Способи й точність визначення площ земельних ділянок

Визначення площ земельних ділянок є одним з найважливіших видів геодезичних робіт для цілей земельного кадастру.

Залежно від господарської значимості земельних ділянок, наявності планово-топографічного матеріалу, топографічних умов місцевості й необхідної точності застосовують різні способи визначення площ.

1. Аналітичний, коли площа обчислюється за результатами вимірів ліній на місцевості, за результатами вимірів ліній і кутів на місцевості або по їхніх функціях (координатам вершин фігур).

2. Графічний, коли площа обчислюється за результатами

вимірів ліній або координат на плані (карті).

3. Механічний, коли площа визначається за планом за допомогою спеціальних приладів (планіметрів) або пристосувань (палеток). Іноді ці способи застосовують комбіновано, наприклад, частина лінійних величин для обчислення площі визначають за планом, а частину беруть із результатів вимірів на місцевості.

Площі можна також визначити на ЕОМ по цифровій моделі місцевості по спеціальній програмі.

При аналітичному способі визначення площ застосовуються формули геометрії, тригонометрії й аналітичній геометрії. При визначенні площ невеликих ділянок (для обліку площ, зайнятих будовами, садибами, площ оранки, посіву) ділянки розбиваються на найпростіші геометричні фігури, переважно трикутники, прямокутники, рідше трапеції. У цьому випадку площі ділянок визначаються як суми площ окремих фігур, що обчислюють по лінійних елементах - висотам і підставам.

Якщо по границях ділянки виконані геодезичні виміри, то площа всього ділянки або його частини можна обчислити по формулах, наведеним стосовно до наступних фігур ділянок (рис. 23.1).

Рис.23.1 Геометричні фігури для визначення площ дільниць (а, б)

Трикутник (рис.23.1 а). Площа Трикутника визначається по сторонах l₁ и l₂, куту β₂, ув'язненому між ними, за формулою

(23.1)

Чотирикутник (рис. 23.1, б). Залежно від елементів, відомих у чотирикутнику, можуть бути використані різні формули для розрахунку, у зв’язку із чим приведемо приклад, що характеризує це різноманіття. Нехай у чотирикутнику обмірювані всі сторони й один кут при вершині 2. У такому випадку площа трикутника 1 - 2 - 3 може бути обчислена за формулою (23.1). При цьому корисно обчислити довжину l_1-3, використовуючи теорему косинусів

(23.2)

Площа трикутника 1 - 3 - 4 може бути обчислена за формулою

(23.3)

де S - на півпериметр, рівний

Загальна площа чотирикутника буде дорівнює:

(23.4)

При наявності координат вершин полігона площі трикутника й чотирикутника зручно обчислювати відповідно по формулам:

(23.5)

(23.6)

Якщо полігон має більше чотирьох кутів, то площа його швидше й з гарним контролем можна одержати по координатах Х_i й Y_i; його вершин або по збільшеннях координат ∆X_i і ∆Y_i( після вв'язування полігона, наприклад, по формулах

(23.7)

або

(23.8)

(23.9)

або

(23.10)

Координати вершин полігона для визначення площі ділянки як у державній так й у місцевої системах можуть бути отримані кожним з відомих геодезичних способів: тріангуляційними або лінійно-кутовими побудовами; прокладанням полігонометричних або теодолітних ходів; кутовими, лінійними й полярними зарубками; супутниковими приймачами для визначення місця розташування й т.д.

Крім того, коли потрібно визначити тільки площа або границі ділянки в його приватній системі координат, можна застосовувати так званий спосіб ізольованих базисів. Суть його полягає в тім, що координати точок об'єкта визначають зарубками з ізольованих Друг від друга базисів, розташованих у зручних місцях поблизу (рис. 23.2, я) або усередині (рис. 23.2, 6) ділянки. Для приведення результатів вимірів в одну систему координат необхідно, щоб була виконана умова перекриття, тобто із суміжних базисів повинен бути визначений ряд (мінімум дві) загальні точки.

Рис.23.2. Визначення координат точок ділянки, з ізольованих базисів (а,6)

Для кожної з п загальних точок суміжних базисів, наприклад b₁ й b₂, можна записати два рівняння зв'язку виду

(23.11)

з яких по методу найменших координат визначається кут φ_1,2 розвороту систем координат і координати і початку координат системи 2 у системі 1. Установивши параметри перетворення координат, у праві частини цих формул підставляють координати і інших (m-n) точок, певних із другого базису, переводячи їх тим самим у першу систему. Аналогічним образом вирішується завдання для всіх точок, обумовлених з базисів b₃, b₄, і т.д.

При графічному способі визначення площ ділянка на плані розбивають на найпростіші геометричні фігури.

