Точки на поверхностях многогранников

Лекция № 4

Гранные тела

План:

Многогранники и их построение

Точки на поверхностях многогранников

Сечение многогранников плоскостью

Пересечения прямой с поверхностью многогранника

Многогранники и их построение

Геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольниками, называется многогранником.

Пирамидальные и призматические поверхности могут быть получены движением прямолинейной образующей, пересекающей ломаную линию. Проходит через вершину S – поверхность пирамидальная, если образующие параллельны – призматическая.

Элементы многогранников – это вершины, ребра, грани. Вершины являются точками пересечения ребер многогранника. Ребра – это отрезки прямых, по которым пересекаются грани многогранника. Грани – это отсеки плоскостей. Построение проекций выше названных элементов изучалось в предыдущих лекциях. Решение задач геометрического характера с точками, прямыми, плоскостями является основой для решения задач с многогранниками.

В общем случае, изображение многогранников сводится к изображению определенного числа ребер, то есть пересекающихся, параллельных и скрещивающихся отрезков прямых.

Задача на построение проекций пирамиды по заданным координатам вершин сводится к построению проекций точек по их координатам. Соединение точек, т.е. построение ребер, следует проводить с учетом видимости. Очерк многогранника всегда виден. Невидимыми будут ребра, которые располагаются за видимыми гранями многогранника. Определение видимости всех граней и ребер является непременным начальным условием решения любых задач с многогранниками.

У призмы боковые ребра всегда параллельны между собой. Параллельны также и ее основания. Поэтому одним из вариантов построения проекций наклонной призмы может являться следующий порядок.

1. Построить (по точкам) проекции нижнего основания призмы.

2. Построить проекцию одной (заданной) вершины верхнего основания.

3. Построить проекции бокового ребра, соединив отрезком соответствующие точки верхнего и нижнего оснований.

4. Построить оставшиеся проекции боковых ребер, которые будут параллельны проекциям ребра, построенного по пункту 3.

5. Построить проекции верхнего основания.

6. Оформить видимость.

У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны основанию. Отсюда следует, что, если боковые ребра параллельны некоторой плоскости проекций, то основания призмы будут перпендикулярны этой плоскости проекций.

Точки на поверхностях многогранников

Так как поверхность многогранника есть плоскость, для нахождения точки необходимо провести вспомогательную линию в грани многогранника с учётом взаимности.

Построение точек и линий на гранях многогранников аналогично построению точек и линий в плоскости. В качестве примера на рисунке 1 дано наглядное изображение призмы и пирамиды, на гранях которых построены прямые и точки: прямые BC имеют с гранями две общие точки (на ребрах), а точки A находятся на прямых, принадлежащих этим граням. На трехпроекционном чертеже показано построение точки A, принадлежащей боковой грани пирамиды и наклонной призмы, и отрезка BC, принадлежащего также боковым граням. Точка A построена с помощью вспомогательной прямой, принадлежащей грани призмы и пирамиды.

Рисунок 1