Теория массового обслуживания

Первые задачи теории массового обслуживания были рассмотрены в период между 1908 и 1922 годами сотрудником Копенгагенской телефонной компании, учёным Агнером Эрлангом (1878-1929) – датским математиком, статистиком и инженером, основателем научного направления по изучению трафика в телекоммуникационных системах и теории массового обслуживания. Перед Эрлангом стояла задача упорядочить работу телефонной станции и заранее рассчитать качество обслуживания потребителей в зависимости от числа используемых устройств.

Теорию массового обслуживания иногда называют теорией очередей. Появления очередей возможно не только при обслуживании в магазинах или в работе телефонной станции, но имеются очень частые случаи возникновения очередей в производственных условиях. Так, детали скапливаются перед станком в ожидании обработки, заявки от требующих обслуживания станков встают в очередь к оператору многостаночнику, наладчику, контролеру, ремонтникам. Примером возникновения очередей может быть:

- поступление транспортных средств на ремонтную базу требующих технического обслуживания, когда в зависимости от численности технического персонала ремонтная база может одновременно обслуживать одно или несколько транспортных средств;

- прибытие пациентов на прием к врачу, когда даже при наличии определенной системы предварительной записи по целому ряду причин число ожидающих может флуктуировать и, таким образом, возможно образование очереди;

- попытки дозвониться по телефону, когда набирающие телефонные номера абоненты нуждаются в обслуживании в виде телефонных разговоров;

- возникновение очереди у железнодорожной кассы.

Основными элементами систем массового обслуживания (МО) являются заявки (требования) на обслуживание и механизм их обслуживания. Для моделей МО характерно, что поступление заявок и/или обслуживание по времени имеют вероятностный характер.

Важной характеристикой для систем МО является механизм обслуживания. Наиболее часто имеет место дисциплина обслуживания по правилу «первый пришел, первый обслужен». Нередко заявки группируются по принципу приоритетности. Например, при разработке плановых заданий и их реализации предпочтение сначала отдают срочным и опаздывающим заявкам на выпуск деталей, далее запускаются детали, срок выпуска которых приходится на данный планируемый период. И в последнюю очередь планируются к запуску детали для задела, срок выпуска которых приходится на очередные плановые периоды.

Выводы теории МО используются далее в экономических расчетах. Ясно, что для уменьшения очередей необходимо увеличить число обслуживающих устройств. Уменьшить время обслуживания. Но это требует дополнительных затрат, поэтому рациональное решение находится между допустимой очередью и затратами на её уменьшение.

Математическое обеспечение теории МО основано на использовании динамического программирования, в котором рассматриваются стохастические процессы принятия решений с конечным числом состояний. Переходные вероятности между состояниями описываются цепями Маркова. По имени русского математика назван один из крупных разделов прикладной математики – Марковские процессы (цепи).

Результаты этого научного направления весьма эффективно используются в теориях принятия решений, массового обслуживания, надежности.

Основы теории массового обслуживания

Теория массового обслуживания (ТМО) составляет один из разделов теории вероятностей. В этой теории рассматриваются вероятностные задачи и математические модели (до этого рассматривались детерминированные математические модели).

Напомним, что детерминированная математическая модельотражает поведение объекта (системы, процесса) с позиций полной определенности в настоящем и будущем. Вероятностная математическая модель учитывает влияние случайных факторов на поведение объекта (системы, процесса) и, следовательно, оценивает будущее с позиций вероятности тех или иных событий.

Понятие случайного процесса

Строго говоря, случайные возмущения присущи любому процессу. Проще привести примеры случайного, чем «неслучайного» процесса. Даже, например, процесс хода часов («работает как часы») подвержен случайным изменениям (уход вперед, отставание, остановка). Но до тех пор, пока эти возмущения несущественны, мало влияют на интересующие нас параметры, мы можем ими пренебречь и рассматривать процесс как детерминированный, неслучайный.

Пусть имеется некоторая система S (техническое устройство, группа таких устройств, технологическая система – станок, участок, цех, предприятие, отрасль промышленности и т. д.). В системе S протекает случайный процесс, если она с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного состояния в другое), причем, заранее неизвестным случайным образом.

Примеры:

- система S – технологическая система (участок станков). Станки время от времени выходят из строя и ремонтируются. Процесс, протекающий в этой системе, случаен;

- система S – самолет, совершающий рейс на заданной высоте по определенному маршруту. Возмущающие факторы – метеоусловия, ошибки экипажа и т. д., последствия – нарушение графика полетов, аварии и т. д.