Фильтрация измеряемых величин от помех
Методы фильтрации с целью исключения влияния высокочастотных помех в выходных сигналах датчиков на результаты измерений основаны на гипотезе о том, что спектр случайного процесса ε(t) содержит более высокие частоты, чем спектр полезного сигнала х(t). Внешне фильтрация проявляется в том, что реализация процесса Z(t) становится более плавной, чем исходная реализация y(t). Отсюда второе название той же процедуры – сглаживание.
Схема фильтрации приведена на рис. 12.
Рис. 12. Схема фильтрации:
D – датчик; Ф – фильтр; X(t)–полезный сигнал;ε(t) – помеха; y(t) –выходной сигнал датчика, содержащий помеху; Z(t) – отфильтрованное значение сигнала
Операция фильтрации может осуществляться аппаратурно, т.е. с помощью специальных технических устройств, или программно на ЭВМ.
Качество фильтрации оценивается средним квадратичным отклонением сигналов Z(t) и х(t):
,(33)
где М– символ математического ожидания.
Фильтры. Алгоритмы фильтрации. Область применимости. При построении оптимального или близкому к нему фильтра корреляционная функция полезного сигнала 
, являющегося случайным стационарным процессом, аппроксимируется одной экспонентой:
, (34)
где 
– дисперсия полезного сигнала; α – коэффициент экспоненты, аппроксимирующий корреляционную функцию полезного сигнала.
Искажающая полезный сигнал помеха ε(t),действующая на входе датчика, также является случайным стационарным процессом, некоррелированным сигналом х(t),имеющим нулевое математическое ожидание и корреляционную функцию вида:
, (35)
где k и m – параметры помехи, определяющие соответственно ее размах (дисперсию) и частотный спектр (отношение частоты помехи к частоте полезного сигнала).
Рассматривается помеха более высокочастотная, чем полезный сигнал, поэтому всегда m>1.
В большинстве конкретных случаев получаемые оценки статических характеристик полезного сигнала и, тем более, помехи слишком приближены, чтобы принимать для их корреляционных функций более точные, чем экспоненты аппроксимации, поэтому эти аппроксимации и приняты для дальнейшего анализа.
Фильтрация методом скользящего среднего. Фильтр, осуществляющий сглаживание по методу скользящего среднего, описываются следующим выражением
, (36)
где y(t) – исходный случайный процесс, содержащий помеху; Т – интервал времени усреднения (параметр настройки фильтра).
Погрешность этого метода фильтрации определяется путем подстановки выражения (6) в (3). В результате преобразования получим:
= 
1+ 
(1 - e-αT)+ 
. (37)
Оптимальное значение интервала усреднения Т находится из условия минимизации погрешности фильтрации 
, т.е.:
и 
. (38)
В дискретной форме алгоритм фильтрации по методу скользящего среднего имеет вид:
, (39)
где n=Т/ 
- число отсчета функции y(t), по которому производится усреднение; 
- период опроса датчика.
Простая по вычислениям формула (39) занимает, к сожалению, достаточно большой объем V оперативной памяти ЭВМ для хранения промежуточных значений суммы:
, (40)
где 
-интервал времени, через который требуется выдавать значения Z(t).Обычно 
и кратно ему.
Наиболее распространенным является определение значения Z(t) каждый период опроса датчика. В этом случае 
и V = n слов.
Погрешность фильтрации дискретного варианта фильтра скользящего среднего определяется путём подстановки выражений (39), (35) и (36) в (34). В результате преобразования получим:
. (41)
Оптимальное значение n находится из условия минимизации погрешности фильтрации 
. Оно зависит от заданных параметров помехи к, m и периода опроса 
.
Фильтрация методом экспоненциального сглаживания. В непрерывном варианте экспоненциальный фильтр представляет собой элементарно реализуемое одноемкостное звено с передаточной функцией вида
, (42)
где γ – коэффициент экспоненциального сглаживания (параметр настройки фильтра), выбираемый из условия минимизации средней квадратичной погрешности работы фильтра.
Погрешность работы фильтра определяется по формуле:
. (43)
Используя (43), можно определить оптимальное значение параметра настройки фильтра γОПТ, т.е. значение, соответствующее условиям:
и 
.
Реализуемый экспоненциальный фильтр должен иметь γ > 0, что возможно при условии 1/m<k ≤ m.
В дискретной форме алгоритм фильтрации по методу экспоненциального сглаживания представляет собой рекуррентное соотношение вида
, (44)
где у(t) – текущее значение входа в фильтр; Z(t – 
) – значение выхода фильтра в момент предыдущего опроса датчика.
Использование соотношения (44), независимо от требуемого интервала выдачи значения Z(t),позволяет для хранения промежуточных значений Z(t)и настроечного параметра γ фильтра в оперативной памяти ЭВМ выделить всего два слова.
Погрешность работы 
, дискретного фильтра экспоненциального сглаживания определяется по формуле:
. (45)
При заданном периоде опроса датчика 
значение параметра 
определяется минимизацией погрешности 
по γ.
Области применимости фильтров скользящего среднего и экспоненциального сглаживания в плоскости параметров k и m приведены на рис.13.
Рис. 13. Области применимости фильтров скользящего среднего и экспоненциального сглаживания:
- Непрерывное скользящее среднее
- Дискретное скользящее среднее
- Непрерывное экспоненциальное сглаживание
- Дискретное экспоненциальное сглаживание