Геометрии для практического применения

Объект исследования: основы фрактальной геометрии.

Результаты, полученные лично автором:изучены основы фрактальной геометрии и выявлены наиболее важные практические приложения фракталов.

Слово «фрактал» образовано от латинского fractusи в переводе означает состоящий из фрагментов. Этот термин был предложен Бенуа Мандельбротом в 1975 году. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому».

Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:

§ Обладает нетривиальной структурой на всех шкалах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.

§ Является самоподобной или приближённо самоподобной.

§ Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

§ Может быть построена при помощи рекурсивной процедуры.

Фракталы классифицируют по трём видам: геометрические, алгебраические, стохастические.

Геометрические фракталыстроятся на основе исходной фигуры (линии, многоугольника или многогранника) путем ее дробления и выполнения различных преобразований полученных фрагментов. Наиболее известны снежинка Коха, треугольник Серпинского и др.

Алгебраические фракталы получили свое название за то, что строятся на основе алгебраических формул.

Стохастические фракталы – получаются, если в итерационном процессе случайным образом изменять какие-либо параметры.

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

множество Кантора - нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины.

треугольник Серпинского и ковёр Серпинского - аналоги множества Кантора на плоскости;

губка Менгера - аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;

примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции;

кривая Коха - несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;

кривая Пеано - непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата;

траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум.

Применение фракталов:

§ компьютерные системы (сжатие изображений, компьютерная графика);

§ физика (при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, и т.п.);

§ радиотехника (проектирование антенных устройств);

§ биология (для моделирования популяций);

§ медицина (биосенсорные взаимодействия, описание систем внутренних органов);

§ экономика (анализ состояния биржевых рынков).

Материал поступил в редколлегию 20.04.17

УДК 519.8

С.Р. Хонбоев

Научный руководитель: доцент кафедры «Высшая математика» Л.А. Гусакова

[email protected]

АНАЛИЗ СТРАТЕГИИ ПРЕДПРИЯТИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ

ТЕОРИИ ИГР

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности. Для грамотного решения таких задач нужно научно обоснованные методы.

Такие методы рассматриваются в теории игр.

Рассмотрим задачу о выборе стратегии предприятия в условиях неопределённого спроса.

Предприятия выпускает скоропортящуюся продукцию, которую может сразу оправить потребителю, отправить на склад для хранения или подвергнуть дополнительной обработке для длительного хранения.

Во втором и третьем случаях предприятия несёт дополнительный расход на хранение и обработку. Потребитель может приобрести продукцию сразу, в течение небольшого промежутка времени, в течении длительного периода времени. Если продукция будет отправлена потребителю, но будет приобретена в течении длительного промежутка времени то предприятие понесет убытки из-за порчи продукции. Пусть известна матрица убытков .

Какую стратегию следует выбрать предприятию, чтобы иметь гарантированный средний уровень убытка?

Эту задачу можно рассматривать как парную игру размерности 3х3. Предприятие располагает тремя стратегиями:

А₁ –отправить продукцию сразу потребителю;

А₂ – отправить на склад для хранения;

А₃- подвергнуть продукцию дополнительной обработке.

Спрос может находиться в трех состояниях В₁, В₂, В₃.

1. Выясним, имеет ли игра седловую точку.

α₁= 2, α₂= 6, α₃=7, α = max (α₁, α₂, α₃) =7,

β₁=12, β₂=10, β₃=10, β=min (β₁, β₂, β₃) =10.

Так как, α≠β , то седловая точка отсутствует.

2. Следовательно, решение игры нужно искать в смешенных стратегиях. Пусть Sa= (P₁, P₂, P₃) – смешенная стратегия предприятия.

Платежную матрицу можно упростить, используя правило доминирования. Упрощенная платежная матрица .

Платежной матрице соответствует задача линейного программирования. ,

, V- цена игры.

Задача решается графически. В результате было получено решение:

Таким образом, цена игры

P₁=x₁· V=0,45; P₂=0 ( так как стратегия А₂ была исключена из платежной матрицы Р₃= x₃ · V=0,55.

Таким образом, S_А=(0,45;0;0,55). Это означает, что 45% продукции следует сразу отправить потребителю, 55% продукции подвергнуть дополнительной обработке. При этом гарантированный средний уровень убытка предприятия составляет 7,45 у.е.

Материал поступил в редколлегию 25.04.17

УДК 519.21

Е. Н. Шишкина

Научный руководитель: доцент кафедры «Высшая математика» В.М. Кобзев

[email protected]