Режима возбуждения скважины с использованием полых погружных отражателей-фильтров

Добротность рассмотренного резонансного устройства можно определить следующим образом [77]:

Q ¹ = Oi¹ + 0₂^г + Q'/r (5.1.1)

где От - добротность, связанная с диссипацией энергии в столбе жидкости с длиной

2(0,

■L

(5.1.2)

р_в, с_в - соответственно плотность и фазовая скорость звука для жидкости; г\, г\' - соответственно ее сдвиговая и объемная вязкость; со = 2nf; f - частота колебаний; О₂ - добротность, связанная с потерями на излучение энергии через отражатели-фильтры,

(5-1.3)

PaQ Г ^zr 1

Y = r^s__i у _ —L__{f z} < p _n _ комплексная

^Zl l

проводимость отражателя-фильтра по отношению к жидкости; Q₃ - добротность, связанная с потерями на излучение энергии через боковые стенки скважины в процессе колебательного течения жидкости из скважины в пласт.

Для вычисления О₃ нужно знать коэффициент прост­ранственного затухания 8_С, связанный с фильтрационными колебательными процессами. Он будет определен ниже. Учитывая 8_С, можно записать

Q₃ = (28_cl)t¹. (5.1.4)

Здесь следует отметить, что если использовать не заполненные газом отражатели-фильтры, а отражатели, выполненные из сплошного твердого материала, например стали, то это не позволит добиваться заметных повышений амплитуд давления при низкочастотных резонансах, поскольку импеданс материала отражателя в этом случае будет мало отличаться от импеданса жидкости, а сам отражатель можно будет рассматривать как абсолютно "жесткий" по отношению к жидкости лишь при значительной его толщине, порядка длины волны. Это приведет к тому, что при любой, реально выполнимой толщине сплошного отражателя величина Re(YJ для него в выражении (5.1.3) будет весьма большой, определяя

низкое значение добротности О₂, которое, в свою очередь, обусловит низкое значение общей добротности режима при резонансе.

Покажем, что указанного затруднения можно избежать, если использовать полые отражающие крышки, заполненные газом при давлении, близком к атмосферному.

Будем считать, что добротность, связанная с потерей энергии через боковые стенки скважины, меньше добротности, связанной с диссипацией энергии в столбе скважинной жидкости, т.е. потери энергии на излучение больше потерь из-за затухания в жидкости, тогда последней при вычислении общей добротности можно пренебречь. Поскольку при низких частотах выполняется условие R_c « 0,61 Х_в, где R_c -радиус скважины; Я,_в - длина волны в жидкости, то скважину можно считать "узкой" трубой, в которой распространяются гармонические волны любой ча­стоты.

Рассмотрим (см. рис. 5.1.1) участок "узкой" трубы, заполненный жидкостью и ограниченный с двух сторон полыми отражателями-фильтрами с толщиной слоя газа h_r и входной проводимостью У_к. В центре трубы на равных расстояниях от отражателей помещен генератор колебаний давления с круговой частотой со, создающий в этой точке давление p_oe~'J.

Возбуждаемые в трубе колебания имеют ту же частоту, а давление распределено вдоль трубы по закону

р= Лсо^х+ф)е^^(:. (5.1.5)

Если при данной частоте место расположения генератора совпадает с узлом давления собственных колебаний жидкости в отрезке трубы, то возникает резонанс. Учитывая, что волновое сопротивление слоя газа р_гс_г меньше волнового сопротивления жидкости р _вс_в, запишем частотное уравнение для рассмотренного участка трубы с отражателями:

ctikb)=P_dc_dY_B. (5.1.6)

Поскольку отражатель не "идеален" и пропускает частично падающую на него энергию, то он характеризуется комплексной проводимостью У_к = iX + R, (R > 0), и уравнение (5.1.6) принимает вид

Так как существует еще пространственное затухание, то импеданс жидкости также комплексный. Если определить комплексную проводимость стенки скважины с перфорационными отверстиями как У_с, то можно записать выражение для определения импеданса жидкости в виде [178]:

Ра^Йа = Pi

s-2

+

(5.1.8)

V 2R_C

где с₀ - фазовая скорость звука в безграничной жидкости; ц - модуль сдвига породы; Е - модуль Юнга для материала обсадной трубы с толщиной стенок h и радиусом R_c.

Из уравнения (5.1.7) можно найти вещественную и мнимую часть kL, а по вещественной части для заданной частоты - определить резонансные длины L_p. В общем случае это уравнение можно решать только численно, но если ввести упрощающие предположения, то его можно решить и аналитически.

