Глава 5 математическое описание и оптимизация процесса измельчния рецептурной смеси сахара и какао продуктов при производстве шоколадных масс электромагнитным способом

Наиболее полное математическое описание процессов измельчения твердых тел осуществляется в настоящее время методом экспериментально-статистических исследований. Ценность экспериментально-статистических моделей процесса, полученных на основе этого метода, заключается в том, что они, во-первых, дают информацию о влиянии факторов; во-вторых, позволяют количественно определить значения функций отклика при заданных режимах работы ведения процесса; и, в-третьих, могут служить основой для оптимизации. Целью математического описания процесса диспергирования рецептурной смеси сахара и какао электромагнитным способом являлось построение интерполяционной формулы, подтверждающей теоретические положения способа создания диспергирующего усилия с применением постоянного по знаку и регулируемого по величине электромагнитного поля, а также установление режимов работы устройства, при которых достигается оптимальное силовое воздействие и стандартизованная величина степени измельчения шоколадной массы с высокой однородностью ее гранулометрического состава.

Для описания исследуемого процесса была применена линейная модель - алгебраический полином 1-й степени.

, (5.1)

гдеY - выходной параметр процесса, в данном случае степеньизмельчения шоколадных масс,%

X₁, Х₂ ,… Х_i - независимые переменные, факторы,определяющие ход процесса.

Определение коэффициентов полинома (5.1) производится в ре­зультате факторного эксперимента, сущность которого состоит в одновременном варьировании определяющих факторов по разработанному плану.

Опыт работы кондитерских предприятий, результаты научных ис­следований, а также проведенные в работе эксперименты показали, что на процесс измельчения шоколадных масс может оказывать влияние большое количество факторов механического и технологического характера. Наличие большого количества управляемых факторов усложняет получение основных закономерностей изучаемого процесса и требует критического подхода к исследованию их влияния на процесс диспергирования в ЭММА. Выбор существенных факторов при математическом моделировании определяется постанов-кой задачи, условиями проведения эксперимента, а также состоянием теоретических предпосылок в этой области. Анализ влияющих факторов показал, что часть из них принимается строго определенной, исходя из конструктивно-технологических соображений и на основании предварительной информации. Так фиксированными механическими факторами являются: материал и размер рабочей камеры, форма, размер и материал мелющих тел, коэффициент заполнения рабочего объема обрабатываемым продуктом (главы 2, 3). В качестве фиксированых технологических факторов установлены: соотношение рецептурныхкомпонентов, содержание жира, начальный размер частиц смеси.

Представление о роли различных факторов, а также оценки "силы их влияния", полученной на основании предварительных экспериментов, позволили выделить три основных фактора, влияющих на процесс дис­пергирования шоколадных масс в ЭММА: индукция в рабочем объемеВ₀ , частота вращения внутреннего цилиндра n, коэффициент заполнения рабочего объема мелющими телами К_рэ.Таким образом, необходимо исследовать зависимость

. (5.2)

Априори определенное факторное пространство представлено в таблице 5.1.

Матрица планирования и результаты экспериментов на этих уровнях представлены в таблице 5.2.

Таблица 5.1

Наименование факторов	Уровни варьирования	Диапозон варьирования
-1		+1
Индукция в рабочем объеме B, Тл	0,3	0,35	0,4	0,05
Частота вращения внутреннего цилиндра n, с-1
Коэффициент заполнения мелющими телами Kрэ	0,31	0,33	0,35	0,02

Опыты были дублированы и рандомизированы во времени. По результатам полного факторного эксперимента рассчитаны коэффициентырегрессии и получено следующее уравнение регрессии:

. (5.3)

Таблица 5.2 -Матрица планирования и результаты экспериментов

№ опыта	Значение факторов в натуральном масштабе	Кодированные значения факторов	Результат опыта, дисперсность смеси Dδ30, %
B	n	Kрэ	X0	X1	X2	X3	X1X2	X1X3	X2X3	X1X2X3
8; 13	0,3		0,35	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	94,0
3; 12	0,4		0,31	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	90,0
11; 15	0,3		0,31	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	89,0
6; 14	0,4		0,35	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	98,5
2; 4	0,3		0,31	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	87,0
5; 7	0,4		0,35	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	96,5
1; 9	0,3		0,35	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	95,5
10; 16	0,4		0,31	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	94,0

Результаты расчета построчных дисперсий представлены в табл. 5.3.

