Форматы представления чисел с ПЗ в ВМ

Система вещественных чисел в математических вычислениях предполагается непрерывной и бесконечной, т.е. не имеющей ограничений на диапазон и точность представления чисел. Однако в ВМ числа хранятся в регистрах и ячейках памяти с ограниченным количеством разрядов. Вследствие этого система вещественных чисел, представимых в машине, является дискретной (прерывной) и конечной. Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде , где M — множитель, содержащий все цифры числа (мантисса), а p — целое число, называемое порядком. Такой способ записи чисел называется представлением числа с плавающей запятой.

Вещественные числа могут быть записаны в естественной форме с выделением целой и дробной части и в нормализованном виде. Понятие нормализованного числа следует отличать от понятия числа в нормальной форме. В нормальной форме мантисса лежит в интервале 1 £ M₁₀ < 10.

В нормализованной форме на мантиссу налагаются такие условия, чтобы она по модулю была меньше единицы (|q| < 1), а первая цифра после точки отличалась от нуля. Полученная таким образом мантисса называется нормализованной.

Число называется нормализованным, если оно представлено в виде ,

Где

- - мантисса нормализованного числа, ее значения лежат в диапазоне ;

- Р – основание системы счисления;

- - порядок нормализованного числа;

Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание — в десятичной системе.

При нормализации происходит как бы расчленение чисел с выделением:

· знака числа;

· мантиссы;

· знака порядка;

· порядка.

Рисунок -Форма представления чисел с плавающей запятой

Соответственно, в десятичной системы счисления число X10 называется нормализованным, если оно представлено в виде: и значения мантиссы M₁₀ лежат в интервале 0,1 £ M₁₀ < 1.

Примеры: нормализации десятичных чисел

123410 = 0,1234×104;

–34,5610 = –0,3456×10-2;

753.15 = 0.75315*10³;

0.000034 = - 0.34*10^-4.

В двоичной системе счисления нормализованное число будет представлено в виде:

, значения мантиссы при этом должны лежать в диапазоне 0,1₂£M₂<1, что в десятичной системе счисления соответствует 0,5₁₀£M₁₀<1.

Например,

000011 = 0.11*2^-100 (порядок -100₂ = -4₁₀)

При вводе вещественных чисел в ВМ происходит преобразование ; а при выводе .

В зависимости от значения числа различают два вида нормализации: влево и вправо.

Нормализация влево

При происходит нормализация влево, то есть разделитель разрядов перемещают влево до тех пор, пока не исчезнет целая часть числа, но первая цифра после разделителя будет ненулевой. При каждом перемещении показатель числа увеличивается на единицу.

Нормализация вправо

При происходит нормализация вправо, то есть умножение числа на q с одновременным уменьшением показателя до тех пор, пока первая цифра станет ненулевой.

Изменение значения показателя на единицу должно производиться по правилам q-ичной арифметики.