Статический расчет рамы

Расчетная схема рамы дана на рис. 56.

Ввиду ломаного очертания ригеля и переменности его сечения приведенную изгибную жесткость сечения ригеля, нормального к его продольной оси, подсчитываем по формуле

EI_пр = EI_максcos² θk,

где I_макс - момент инерции сечения ригеля в середине пролета; θ - угол наклона нейтральной оси ригеля; k = 0,15 + 0,85β - коэффициент по СНиП II-25-80, прил. 4, табл. 3.

В результате статического расчета рамы методом сил получены следующие формулы для определения опорных реакций и изгибающих моментов в опорных сечениях и коньке рамы (см. рис. 56):

от равномерно распределенной нагрузки по ригелю

V_А = V_Д = ql/2; V_А = U_Д = 5qS²/cos² θk_с/[8(H²k + f²k_с)];

M_А = M_Д = 5qS²Hfcos² θk_с/[8(H²k + f²k_с);

M_E = ql²/8 - 5qS²f²cos² θk_с/[8(H²k + f²k_с)],

где

k_с = E_kI_kS/(EI_прH);

от ветровых нагрузок P_1b, P_2b, P_3b, (ветер слева направо):

V_А = V_Д = P_3b//(2cos θ);

U_А = P_1bH - (P_1b - P_2b)H³k/[8(H²k + f²k_с)] + 5P_3bS²fcos θk_с/[8(H²k + f²k_с)];

U_Д = P_2bH + (P_1b - P_2b)H³k/[8(H²k + f²k_с)] - 5P_3bS²fcos θk_с/[8(H²k + f²k_с)];

M_А = P_1bH²/2 - (P_1b - P_2b)H⁴k/[8(H²k + f²k_с) + 5P_3bS²fHcos θk_с/[8(H²k + f²k_с)];

M_Д = P_2bH²/2 + (P_1b - P_2b)H⁴k/[8(H²k + f²k_с) - 5P_3bS²fHcos θk_с/[8(H²k + f²k_с)];

M_Е = P_3bl²/8 + (P_1b - P_2b)H³fk/[8(H²k + f²k_с) - 5P_3bS²fHcos θk_с/[8(H²k + f²k_с)].

Рис. 56. Расчетная схема рамы и эпюры изгибающих моментов

Определяем усилия в сечениях стойки 0 ≤ y ≤ H, считая расположение начала координат на уровне низа стойки, от:

равномерно распределенной нагрузки

M = M_А - V_Аy;

Q = U_А; N = V_А;

ветровых нагрузок P_1b, P_2b, P_3b:

ветер слева направо

M = M_А - U_Аy + P_1by²/2;

Q = U_А - P_1by; N = V_А,

ветер справа налево

M = M_Д - U_Дy + P_2by²/2;

Q = U_Д - R_2by; N = V_Д.

Определяем усилия в сечениях ригеля 0 ≤ x ≤ l/2, считая расположение начала координат на левой опоре от:

равномерно распределенной нагрузки:

M = V_Аx - qx²/2 - 2U_Аfx/l;

Q = (V_А - qx)cos θ - U_Аsin θ;

N = (V_А - qx)sin θ + U_Аcos θ;

ветровых нагрузок P_1b, P_2b, P_3b:

M = V_Аx - Р_3bx²/2 cos θ - 2fx(U_А - P_1bH)/l;

Q = (V_А - P_3bx/cos θ)cos θ - (U_А - P_1bН)sin θ;

N = (V_А - P_3bx/cos θ)sin θ + (U_А - P_1bH)cos θ.

Положение расчетного сечения x в двускатном ригеле определяем по формуле

x = lh₀/(2h₁) = 17,64×0,581/(2×1,022) = 5 м.

По вышеприведенным формулам были подсчитаны усилия в сечениях рамы и представлены в табл. 35. Эпюры изгибающих моментов представлены на рис. 56.

Расчетные величины усилий определяем при следующих основных сочетаниях нагрузок: собственный вес и снеговая нагрузка; собственный вес, снеговая и ветровая нагрузки с учетом коэффициента сочетаний n_с = 0,9. Для наиболее невыгодных сочетаний нагрузок производим проверку предварительно назначенных сечений элементов рамы по соответствующим формулам и указаниям СНиП II-25-80.

Таблица 35

Наименование элемента рамы	Вид усилия	Усилия от нагрузок	Усилия от основных сочетаний нагрузок
постоянной q = 1,52 кН/м	временных	графы 3 + 4	графы 3 + 5	графы 3 + 4 + 6
снеговой P = 4,8 кН/м	ветровой
слева направо	справа налево
Стойка	MА, кН×м	+4,43	+14	-9,67	+6,22	+18,43	-5,24	+22,62
QА, кН	-0,81	-2,57	+3,57	-2,26	-3,38	+2,76	-5,16
NА, кН	-15,21	-42,73	+2,37	-2,37	-57,94	-12,84	-55,8
MВ, кН×м						-	-
QВ, кН	-0,81	-2,57	+0,025	+0,025	-3,38	-	-
NВ, кН	-13,53	-42,73	+2,37	+2,37	-56,26	-	-
Ригель	MВ, кН×м						-	-
QВ, кН	+13,06	+41,24	-2,32	-2,32	+54,3	-	-
NВ, кН	-3,61	-11,4	+0,468	+0,468	-15,01	-	-
Mx, кН×м	+47,71	+150,67	-8,52	-8,52	+198,38	-	-
Qx, кН	+5,75	+18,17	-1,02	-1,02	+23,92	-	-
Nx, кН	-2,03	-6,42	+0,19	+0,19	-8,45	-	-
MЕ, кН×м	+58,66	+185,25	-10,34	-10,34	+243,91	-	-
QЕ, кН	-0,17	-0,53	+0,005	+0,005	-0,7	-	-
NЕ, кН	-0,8	-2,51	+0,024	+0,024	-3,31	-	-

РАСЧЕТ СТОЙКИ

Наиболее напряженным является сечение, защемленное в фундаменте. Усилия в этом сечении равны:

M = 22,62 кН×м; Q = 5,16 кН; N = 55,8 кН.

