Статический расчет арки

Расчет арки выполняется на следующие сочетания нагрузок: постоянной и снеговой; постоянной, снеговой, ветровой и от загрузочной тележки (см. рис. 50).

Опорные реакции от постоянной нагрузки на всем пролете

V_А = V_В = q^р_нl/2; H = q^р_нl²/(8f).

Опорные реакции от снеговой нагрузки по пролету в пределах уклона кровли α = 50°:

V_А = V_В = q^р_снx_с; H = q^р_снx_с(l - x_с)/(2f),

где x_с - горизонтальная проекция участка кровли с уклоном до 50°, равная 5,9 м (см. рис. 50).

Опорные реакции от снеговой нагрузки на половине пролета:

V_А = q^р_снx_с(l + x_с)/(2l); V_В = q^р_снx_с(l - x_с)/(2l); H = V_Вl/(2f).

Реакции от ветровой нагрузки:

вертикальные

V_А = [P₁a₁ - P₂(a₂ + a₃) - P₄a₄]/l;

V_В =[P₁a₄ - P₂(a₃ + a₂) - P₄a₁]/l;

горизонтальные

H_А = (V_А0,5l - P₁b₁ + P₂b₂)/f;

H_В = (V_В0,5l + P₄b₁ + P₃b₂)/f,

где P₁, P₂, P₃, P₄ - равнодействующие соответствующих зон ветрового давления; a₁, a₂, a₃, a₄ - плечи равнодействующих относительно опорных шарниров; b₁, b₂ - то же, относительно ключевого шарнира. Вычислим плечи равнодействующих ветрового давления.

a₁ = asin (3,37φ₁ - β₁) = 16,4sin 21°8' = 16,4×0,3606 = 5,91 м;

a₂ = asin (0,87φ₁ - β₁) = 16,4sin 5°10' = 16,4×0,0901 = 1,48 м;

a₃ = rsin (4,13φ₁) = 36,4sin 26°22' = 36,4×0,4441 = 16,2 м;

a₄ = rsin (1,63φ₁) = 36,4sin 10°25' = 36,4×0,1808 = 6,6 м;

b₁ = rsin (3,37φ₁) = 3,64sin 21°31 = 36,4×0,3668 = 13,35 м;

b₂ = rsin (0,87φ₁) = 36,4sin 5°33 = 36,4×0,0967 = 3,52 м,

где

β = arctg [(x₀ - l)/y₀] = arctg [(34 - 24)/13] = 37°34';

ψ = 90° - (φ₀ + φ) = 90° - 20° 55' - 31°54' = 37°11';

β₁ = β - φ = 37°34' -37°11' = 0°23'.

Таблица 31

Вид нагрузки и нагружения	Нагрузка, кН/м	Опорные реакции, кН
VА	VВ	HА	HB
Постоянная, равномерно распределенная	2,37	28,4	28,4	10,7	10,7
Постоянная сосредоточенная		11,1	11,1	6,9	6,9
Снеговая, равномерно распределенная:
в пределах уклона кровли до 50°	3,6	21,1	21,1	11,9	11,9
на левом полупролете		13,1
Временная сосредоточенная	-			18,8	18,8
Ветровая (слева)	-	-7,4	-7	-10,4	1,4

Таблица 32

№ сечения	Координаты, м	Изгибающие моменты от вертикальных нагрузок, кН×м
x	y	постоянной gn	снеговой на левой полуарке Pс	снеговой на правой полуарке Pс	снеговой на всем пролете Pс	временной Pвр	постоянной Pп
	1,65	3,69		-0,5	-9	-9,1	-19,9	-7,1
	3,72	7,19		5,6	-13,4	-7,1	-23,6	-8,3
	6,15	10,44	17,6	17,9	-13,4	5,5	-11,8	-3,8
	8,92	13,39	15,4	22,2	-8,9	14,6	15,9	6,1

Нагрузки и опорные реакции приведены в табл. 31, а изгибающий момент от вертикальных нагрузок - в табл. 32 и вычислены по формуле M_x = M⁰_x - Hy_x, где M⁰ - изгибающий момент простой балки от рассматриваемой нагрузки.

