Методика получения математических моделей элементов

Процедура получения математических моделей элементов включает в себя следующие операции:

1. Выбор свойств объекта, подлежащих отражению в модели. Этот

выбор основан на анализе возможных применений модели и определяет

степень универсальности математической модели.

2. Сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта.

Источниками сведений могут быть опыт и знания инженера, научно-

техническая литература, результаты экспериментов.

3. Синтез структуры математической модели. Структура математической модели общий вид математических соотношений модели без конкретизации числовых значений параметров. Структура математической модели может быть также представлена в графической форме (эквивалентная схема, граф).

4. Расчет числовых значений параметров математической модели.

Эта задача ставится как задача минимизации погрешности модели заданной структуры, то есть

где Х вектор параметров модели; ХД область изменения параметров. определяется в соответствии с формулами (1) и (2)

а скаляр направления

где yim функция, зависящая от x, а yiист. Определяется по результатам экспериментов. При этом эксперименты могут быть физическими, либо численными с применением более точных математических моделей, если таковые имеются в иерархическом ряду.

5. Оценка точности и адекватности математической модели. Для оценки точности, должны использоваться yiист., которые не использовались в предыдущем пункте. Большую ценность представляют не оценки

погрешностей Em , выполненные в одной-двух случайных точках про-

странства внешних переменных, а сведения об области адекватности

(ОА). Это требует больших затрат машинного времени. Поэтому расчет

ОА выполняется только при тщательной обработке математической модели унифицированных элементов, предназначенных для многократного применения.

Операции 2-5 этой методики могут выполняться многократно в процессе последовательного приближения к желаемому результату.

Так как расчет и представление сведений об ОА в многомерном пространстве затруднительны, то используют аппроксимации области адекватности (АОА). Для человека наиболее удобны АОА в виде вписанного в ОА гиперпараллелепипида со сторонами, параллельными координатным осям. Графическая иллюстрация ОА и АОА для двумерного пространства внешних переменных Q = (q1, q2), будет выглядеть в виде (рис. 12.1.), где ОА ограничена линиями i=1, i=2 и i=3, задаваемыми

уравнениями , i=1,2,3. АОА выделена на рисунке штриховкой.

Сведения об АОА представляются в виде диапазонов изменения

внешних переменных, в которых модель адекватна (с точностью ):

. Другой возможной формой АОА является область, получаемая из ОА с помощью линеаризации ее границ. Линеаризация - метод рассмотрения нелинейных систем, при котором, при некоторых допущениях, они рассматриваются как линейные.

Такая форма неудобна для восприятия человеком, но предпочтительна при автоматическом контроле адекватности модели в процессе вычислений на ЭВМ.

Рис.14.2 Область адекватности модели

14.3.1. Преобразование математических моделей в процессе получения

Рабочих программ анализа

Реализация функциональных математических моделей различных иерархических уровней как системы уравнений определенного типа на ЭВМ подразумевает выбор численного метода решения уравнений и преобразования уравнений в соответствии с особенностями выбранного метода. Конечная цель преобразований - получение рабочей программы анализа в виде последовательности элементарных действий (арифметических и логических операций), реализуемых командами ЭВМ. Все преобразования исходной математической модели ЭВМ выполняет автоматически по специальным программам, пользователю нужно лишь указать те программы, которые он хочет использовать. Этот процесс можно представить в виде иллюстрации (рис 14.3). На рисунке 14.3 показан процесс преобразований математической модели, относящихся к различным иерархическим уровням.

Ветвь 1 постановка задачи на микроуровне в виде ДУЧП. Методы решения ДУЧП основаны на:

1) дискретизации, заключающейся в замене непрерывных переменных конечным множеством их значений в заданных для исследования пространственном и временном интервалах;

2) алгебраизации - замене производных алгебраическими соотношениями.

Применяют различные способы дискретизации и алгебраизации переменных при решении ДУЧП. Если ДУЧП стационарное (то есть описывает статические состояния), то дискретизация и алгебраизация преобразует ДУЧП в систему алгебраических уравнений (АУ), в общем случае нелинейных (ветвь 2). Если ДУЧП нестационарное (то есть описывает изменяющиеся во времени и пространстве поля переменных), то дискретизацию и алгебраизацию можно представить состоящей из двух этапов:

1) устранение производных по пространственным координатам (ветвь 3), результат система ОДУ;

2) устранение производных по времени (ветвь 4).

Ветвь 5 непосредственное решение нелинейных АУ различными методами. Ветвь 6 линеаризация уравнения.

Ветвь 7 решение системы ЛАУ с помощью прямых методов (метод Гаусса и др.).

Ветвь 8 преобразование исходного описания задачи, относящейся к макро уровню, к системе ОДУ с известными н.у. Если это система нелинейных ОДУ, то дальнейшие преобразования по ветвям 4,6,7 или 4,5; если же система линейных ОДУ, то непосредственный переход к системе ЛАУ (ветвь 9).

Для анализа объектов на метауровне применяют либо переход к системе ОДУ (ветвь 10), либо переход к системам логических уравнений, моделям массового обслуживания или аналитическим моделям, отображающим упрощенно технико-экономические показатели объекта (ветвь 11). Сведение этих форм моделей в последовательность элементарных вычислительных операций (ветвь 12) не вызывает затруднений.

Рис. 14.3. Преобразование математических моделей с разных иерархических уровней