Заданного статистического ряда показателя качества.
Проверка согласия предполакаемого нормального закона распределения с законом распределения заданного статистического ряда выполняется по критерию хи-квадрат. Расчет для проверки согласия производится по формулам (2)-(8).
Определяется объем выборки
r
n= ∑ niэ (2)
i=1
Определяется среднее значение выборки
r r
x ср = ∑ xi ср niэ / ∑ niэ (3)
i=1 i=1
Определяется значение дисперсии
r
s2 = ∑ Δxi 2 * niэ / (n-1) (4)
i=1
Здесь
(5),
Где: xi ср - значение середины каждого принятого интервала,
r – принятое число интервалов.
Значения величины плотности вероятности нормального закона распределения φί в зависимости от значения аргумента определяется по табл. 3. Для повышения точности выполняемых расчетов промежуточные значения следует определять линейной интерполяцией их табличных величин.
Таблица 3
Плотность вероятности нормального распределения.
Δxi /s | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 1,0 | 1,1 | |
φί | 0,3989 | 0,3970 | 0,3910 | 0,3814 | 0,3683 | 0,3581 | 0,3332 | 0,3123 | 0,2897 | 0,2420 | 0,2179 |
Δxi /s | 1,2 | 1,3 | 1,4 | 1,5 | 1,6 | 1,7 | 1,8 | 1,9 | 2,0 | 2,1 | 2,2 |
φί | 0,1942 | 0,1714 | 0,1497 | 0,1295 | 0,1109 | 0,0940 | 0,0790 | 0,0656 | 0,0540 | 0,0440 | 0,0355 |
Δxi /s | 2,3 | 2,4 | 2,5 | 2,6 | 2,7 | 2,8 | 2,9 | 3,0 | 3,2 | 3,5 | 4,0 |
φί | 0.0283 | 0,0224 | 0,0175 | 0,0140 | 0,0105 | 0,0079 | 0,0059 | 0,0044 | 0,0027 | 0,0009 | 0,0001 |
Вычисляются значения
(6)
теоретического объема выборки
niт= fί*nί*h (7)
Определяются значения коэффициентов
βί =( niт - niэ)2 / niт (8)
Результаты расчетов проверки согласия по критерию хи-квадрат представляются в форме табл.4.
Таблица 4
xi ср | niэ | xi ср *niэ | Δxi | Δxi 2 | Δxi 2* niэ | Δxi /s | φί | fί | niт | niт - niэ | βί |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |||||||||||
При вычислении оценки согласия по критерию хи-квадрат крайние интервалы, содержащие менее пяти значений показателя качества, необходимо объединять.
Затем вычисляется значение
r
y=∑βί / k (9)
i=1
Здесь k – число степеней свободы, определяемое из соотношения
(10)
Где c – число параметров закона распределения. Для нормального закона распределения c =2.
Полученное значение y сравнивается с табличным значением (см. табл. 5) распределения хи-квадрат при небольшом (порядка 0,1) значении доверительной вероятности
Таблица 5.
Значение y распределения хи-квадрат.
K | α. | |||||
0,010 | 0,025 | 0,050 | 0,100 | 0,200 | 0,300 | |
0,256 | 0,325 | 0,394 | 0,487 | 0,618 | 0,727 | |
0,278 | 0,347 | 0,416 | 0,507 | 0,635 | 0,741 | |
0,298 | 0,367 | 0,436 | 0,525 | 0,651 | 0,753 | |
0,316 | 0,385 | 0,453 | 0,542 | 0,664 | 0,764 | |
0,333 | 0,402 | 0,469 | 0,556 | 0,676 | 0,773 | |
0,349 | 0,418 | 0,484 | 0,570 | 0,687 | 0,781 | |
0,363 | 0,432 | 0,498 | 0,582 | 0,697 | 0,789 |
В тех случаях, когда табличное значение величины y больше вычисленного по формуле (9), согласие экспериментально полученных значений заданного статистического ряда с предполагаемым нормальным законом распределения может считаться хорошим. По результатам проверки по критерию хи-квадрат делается вывод о характере согласия (хорошее или плохое).
