Числа фибоначчи и рекурентные последовательности

Объект исследования: последовательности Фибоначчи.

Результаты, полученные авторами лично: исследования области применения последовательности Фибоначчи.

Часто мы имеем дело с математическими теориями, которые имеют определённые доказательства и методы, а также давнюю историю. Одной из таких теорий является теория чисел Фибоначчи.

Последовательность Фибоначчи – это числовая последовательность, которая задана рекуррентным способом. При изучении числовых последовательностей мы сталкиваемся с рекуррентным заданием лишь на примере арифметической и геометрической прогрессий, но изучение таких последовательностей – достаточно увлекательный процесс.

Всем известная более семисот лет «задача о кроликах» стала основанием чисел Фибоначчи. Формально последовательность чисел Фибоначчи задаётся линейным рекуррентным соотношением:

F_n = F_n-1 + F_n-2

Такие последовательности, в которых каждый член определяется как некоторая функция предыдущих, часто встречаются в математике и называются рекуррентными или возвратными последовательностями. У последовательности Фибоначчи начальными членами являются две единицы, либо единица и нуль.

Примерами живой природы, которые могут быть описаны с помощью последовательности Фибоначчи, являются:

· порядок расположения листьев (и веток) у растений – расстояния между ними соотносимы с числами Фибоначчи (филлотаксис);

· расположение семян подсолнуха (располагаются двумя рядами спиралей, закрученных в разном направлении: один ряд по часовой стрелке, другой – против);

· расположение чешуек сосновых шишек;

· лепестки цветов;

· ячейки ананаса;

· соотношение длин фаланг пальцев на человеческой руке и т.д.

Это далеко не все примеры из живой природы, подтверждающие данную рекуррентную последовательность. За долгое время найдено немало скрытых свойств чисел Фибоначчи, а интерес к этим последовательностям значительно возрос.

Материал поступил в редколлегию 25.04.17

УДК 512+514

Д.С. Титенок

Научный руководитель: профессор кафедры «Высшая математика»,

к.т.н. А.П. Мысютин

[email protected]

МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОБЪЕМОВ ТЕЛ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ

ЭЛЛИПСОИДОВ

Объект исследования: тела, получающиеся в результате пересечения эллипсоидов общего вида.

Результаты, полученные лично автором: определены размеры прямоугольного параллелепипеда, заведомо содержащего тело пересечения, разработана программа вычисления объема тела методом Монте-Карло.

Рассмотрим два эллипсоида общего вида

, (1)

где

Уравнение (1) определяет эллипсоид, если ранг матрицы равен 3, определитель блочной матрицы

меньше нуля и корни уравнения одного знака.

Для определения размеров прямоугольного параллелепипеда, целиком содержащего i-й эллипсоид, находим координаты (N₁, N₂, N₃) нормального вектора касательной плоскости, проведенной в точке (x₀, y₀, z₀) эллипсоида. Они равны с точностью до множителя 2 частным производным первого порядка от функции трех переменных, стоящей в левой части уравнения (1):

(2)

Грани параллелепипеда параллельны координатным плоскостям, поэтому далее рассматриваем последовательно только касательные плоскости вида х=const, y=const, z=const и находим точки касания из решения систем уравнений, в каждую из которых входит уравнение (1). При определении х_min и х_max в указанную систему входят уравнения N₂=0, N₃=0 (нормальный вектор касательной плоскости коллинеарен оси х), при определении у_min и у_max – уравнения N₁=0, N₃=0, при определении z_min и z_max – уравнения N₁=0, N₂=0.

Из полученных минимальных и максимальных значений по каждой координате выбираются наименьшее и наибольшее. Эти значения входят в уравнения граней прямоугольного параллелепипеда, целиком содержащего тело пересечения эллипсоидов.

Для вычисления объема применим метод Монте-Карло. Выбираем в прямоугольном параллелепипеде n случайных точек. Обозначим через m число точек, попавших внутрь тела пересечения эллипсоидов. Объем этого тела приближенно равен отношению m/n, умноженному на объем параллелепипеда.

Предложенная методика была положена в основу программы на ЭВМ. В качестве тестового примера рассмотрена задача, допускающая аналитическое решение. Определялся объем тела, получающегося в результате пересечения двух эллипсоидов вращения 4x²+4y²+z²–4=0 и x²+y²+9z²–9=0. Используя формулы математического анализа для вычисления объемов тел вращения было найдено точное значение объема V=2π(6–(64/105)√70). Или V≈5,65711.

Расчеты показали, что тело пересечения эллипсоидов заключено внутри куба: –1≤x≤1, –1≤y≤1, –1≤z≤1. Приближенные значения объема в зависимости от числа случайных точек n приведены в таблице

n
V	5,6152	5,70256	5,67192	5,65424	5,65524	5,65611

Результаты свидетельствует о правильности работы алгоритма и эффективности метода Монте-Карло, который часто оказывается единственным численным методом, дающим возможность решить задачу вычисления объема в многомерном пространстве.

Предложенная методика позволяет рассчитывать объем тела, образованного пересечением нескольких эллипсоидов общего вида.

Материал поступил в редколлегию 28.03.2017г.

УДК 519.24

А.В. Филимоненков

Научный руководитель: доцент кафедры «Высшая математика», к.т.н.,

Н.А. Ольшевская