Вычисление изгибающих моментов, кН×м, от ветровой нагрузки приведено в табл. 33 и выполнено по формулам

в левой полуарке M_n = V_Аx_n - H_Аy_n ± M^b_n;

в правой полуарке M'_n = V_Вx_n - H_Вy_n ± M^b'_n,

где M^b_n и M^b'_n - моменты от ветровой нагрузки, расположенной слева и справа от сечения n:

M^b₁ = -P₁rsin (φ₁/2)3,26; M^b'₁ = P₄rsin (φ₁/2)/3,26;

M^b₂ = -2P₁rsin φ₁/3,26; M^b'₂ = 2P₄rsin φ₁/3,26;

M^b₃ = -3P₁rsin (1,37φ₁)/3,26; M^b'₃ = 3P₄rsin (1,37φ₁)/3,26;

M^b₄ = -P₁rsin (2,37φ₁) + 0,74P₂rsin (0,37φ₁)/2;

M^b'₄= P₄rsin (2,37φ₁) + 0,74P₃rsin (0,37φ₁)/2;

M^b₅ = -P₁b₁ + P₂b'₂; M^b'₅ = P₄b₁ + P₃b₂.

Таблица 33

№ сечения	VАxn	-HАyn	Mbn	Mn	VВxn	-HВyn	Mbn'	Mn'
	-12,1	38,6	-5,4	21,1	-11,5	-5,2	3,1	-13,6
	-27,5	74,9	-21,6	25,8	-26	-10,1	12,4	-23,7
	-45,5	108,6	-44,5	18,0	-43,1	-14,6	25,6	-32,1
	-66	139,3	-76,5	-3,2	-62,4	-18,7	53,8	-27,3
	-88,8	166,4	-77,3		-84	-22,4

Таблица 34

№ сечения	Изгибающие моменты, кН×м, от	Расчетные величины моментов, кН×м
от собственного веса	снеговой нагрузки	ветровой нагрузки	веса оборудования
слева	справа	полная	слева	справа	постоянные	временные
		-0,5	-9	-9,1	21,1	-13,6	-7,1	-19,9	22,5/-41,4
		5,6	-13,4	-7,1	25,8	-23,7	-8,3	-23,6	40,3/-50,9
	17,6	17,9	-13,4	5,5	18,6	-32,1	-3,8	-11,8	50,5/-46,8
	15,4	22,2	-8,9	14,6	-3,2	-27,3	6,1	15,9	53,4/-17,2

В табл. 34 приведены значения изгибающих моментов от постоянной, снеговой, ветровой нагрузки и от веса технологического оборудования, а также расчетные значения моментов при неблагоприятных сочетаниях постоянных и временных нагрузок. При учете одновременно двух и более временных нагрузок вводился коэффициент сочетании n_с = 0,9.

Как видно из табл. 34, наибольший положительный момент в сечении 4, а отрицательный - в сечении 2. Для расчетных сечений 4 и 2 определим значения нормальных сил по формуле

N = Q^оsin φ_n + Hcos φ_n.

Сечение 4

x = 8,92 м; φ₄ = 46°27'; sin φ₄ = 0,725; cos φ₄ = 0,69.

Для вертикальных нагрузок определяем значения балочных поперечных сил от:

собственного веса Q^о₁ = 28,4 - 8,92×2,37 = 7,3 кН;

постоянной сосредоточенной нагрузки Q^о₂ = 11,1 кН;

снеговой нагрузки на левом полупролете Q^о₃ = (13,1 - 3,6×2,82)0,9 = 2,7 кН;

временной сосредоточенной нагрузки Q^о₄ = 30×0,9 = 27 кН.

Суммарное значение балочной поперечной силы в сечении 4 Q^о = 48,1 кН.

Суммарный распор от тех же загружений

H = 10,7 + 6,9 + 0,9(6 + 18,8) = 39,9 кН.

Нормальная сжимающая сила от вертикальных нагрузок будет равна: N_р = (48,1×0,725 + 39,9×0,69) = 62,4 кН.

Нормальная сила от ветровой нагрузки определяется по формуле

N^b₄ = V_Аsin φ₄ + P₁sin (2,37φ₁) + 0,74P₂sin (0,37φ₁) + H_Аcos φ₄.

По табл. 31 находим V_А = -7,4 кН; H_А = -10,4 кН.

Остальные входящие в формулу величины равны:

P₁ = 8,71 кН; P₂ = -11,1 кН; 2,37φ₁ = 15°8';

sin (2,37φ₁) = 0,261; 0,37φ₁ = 2°22'; sin (0,37φ₁) = 0,0413,

тогда с учетом коэффициента сочетания нагрузок

N^b₄ = -0,9(-7,4×0,725 + 8,71×0,261 - 0,74×11,1×0,0413 - 10,4×0,69) = 9,5 кН.