Таблица 5.3.

Опыт	Y1	Y2	Y	∆Y	∆Y2	Sj2
						-2
			98,5	0,5	0,25	0,5
			96,5	0,5	0,25	0,5
			95,5	0,5	0,25	0,5

На основании данных таблицы 5.3:

· максимальная из рассчитанных построчных дисперсийmax S_j²=2;

· сумма всех дисперсий по N строкам матрицы планирования ;

· критерий Кохрена G_P = 2/7,5 = 0,26.

Экспериментальная величина G_P критерия не превышает табличного значения G_T =0,68 (для степеней свободы ƒ₁ = 1, общего количества оценок дисперсий ƒ₂= 8 и уровня значимости р = 0,05), а следовательно гипотеза об однородности дисперсий принимается.

Проверка значимости коэффициентов производилась для каждого коэффициента сравниванием его абсолютного значения b_i и доверительного интервала / b_i / > /Δb_i /.

Доверительный интервал Δb_i определялся по формуле Δb_i = ± t_TS_bi, (здесь t_T - табличное значение критерия Стьюдента, определяемое по числу степеней свободы ƒ_o для уровня значимости р=0,05; S_bi- среднеквадратичное отклонение bi).

Величина t_T критерия равна 2,31 для р = 0,05 и f₀= 8, дисперсия S²_bi=0,116. Тогда доверительный интервал Δb_i = 0,34·2,31 = 0,785. Абсолютные величины коэффициентов регрессии b₁ , b₂ и b₃ больше доверительного интервала, следовательно, гипотеза о незначимости этих коэффициентов отвергается. Коэффициенты регрессии b₁₂, b₁₃, b₂₃, b₁₂₃ незначимы и соответствующие им члены можно исключить из уравнения регрессии.

Результаты расчета остаточной суммы квадратов при проверке адекватности линейной модели

(5.4)

приведены в таблице 5.4.

Таблица 5.4

Опыт	Y
		93,1	0,9	0,81
		90,44	0,44	0,1936
		89,34	0,44	0,1936
	98,5	98,9	0,4	0,16
	96,5	96,56	0,06	0,0036
	95,5	95,56	0,06	0,0036
		92,8	1,2	1,44

Уравнение регрессии считается адекватным, если выполняется условие F_p< F_T, где F_p и F_T - соответственно расчетное и табличное значения критерия Фишера.

На основании табл. 5.4 дисперсия адекватности S_АД² = 1,4, критерий Фишера F_p =1,5. Табличное значение критерия Фишера для чисел степеней свободы ƒ_АД= 4 и ƒ₀=8 равно 3,84. Таким образом, экспериментальная величина F_p критерия не превышает табличного значения и гипотеза об адекватности модели принимается.

Интерпретация полученных результатов заключается в установлении "силы и направления влияния" управляющих факторов, а также в проверке правильности представлений, положенных в основу электромагнитного способа создания измельчающего усилия. Величина коэффициентов регрессии является количественной мерой "силы влияния" факторов, а о характере их влияния говорят знаки коэффициентов. Анализируя полученное уравнение регрессии (5.4), можно сделать вывод, что наибольшее влияние напроцесс измельчения шоколадных масс на ЭММА оказывает фактор Х₃ (коэффициент заполнения рабочего объема мелющими телами), в меньшей мере, но также значительно влияет фактор Х₂ (индукция в рабочем объеме) и фактор X₁ (частота вращения внутреннего цилиндра). Знак плюс при коэффициентах линейной регрессии свидетельствует, что с увеличением значения факторов растет величина параметра оптимизации, т.е. степень измельчения шоколадных масс увеличивается и процесс диспергирования интенсифицируется. Таким образом, интерпретация полученного уравнения регрессии подтвердила предпосылки, положенные в основу создания измельчающего усилия, реализованного в ЭММА.