Будем считать, что пространственное поглощение в среде мало влияет на распределение давлений и скоростей вне резонанса, но амплитуда колебаний при резонансе существенно зависит от поглощения. Тогда в частотном уравнении (5.1.7) можно брать действительную часть выражения (5.1.8). Далее, считаем, что наличие "пропускания" отражателей вносит лишь малую поправку в величину L_p, а ниже определим допустимое условие для выполнения этого предположения.

Положим kL = k₀L + /а + |3, где k₀L - решение частотного уравнения в отсутствие поглощения и

"пропускания" отражателей, причем |/а + |3| « 1. Разлагая котангенс в ряд, разделяя вещественные и мнимые части и ограничиваясь членами не выше второго порядка малости относительно а, найдем:

^РА^ (5.1.9)

² +1

а=

l+(p_an_ax)²]²

Условие применимости подобного разложения -если третий член намного меньше второго по модулю, или

(5.1.10)

< )2

Х1+(_рАх)²

Теперь для определения резонансных длин при заданной частоте получаем:

со

(5.1.12)

где

.(5.1.13)

Определим далее добротность рассмотренного резонансного устройства. Комплексную проводимость для определения X и R полого отражателя, заполненного слоем газа с толщиной h_n можно представить как

.А (В - В

■ + 1-

В2 А2 +1

Y~ —

Л² +1

В²+А²+1

(5.1.14)

где А = tg(coAj_r/c_r); В = р_гс_г/р_вс_в; р_г, с_г - соответственно плотность газа и фазовая скорость звука в нем.

Тогда добротность, связанная с излучением через отражатели (пропусканием отражателей), определится в виде

Q?. =

2(£>L_p (A² + 1) ² ~ q(B²A² +1)

(5.1.15)

Коэффициент 8_С в выражении (5.1.4), связанный с фильтрацией, можно выразить из мнимой части выражения для комплексного числа трубной волны:

(5.1.16)

со Д.

неопределенной

В этом

k2 - со2		+ -	p	a
4		Eh
	V	I-
выражении		ОС"	гае"

величина У_с - комплексная проводимость стенки скважины с перфорационными отверстиями. Для ее определения воспользуемся следующим способом [178].

Пусть на стенке скважины действует давление р'е 'J. В цилиндрической системе координат считаем, что все величины не зависят от z и 9. Запишем закон Дарси в пористой среде:

др г\

дг %

(5.1.17)

где ц - динамическая вязкость жидкости; % -проницаемость пористой среды, вмещающей скважину. Если выделить объем жидкости, втекающей в перфорационное отверстие, то ввиду малости отверстия по сравнению с диаметром скважины можно считать, что давление и скорость частиц в этом выделенном объеме зависят только от переменной (одномерная задача). Тогда условие неразрывности дает

ди _ т др дг В' dt'

(5.1.18)

где т - коэффициент пористости; В' - модуль всестороннего сжатия жидкости в поровом пространстве. Из (5.1.17) и (5.1.18), учитывая, что р = р'еЛ/ и р' - функция только г, получаем

^=1^-шр. (5.1.19)

дг %в'

Решение уравнения (5.1.19) имеет вид:

Р' =--- А^ех^-хг), (5.1.20)

Для колебательной скорости, учитывая (5.1.17), находим

^^f-~ f°l ,exi-%r). (5.1.21) Л ех^- %R_c)

Проводимость пористой площади отверстия определяем как отношение колебательной скорости к давлению:

р у г\В )

Чтобы получить величину У_с, нужно умножить

последнее выражение на отношение площади

перфорационных отверстий к площади

цилиндрической поверхности участка скважины,
приходящейся на единицу длины:

где г₀ - радиус перфорационного отверстия; п -плотность перфорации.

Окончательно можно записать

Q₃ =

(5.1.23)

где

— i-

8„ = Im

со

■ +

Eh 2R

,2р_а<вУ_с

(5.1.24)

Выражения (5.1.1)-(5.1.24) использовались при оценке резонансных длин и добротности резонансного режима в зависимости от вынуждающей частоты генератора, толщины слоя газа в отражателях, радиусов перфорационных отверстий и их плотности для различных значений проницаемости вмещающей скважину пористой среды. Они позволяют для конкретных параметров скважины, таких как ее радиус, глубина продуктивного интервала, упругие константы колонны и вмещающей породы, свойства скважинной жидкости, параметры перфорации, проницаемость и по­ристость коллектора, рассчитывать оптимальные (с точки зрения достижения максимальной добротности при резонансах) режимы обработки призабойных зон.

Меняя расстояние между отражателями и генератором в пределах продуктивного интервала скважины, можно подбирать резонансные частоты возбуждения и добиваться согласования возбуждающей частоты с резонансными свойствами продуктивного пласта.

&Q-

Рис. 5.1.2. Добротность резонансного режима возбуждения упругих