Производится проверка согласия предполагаемого закона распределения по критерию Колмогорова. Вычисления выполняются по форме табл. 6, в которую заносятся конечные значения интервалов xi к и количество значений параметра в каждом интервале nί. Затем определяется экспериментальная частость появления параметра качествав каждом интервале nί / n, после чего вычисляется накопленная экспериментальная частость
r
Fэj =∑ nί / n (11)
i=1
Определяется накопленная теоретическая частость как функця от по табл. 6
Fтj = f (xiк - x ср ) / s (12)
Таблица 6
Значение функции Fт нормального распределения
(xiк- x ср ) / s | 0,00 | 0,05 | 0,01 | 0,20 | 0,30 | 0,40 | 0,50 | 0,60 | 0,70 | 0,80 |
Fт | 0,5000 | 0,5199 | 0,5398 | 0,5793 | 0,6179 | 0,6554 | 0,6915 | 0,7257 | 0,7580 | 0,7881 |
(xiк- x ср ) / s | 0,90 | 1,00 | 1,10 | 1,20 | 1,30 | 1,40 | 1,50 | 1,60 | 1,70 | 1,80 |
Fт | 0,8159 | 0.8413 | 0,8631 | 0,8849 | 0,9020 | 0,9192 | 0,9322 | 0,9452 | 0,9555 | 0,9641 |
(xiк- x ср ) / s | 1,90 | 2,00 | 2,10 | 2,20 | 2,40 | 2,60 | 2,80 | 3,00 | 3,50 | 4,00 |
Fт | 0,9706 | 0,9772 | 0,9816 | 0,9861 | 0,9918 | 0,9953 | 0,9974 | 0,9986 | 0,9998 | 0,9999 |
Затем определяется абсолютное значение разницы накопленной и экспериментальной частости
(13)
Расчет выполняется по форме табл. 7.
Таблица 7
Проверка по критерию Колмогорова
xiк | nί | nί / n | Fэj | (xiк- x ср ) / s | Fтj | ΔF |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | ||||||
Из всех полученных значений выбирается максимальное значение исопоставляется с табличным (табл.8) или вычисленном по формулам (14 или 15).
Таблица 8
Значения критерия Колмогорова ΔF
n | α | |
0,8 | 0,9 | |
0,232 | 0,265 | |
0,148 | 0,170 | |
0,118 | 0,135 | |
0,106 | 0,121 |
Для значений n > 100 при и при
Согласие заданного статистического ряда с теоретическим законом нормального распределения считается плохим, если вычисленное эмпирическое значение критерия Колмогорова больше теоретического, т.е. . При определении согласия по критерию Колмогорова вероятность α следует брать не менее 0,8. При меньших значениях α заранее планируется малая вероятность события, что свидетельствует о плохом согласии с предполагаемым нормальным законом распределения.
По выполненным расчетам строятся гистограмма, теоретическая и экспериментальная плотности распределения (рис.2.2), интегральные функции теоретическая и экспериментальная по данным табл. 6 (рис.2.3).Экспериментальные значения наносятся в виде отдельных точек. На графиках (см. рис.2.2 и рис.2.3) необходимо указать значения x ср, s, ΔFmax.
nί ,f
x ср -2 s x ср+2 s
-2 s x ср +2 s xi
Рис.2.2. Гистограмма, теоретическая и экспериментальная плотности
нормального распределения
Fт
- - - - - - - - - - - - - - --
x ср xi
Рис. 2.3. Интегральные функции (теоретическая и экспериментальная).
Установление поля допуска.
Величина поля допуска обычно устанавливается по полученным значениям среднего и среднеквадратического параметра качества при выбранной двухсторонней вероятности α = 0,90; или α =0,95; или α= 0,99. Рекомендуется принимать значение величины поля допуска в пределах ±2 s. Установленное таким образом поле допуска следует нанести на ранее построенные графики (см. рис.2.2).