Суммарное значение нормальной силы в сечении 4 равно:

N₄ = N_р + N^b₄ = -62,4 + 9,5 = -52,9 кН.

Сечение 2

x₂ = 3,72 м; φ₂ = 33°41'; sin φ₂ = 0,555; cos φ₂ = 0,832.

Для этого сечения получаем аналогично сечению 4:

поперечную балочную силу Q^°₂ = 69,5 кН;

суммарный распор H = 39,9 кН;

нормальную силу от вертикальных нагрузок N_р = -71,8 кН;

нормальную силу от ветровых нагрузок N^b₂ = 4 кН;

суммарную нормальную силу N₂ = -67,8 кН.

Поскольку при определении коэффициента ξ, согласно СНиП II-25-80, п. 6.27, необходима сжимающая сила в ключе, то определим ее так же, как и для сечений 4 и 2.

Сечение 5. X₅ = 12 м; φ₅ = 52°50'; sin φ₅ = 0,797; cos φ₅ = 0,604.

Получаем:

поперечную балочную силу Q^°₅ = -7,3 кН;

суммарный распор H = 39,9 кН;

нормальную силу от вертикальных нагрузок N_р = -18,2 кН;

нормальную силу от ветровых нагрузок N^b₅ = -12,3 кН;

суммарную нормальную силу N₅ = -30,6 кН.

Расчетные усилия в сечения 2 и 4:

M₂ = -50,9 кН×м; N₂ = -67,8 кН;

M₄ = +53,4 кН×м; N₄ = -52,9 кН.

Подбор сечения арки

Для изготовления арок принимаем пиломатериал из древесины сосны 2 сорта толщиной 3,3 см. Коэффициент надежности по назначению γ_n = 0,95.

Оптимальная высота поперечного сечения арки находится в пределах (1/40 - 1/50)l = (1/40 - 1/50)2400 = 60 - 48 см.

Согласно СНиП II-25-80, пп. 3.1 и 3.2, коэффициенты условий работы древесины будут при h ≤ 60 см, δ_сл = 3,3 см и r_к/a = 3640/3,3 = 1103 > 500 m_и =1,2; m_б = 0,96; m_сл = 1, m_гн = 1; соответственно расчетное сопротивление сжатию и изгибу

R_с = R_и = 1,2×0,96×1×1×13/0,95 = 15,76 МПа.

Предварительное определение размеров поперечного сечения арки производим так же, как в предыдущем примере, из кубического уравнения относительно высоты сечения

При β = h/b = 5,5; ξ = 0,65; h = 571 мм; b = 104 мм.

Принимаем поперечное сечение арки b ´ h = 110 ´ 594 мм из 18 слоев толщиной 33 мм.

Расчет арки на прочность выполняется в соответствии с указаниями СНиП II-25-80, п. 4.17, формула (28) аналогично предыдущему примеру:

N/F_расч + M_д/W_расч = 52,9×10³/65,3×10³ + 73,5×10⁶/6,47×10⁶ = 0,81 + 11,36 = 12,17 < 15,76 МПа,

т.е. прочность сечения достаточна.

Рис. 51. Коньковый (а) и опорный (б) узлы стрельчатой арки

1 - стальная пластина 12 ´ 100 ´ 200; 2 - болты диаметром 16 мм; 3 - уголок № 20 длиной 200 мм; 4 - три слоя рубероида; 5 - опорная пластина 12 ´ 300 ´ 610; 6 - железобетонный фундамент

Расчет на прочность сечения с отрицательным моментом не требуется, так как он меньше положительного; достаточно проверить это сечение на устойчивость плоской формы деформирования по формуле (33), п. 4.18, СНиП II-25-80.

Верхняя кромка арки раскреплена прогонами кровли с шагом 1,5 м, соединенными со связевыми фермами, откуда

l_р = 2×150 < 140b²/(hm_б) = 140×11²/(59,4×0,96) = 312 см,

т.е. имеет место сплошное раскрепление при положительном моменте сжатой кромки, а при отрицательном - растянутой, следовательно, показатель степени n = 1 в формуле (33) СНиП II-25-80. Опуская промежуточные вычисления по определению основных коэффициентов φ_м, φ и вспомогательных коэффициентов K_жм, K_пм и K_пN, которые выполняются по аналогии с предыдущим примером, получим

N/(F_брφR_с) + M_д/(W_брφ_мR_и) = 67,8×10³/(653×10²×0,6097×15,76) + 71,4×10⁶/(0,9069×6,47×10⁶×15,76) = 0,11 + 0,77 = 0,88 < 1.

