercel (Франція), Sokkia (Японія). Кожна з фірм виготовляє декілька моделей, різних за точністю та ціною. Усі приймачі за кількістю частот, на яких вони здатні працювати, поділяють на дві великі групи:

• одночастотні;

• двочастотні.

Із назв цих приймачів зрозуміло, що перші приймають від супутників тільки одну частоту, а другі - дві частоти. Останні забезпечують більшу точ­ність, тому що приймання двох частот дає змогу враховувати вплив іоносфери.

Будова приймачів, методика спостережень та опрацювання результатів спостережень увесь час удосконалюються, а точність визначення положення пунктів на поверхні Землі підвищується. Найточніші способи визначення положення спочатку були призначені тільки для військових цілей.

Розділ III