Экспериментально-статистическая математическая модель процесса диспергирования шоколадных масс наЭММА, представленная в виде адекватного линейного полинома (5.4), использовалась для поиска области оптимума объекта исследования. Оптимизация процесса измельчения осуществлялась методом крутого восхождения.

При анализе качества и экономичности приготовления полуфабрикатов шоколадного производства наряду с дисперсностью важным показателем является однородность смеси. Поэтому в качестве ограничивающего параметра была введена в рассмотрение экспериментально найденная функция отклика Y_σ , характеризующая однородность смеси σ. Расчет крутого восхождения и полученные результаты приведены в табл. 5.5. Здесь Ŷ и Y- соответственно расчетные и экспериментальные значения степени измельчения полуфабриката.

Таблица 5.5

Характеристика и номер опыта	Физические значения факторов	Кодированные значения факторов	Функция отклика
Центр плана	0,35		0,33						-
Интервал варьирования	0,05	1,0	0,22	1,0	1,0	1,0	-	-	-
Шаг движения	0,01	0,2	0,01	0,2	0,2	0,5	-	-	-
Крутое восхождение
Опыт	№ 9	0,36	23,2	0,34	0,2	0,2	0,5	95,0	95,1	-
	№ 10	0,37	23,4	0,35	0,4	0,4	1,0	97,2	97,2	1,55
	№ 11	0,38	23,6	0,35	0,6	0,6	1,0	97,6	97,7	1,7
	№ 12	0,39	23,8	0,35	0,8	0,8	1,0	98,2	98,3	1,88
	№ 13	0,4	24,0	0,35	1,0	1,0	1,0	98,5	98,6	1,94

Шаги движения и координаты опытов крутого восхождения в коди­рованных переменных рассчитывались по формуле X_i=(x_i–x_0i)/Г_i (здесь Х_i- кодированное значение фактора;x_i - натуральное значение фактора; x_оi - натуральное значение основного уровня; Г_i - интервал варьирования) с использованием физических переменных x₁, x₂ , x₃ и шагов варьирования Г₁ , Г₂, Г₃, принятых ранее в полном факторном эксперименте. На основании таблицы 5.10 установлено, что в опыте № 10 достигается граница области определения фактора x₃ .В данном случае, согласно рекомендациям, был выбран вариант стабилизации этого фактора на данном уровне и дальнейшее продвижение по градиенту по остальным факторам.

Анализ полученных данных показал, что в опыте №13 на граничной области определения по факторам и достигнута максимальная дисперсность смеси, однако однородность смеси значительно хуже, чем в опыте №10. В условиях опыта №10 достигается оптимальное соотношение между однородностью и максимально возможностей степенью измельчения смеси . Поэтому оптимальным режимом проведения процесса измельчения шоколадных масс наЭММА следует считать условия опыта №10. Из расчетной зависимости , представленной на рисунке 5.26, следует, что для данных режимов работы величина силового взаимодействия между размольными элементами в структурных группах составляет 56,3 Н.

Таким образом, в результате оптимизации экспериментально-статической модели процесса измельчения шоколадных масс электромагнитным способом определены следующие значения режимных и силовых параметров работы ЭММА, при которых процесс диспергирования протекают с наибольшим эффектом: электромагнитный режим , скоростной режим , коэффициент заполнения рабочей камеры размольными элементами , величина диспергирующего усилия .

При этом достигается максимальная стандартизованная степень измельчения полуфабриката и высокая однородность его гранулометрического состава . Доля фракций размером от 10 до 30 мкм составляет 65%, что в 2 раза больше по сравнению с продуктом помола, полученным классическим способом, предварительного и тонкого диспергирования рецептурных смесей шоколадных масс на традиционном измельчающем оборудовании.