Таким образом, условие устойчивости выполнено и раскрепления внутренней кромки в промежутке между пятой и коньковым шарниром не требуется.

Конструктивные решения конькового и опорного узлов показаны на рис. 51.

Рамы

6.44. Дощатоклееные рамы могут применяться в зданиях различного назначения с утепленными или неутепленными ограждающими конструкциями, из плит или прогонов с рулонными, асбестоцементными или другими кровлями.

Рекомендуемые схемы однопролетных деревянных клееных рам представлены в табл. 1.

6.45. Расчет рам производится по правилам строительной механики с учетом требований СНиП II-25-80, пп. 4.17, 4.18, 6.28 – 6.30 при следующих схемах загружения:

а) постоянная и временная снеговая нагрузки на всем пролете;

б) постоянная на всем пролете и временная снеговая на половине пролета нагрузки;

в) по схемам а и б в сочетании с временной ветровой нагрузкой.

В трехшарнирных рамах со стойками высотой до 4 м расчет на ветровую нагрузку может не производиться.

6.46. Проверку нормальных напряжений следует производить в карнизном узле трехшарнирных рам ломаного очертания; в месте максимального момента криволинейной части гнутоклееных рам.

В других сечениях ригеля и стойки проверка нормальных напряжений не требуется, если высота сечения ригеля в коньке составляет св. 0,3 высоты сечения ригеля в карнизном узле, а высота сечения стоек рам в пяте - св. 0,4 высоты в карнизном узле.

6.47. В прямолинейных участках элементов рам переменного сечения уклон внутренней кромки относительно наружной допускается не более 15 %.

6.48. Рамы ломаного очертания с соединением в карнизном узле на нагелях по окружности (рис. 52) могут применяться при высоте стоек св. 4 м.

Расчет нагельного соединения в таких рамах выполняется в приведенной ниже последовательности. Определяются:

а) жесткость соединения

c = c_срn,

где c_ср = 128 кН/см - средняя жесткость нагеля; n - число нагелей;

б) податливость соединения

δ = 1/c;

в) смещение стойки относительно ригеля

Δ = δN_экв.

где N_экв = 2M/Д; M - изгибающий момент в карнизном узле рамы; Д - диаметр окружности, по которой расставлены нагели;

г) средняя несущая способность одного нагеля N_ср = c_срΔ;

д) максимальная несущая способность одного нагеля

N_макс = N_срk_р ≤ 2T, (49)

где k_р = 1,3 - коэффициент, учитывающий неравномерность распределения усилий между нагелями в соединении; T - минимальная несущая способность нагеля на один условный срез, определяемая по СНиП II-25-80, п. 5.13.

Рис. 52. Карнизный узел дощатоклееной трехшарнирной рамы ломаного очертания с соединением на цилиндрических нагелях

1 - стойка; 2 - ригель; 3 - направление волокон; 4 - нагели; 5 - начальное положение нагеля; 6 - положение нагеля после поворота

При невыполнении условия (49) необходимо увеличить диаметр окружности расстановки нагелей, если это не потребует увеличения размеров сечения элементов рамы, найденных из расчета по прочности и устойчивости;

е) несущая способность всего нагельного соединения

N_срn ≥ N_экв.

В узле должно быть поставлено не менее 4 болтовых нагелей из их общего числа.

Расстановка нагелей по окружности в карнизном узле рамы должна осуществляться по рис. 52, диаметр их следует принимать не более 20 мм.

6.49. Клеефанерные рамы, состоящие из дощатых поясов и фанерных стенок, подкрепленных ребрами жесткости (рис. 53), относятся к облегченным конструкциям. В таких рамах рекомендуется использовать преимущественно двухстенчатое двутавровое сечение.

При конструировании клеефанерных рам волокна наружных слоев шпона рекомендуется располагать параллельно внешнему контуру стоек и ригеля. Ребра жесткости в прямолинейных частях элементов рам устанавливаются в створе стыков фанерных стенок и, если необходимо, в промежутках.

Расчет клеефанерных рам следует выполнять в соответствии со СНиП II-25-80.

