Математические основы информатики.
Теперь давайте познакомимся с формой представления информации в компьютере. Наиболее простым, надежным и экономичным способом из множества возможных оказалось так называемое «битовое» представление и хранение информации. При таком способе каждая частица запоминающей среды может иметь только два возможных состояния: ДА, НЕТ; есть напряжение – нет напряжения. Связано это с логической организацией и физическим устройством ПК, как программно управляемого автомата.
В основе работы такой системы представления информации лежит двоичная система счисления, которую мы рассмотрим подробней.
Для начала давайте запишем определение. Система счисления XE "Система счисления" – это способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения.
В зависимости от способа изображения чисел системы делятся на позиционные и непозиционные.
В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее место положения (позиции) в числе. В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их положения в числе.
Количество цифр, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы.
В хорошо нам известной с детства десятичной позиционной системе счисления для записи любого числа используются десять цифр (основание системы 10) причем каждая цифра в числе несет двойную информацию: во-первых, свое собственное значение-2;3;4…., а во-вторых, место которое она занимает в записи числа.
Рассмотрим пример числа: 1579320.
Занумеруем все разряды справа на лево, причем привычный нам разряд единиц будем считать нулевым; тогда разряд десятков будет первым, сотен вторым, тысяч третьим и так далее. Такая нумерация весьма естественна, поскольку единицы – это 10 в нулевой степени, десятки – 10 в первой, сотни – 10 во второй и т. д., то есть расположение той или иной цифры в записи числа есть не что иное, как прямое указание, какой степенью 10 его можно заменить. А само значение цифры показывает, сколько раз надо взять 10 в заданной степени. Таким образом, окончательно наше число запишется в следующем виде: 1*106+5*105+7*104+9*103+3*102+2*101+0*100 .
Теперь давайте выберем наименьшее из возможных оснований позиционной системы счисления 2 и посмотрим, как записать произвольное натуральное число при помощи суммы степеней двойки. Для записи двоичного числа используются только две
цифры 0 и 1.
Пример записи двоичного числа 101110.
Давайте запишем начало таблицы перевода:
| Десятичные | Двоичные |
| 0=0*20 1=1*20 2=1*21+0*20 3=1*21+1*20 4=1*22+0*21+0*20 5=1*22+0*21+1*20 6=1*22+1*21+0*20 7=1*22+1*21+1*20 8=1*23+0*22+0*21+0*20 9=1*23+0*22+0*21+1*20 10=1*23+0*22+1*21+0*20 |
Для перевода десятичных чисел в двоичные числа можно использовать несложный алгоритм:
1. Разделить число на 2. Зафиксировать остаток (0 или 1) и частное.
2. 
Если частное не равно 0, то разделить его на 2, и так далее пока частное не станет равно 0. Если частное 0, то записать все полученные остатки, начиная с первого, справа на лево.
A. Например, представим 23 в двоичной форме.
Получим: 10111.
Чтобы получить обратную операцию, необходимо просуммировать степени двойки, соответствующие ненулевым разрядам в записи числа.
В общем случае запись любого смешанного числа в системе счисления с основанием Р будет представлять собой ряд вида:
am-1Pm-1+am-2Pm-2+…+a1P1+a0P0+a-1P-1+a-2P-2+…+a-sP-s,
где нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд);
-положительные значения индексов – для целой части числа (m разрядов);
-отрицательные значения – для дробной (s разрядов).
В вычислительных машинах применяют две формы представления двоичных чисел:
· естественная форма или форма с фиксированной запятой (точкой).
· нормальная форма или форма с плавающей запятой (точкой).
При программировании иногда используется шестнадцатеричная система счисления. Перевод десятичных чисел в шестнадцатеричные осуществляется по тому же алгоритму, что и в двоичные, только основание деления берется 16. Для представления используются 16 символов: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15).
Вся информация в ПК представлена в виде двоичных кодов. Для удобства работы введены следующие термины, обозначающие совокупность двоичных разрядов. Эти термины обычно используются в качестве единиц измерения объемов информации, хранимых или обрабатываемых ЭВМ.