Закон наименьшего сопротивления

Любая материальная частица деформируемого тела, имеющая возможность движения в разных направлениях, движется в направлении наименьшего сопротивления.

Для случая осадки между параллельными бойками перемещение любой точки тела в плоскости, перпендикулярной действию внешней силы, происходит по кратчайшей нормали к периметру сечения. Максимальную конечную деформацию тело получит в тех направлениях, по которым будет передвигаться наибольшее количество частиц.

Для призмы, изображенной на рис. 54, в плоскости, перпендикулярной действию силы, согласно принципу перемещения точек по кратчайшей нормали, прямоугольник можно разделить на два треугольника и две трапеции. Граничные линии между ними представляют собой линии раздела течения металла, т. к. нормали из этих точек в двух направлениях будут одинаковы.

Учитывая количество точек, лежащих на обозначенных стрелками направлениях течения, можно предполагать, что после некоторой осадки конечная форма тела получит вид, показанный пунктиром. При увеличении степени деформации периметр поперечного сечения тела стремится к эллипсу, а эллипс в дальнейшем преобразуется в круг, после чего движение точек будет происходить по радиусам.

Здесь реализуется принцип наименьшего периметра: любая форма поперечного сечения призматического или цилиндрического тела при осадке с наличием контактного трения стремится принять форму, имеющую при данной площади наименьший периметр (стремится к кругу).

Принцип наименьшего периметра справедлив, если величина коэффициента контактного трения значительна.

При осадке прямоугольного параллелепипеда между плоскими бойками без контактного трения (см. рис. 55) движение частиц носит радиальный характер, и поперечные сечения в процессе деформации остаются подобными исходному.

Рис.55

Из закона наименьшего сопротивления вытекает принцип минимумаполной энергии деформации. Его можно сформулировать так: любое ограничение течению металла увеличивает энергию деформации, т.е. минимум энергии затрачивается тогда, когда формоизменение происходит без ограничения течению, по линиям наименьшего сопротивления.

Рассмотрим осадку в кольцах (рис. 56).

Кинематически возможные направления перемещения точек А, В и С это + U_r и - U_r . Опыт показывает, что точка А имеет перемещение + U_rа , а т. С - U_rс , т. е. часть металла течет к периферии, а часть к центру. Частицы типа точки В, где U_r = 0, образуют поверхность раздела течения.

Теперь ограничим возможность течения к периферии, надев наружное кольцо, или ограничим возможность течения к центру, заглушив отверстия в кольцах (см. рис. 57).

В этих случаях для частиц остается только одно возможное направление перемещения.

В случае отсутствия ограничения, когда частица А имела две степени свободы, она перемещалась к периферии по направлению + U _r , что является для нее линией наименьшего сопротивления.

При введении наружного ограничения (кольцо) частица А движется к центру. Теперь для нее направлением наименьшего сопротивления является направление - U_r , но это направление уже не является направлением абсолютно наименьшего сопротивления.

Для деформации на Dh при одной степени свободы течения требуются большее усилие и, следовательно, большая энергия, чем при двух степенях свободы. Пример показывает, что между силой и характером формоизменения существует связь, т. е. А_д = f ( D_р ),

где А_д - работа деформирующей силы на пути Dh, D_р - линия раздела (U_r = 0).

Исследуя эту функцию на экстремум, можно отыскать значение D_р (линия раздела), соответствующее минимуму работы А_д. Обеспечив течение металла именно с этой линии раздела, можно добиться наилучшего протекания процесса.