Рис. 53. Клеефанерная трехшарнирная рама с гнутоклееными вставками в карнизных узлах

Пример 1. Запроектировать дощатоклееную раму пролетом 18 м, шагом 3 м неутепленного складского здания.

Район строительства г. Нарва (Ленинградская обл.). Кровля из волнистых асбестоцементных листов, укладываемых по прогонам сечением 70 ´ 150 мм с шагом 1,5 м. Для элементов рамы (гнутоклееного двускатного ригеля и прямолинейных стоек) используются сосновые пиломатериалы 2-го и 3-го сорта толщиной слоев δ = 33 мм.

Соединение элементов конструкций осуществляется с помощью вклеенных арматурных стержней и деталей стального проката.

Ригель рамы принят переменного сечения с уклоном верхних граней i₁ = 0,25, а нижних - i₂ = 0,2; стойки рамы - постоянного сечения, соединенные с ригелем шарнирно и защемленные в фундаментах (рис. 54).

Нагрузки на раму

Постоянная нагрузка g^н = 0,266 кН/м² Временная снеговая нагрузка P^н_сн = 1 кН/м². Собственный вес ригеля равен:

g^н_св = (g^н + P^н_сн)/[1000/(K_свl) - 1] = (0,266 + 1)/[1000/(7,5×17,64) - 1] = 0,194 кН/м².

Рис. 54. Схема рамы с нагрузками

Рис. 55. Гнутоклееный ригель рамы

Погонные расчетные нагрузки на ригель составляют:

постоянная

g = (g^н + g^н_св)nb_р = (0,266 + 0,194)/1,1×3 = 1,52 кН/м;

временная снеговая

P_сн = P^н_снn_сb_р = 1×1,6×3 = 4,8 кН/м.

Снеговую нагрузку на половине пролета рамы не учитывают, так как в рамах данного типа максимальные усилия возникают от загружения по всему пролету.

Скоростной напор ветра для II района q₀ = 0,35 кН/м², а расчетная погонная ветровая нагрузка

P_ib = q₀kc_in_bb_р,

где k = 0,65 - коэффициент, учитывающий изменение скоростного напора в зависимости от высоты и типа местности, определяется по СНиП II-6-74, табл. 7.; c_i - аэродинамический коэффициент, принимаемый по СНиП II-6-74, табл. 8;

c = +0,8; c₁ = -0,228; c₂ = -0,4; c₃ = -0,5;

n_b = 1,2 - коэффициент перегрузки;

b_р = 3 м - шаг рам.

Коэффициент c₁ определен по интерполяции при

H/l = 5,45/17,64 = 0,308 и γ = 14,2°;

P_1b = 0,35×0,65×0,8×1,2×3 = 0,66 кН/м;

P_2b = 0,35×0,65×0,5×1,2×3 = 0,41 кН/м;

P_3b = 0,35×0,65×0,4×1,2×3 = 0,33 кН/м; (правая половина пролета);

P_4b = 0,35×0,65×0,228×1,2×3 = 0,19 кН/м; (левая половина пролета).

В целях упрощения расчета рамы ветровую нагрузку, действующую на ригель, принимаем усредненной интенсивности по всему пролету P_3b, = 0,26 кН/м. Схема нагрузок на раму дана на рис. 54. Сечение стоек принимаем 140 ´ 363 мм, их гибкость в плоскости рамы

λ = l₀/(0,289h_k) = 545×2,2/(0,289×36,3) = 114,4 < [λ] = 120,

а отношение h_k/b ≈ 2,5, что удовлетворяет рекомендациям по деревянным клееным колоннам.

Сечение ригеля (рис. 55) подбираем по методике расчета гнутоклееных балок переменной высоты согласно пп. 6.16 - 6.19:

γ = arctg i₁ = arctg 0,25 = 14°;

φ = arctg i₂ = arctg 0,2 = 11,3°.

Средняя часть ригеля длиной l₁ = 0,2l = 0,2(18 - 0,36) = 3,53 м имеет криволинейный участок. Радиус кривизны равен:

r₀ = l₁/(2sin φ) = 3,53/(2sin 11,3°) = 9,01 м;

r₀/δ = 9,01/0,033 = 274 > 250, т.е. m_гн = 1.

Ширину ригеля принимаем равной ширине стойки b = 140 мм, а высоту h = 1200 мм, что составляет 1/15l, тогда высота h₁ = 1022 мм, а высота на опоре h₀ = 581 мм.