Геометрические характеристики расчетного сечения

b = 140 мм; h = 363 мм; F_расч = F_бр = 140×363 = 5,08×10⁴ мм²;

W_бр = W_расч = 140×363²/6 = 3,07×10⁶ мм³;

l₀ = μl = 2,2×5,45 = 12 м.

Для стойки принимаем пиломатериал 3-го сорта. Тогда согласно СНиП II-25-80, табл. 3. R_и = R_с = R_см = 11×m_и/γ_n = 11×1,2/0,95 = 13,9 МПа. Определяем

φ = 3000/λ² = 3000/114,4² = 0,229;

ξ = 1 - N/(φR_сF_бр) = 1 - 55,8×10³/(0,229×13,9×5,08×10⁴) = 0,655;

K_и = α_и + ξ(1 - α_и) = 1,22 + 0,655(1 - 1,22) = 1,08;

M_д = M/(ξK_и) = 22,62/(0,655×1,08) = 31,98 кН×м.

Проверяем прочность сжато-изгибаемой стойки

N/F_расч + M_Д/W_расч = 55,8×10³/5,08×10⁴ + 31,98×10⁶/3,07×10⁶ = 11,5 < R_с = 13,9 МПа.

Рис. 57. Карнизный узел рамы

1 - гнутоклееный ригель; 2 - стойка; 3 - уголки 63 ´ 63 ´ 5; 4 - болты М20

Расчет ригеля

Для опорного сечения:

Q_макс = 54,3 кН; h = (h₀ - h_ktg φ/2)cos φ = (581 - 363×0,1998/2)0,9755 = 531 мм; b = 140 мм.

Максимальные скалывающие напряжения

τ = 3Q_макс/(2bh) = 3×54,3×10³/(2×140×531) = 1,09 < R_ск/γ_n = 1,5/0,95 = 1,58 МПа.

Требуемая длина опорной площадки из условия смятия древесины равна:

l_см = Q_максγ_n/(bR_{см α}) = 54,3×10³×0,95/(140×3,2) = 116 мм,

где

R_{см α} = R_см/[1 + (R_см/R_см90 - 1)sin ³ α] = 15/[1 + (15/3 - 1)0,9755³] = 3,2 МПа;

α = 90° - θ = 90° - 12,7° = 77,3°.

Длину опорной площадки принимаем 363 мм (рис. 57).

Для расчетного сечения по изгибу x = 5010 мм:

M_x = 198,38 кН×м; Q_x = 23,92 кН; N_x =-8,45 кН.

Сечение находится вне криволинейной зоны.

Геометрические характеристики сечения:

h_x = [h₀ + x(tg γ - tg φ)]cos θ = (581 + 5000×0,05)0,9755 = 811 мм.

F_расч = 140×811 = 11,35×10⁴ мм²;

W_расч = W_бр = 140×811²/6 = 15,35×10⁶ мм³.

Определяем:

λ = l_р/(0,289h) = 17640/(0,289×1200) = 51;

φ = 3000/λ² = 3000/51² = 1,16; К_жN = 0,07 + 0,93h₀/h = 0,07 + 0,93×581/1200 = 0,52;

R_и = R_с = R_см = 15m_б/γ_n = 15×0,9/0,95 = 14,2 МПа;

m_б = 0,9 для расчетного сечения с h_x = 811 мм;

ξ = 1 - N/(φR_сF_брК_жN) = 1 - 8,45×10³/(1,16×14,2×140×1200×0,52) = 0,99;

M_д = M/ξ = 198,38/0,99 = 200,2 кН×м;

N/F_расч + M_д/W_расч = 8,45×10³/11,35×10⁴ + 200,2×10⁶/15,35×10⁶ = 13,1 < R_с = 14,2 МПа.

Сжатая кромка ригеля раскреплена из плоскости изгиба прогонами кровли с шагом 2×1,5 = 3 м, т.е.

l_р = 3 < 140b²/(m_бh) = 140×0,14²/(0,9×0,811) = 3,6 м.

Поэтому проверка устойчивости плоской формы деформирования не требуется.

Проверяем радиальные растягивающие напряжения в середине пролета

K_{и рад}M_д/W_расч = 246×10⁶×0,045/33,6×10⁶ = 0,33 ≈ R_р90/0,95 = 0,3/0,95 = 0,32 МПа,

где M_д = M/ξ = 243,9/0,99 = 246 кН×м;

W_расч = bh²/6 = 140×1200²/6 = 33,6×10⁶ мм³;

K_{и рад} - коэффициент, определяемый по графику рис. 29 при φ = 14° и h/r = 0,125;

r = r₀ + h/2 = 9,01 + 1,2/2 = 9,61 м.