При розбивці ділянки на найпростіші фігури можна прийняти багато варіантів, однак точність обчислення площі ділянки при різних варіантах не буде однаковою. Площа трикутника графічним способом обчислюється точніше площ, обумовлених розбивкою на прямокутники, трапеції й інші фігури. Механічний спосіб визначення площ найбільше доцільно застосовувати для ділянок з ламаними лініями. Можна визначити площі прямолінійними й криволінійними палетками.

При визначенні площ за планом графічним або механічним способом (за допомогою планіметра й палеток) необхідно враховувати деформацію паперу (плану). Величина деформації може характеризуватися коефіцієнтом q, обумовленим у двох взаємно перпендикулярних напрямках, за формулою:

(23.12)

де L₀ — теоретична довжина лінії, що значиться на плані (наприклад, довжина сторони квадрата координатної сітки); L — результат виміру цієї лінії за планом.

У цей час механічні планіметри замінили електронні (цифрові). Становлять інтерес цифрові планіметри, що випускають фірмою «Topcon», що пропонує кілька моделей цифрових планіметрів, що дозволяють проводити виміру площ по картах або інших матеріалах з точністю +0,2%.

Якщо для визначення площ використовуються пункти державної геодезичної мережі, то отримані площі найчастіше мають трохи зменшене значення, тому що координати пунктів ставляться не до поверхні Землі, а до поверхні прийнятого референс-еліпсоїда. На більших висотах цією різницею не завжди можна зневажити.

Перехід від площі Р₀ на поверхні референс-еліпсоїда до площі Р на поверхні Землі на висоті H може бути виконаний за формулою

(23.13)

де R - радіус Землі, рівний 6370 км.

Користуючись координатами пунктів, планами (картами) у проекції Гауса - Крюгера площі ділянок і розміри виходять завжди більше їхніх горизонтальних проекцій, і це збільшення зростає в міру видалення від осьового меридіана зони. Для приведення площі до горизонтальної проекції використовують формулу

(23.14)

де Y_m - середня ордината ділянки (відстань від осьового меридіана зони до середини ділянки).

До речі, наведений вище спосіб ізольованих базисів вільний від виправлень за перехід від поверхні референс-еліпсоїда й проекції Гауса - Крюгера, тому що координати точок базисів і границь ділянок визначаються в приватній системі на фізичної поверхні Землі.

Іноді виникає необхідність одержання площ фізичної (топографічної) поверхні ділянки Р_ф, що тим більше відрізняється від площі горизонтального прокладання ділянки P_гп, чим більше кут нахилу v або ухил i місцевості. Для одержання площі фізичної поверхні ділянки його розбивають на частині з однаковими скатами, тобто з рівно стоячими, і більш-менш прямими горизонталями. На кожній із цих частин у перпендикулярному напрямку до горизонталей визначають кут нахилу або ухил й обчислюють площа Р_ф на фізичній поверхні землі по формулах

(23.15)

(23.16)

Наприклад, уже при куті нахилу v = 2,9° (ухилі i=0,05) виправлення складе 1:800, або 12,5м2 на 1га.

Вимоги до точності визначення площі земельних ділянок залежать від багатьох факторів: господарської значимості (сільхозугіддья, лісові вгіддя, міська територія й т.п.); місця розташування (центр міста, його окраїна й т.п.); екологічної обстановки (хімічне забруднення землі, атмосфери й т.п.); наявності й цінності нерухомості. Всі ці й інші можливі фактори впливають на нормативну вартість землі, що в основному і є вихідною для розрахунку необхідної точності визначення площі земельних ділянок.

Досягнення необхідної точності можливо лише при правильному виборі способу визначення площі ділянки. Очевидно, що найвища точність може бути досягнута при аналітичному способі визначення площі. В цьому способі площа ділянки визначається за результатами вимірів на місцевості й помилка у визначенні площі буде залежати від помилок цих вимірів, так помилку m_р площі трикутника й прямокутника, що обчислює по обмірюваним висоті h с помилкою m_h, і підставі l з помилкою m_l визначають за формулою

(23.17)

При однаковій відносній помилці виміру h i l

(23.18)

Наприклад, при Р=1 га (10000м²) i m_p=7 м²

вираження (23.18) для полігона з п вершинами можна одержати формулу помилки площі виду

(23.19)

де m — середня квадратична помилка визначення координат х i у точок вершин полігона за умови, що

D_i - відстань від початку координат до i-тoї точки вершини полігона (в окремому випадку від однієї з вершин, прийнятої за початок координат).

Для прямокутника зі сторонами а й b формула (23.19) прийме вид

(23.20)

а для квадрата зі стороною а

(23.21)

Так, наприклад, якщо для ділянки розміром 100 х 100м і площею 1га визначати координати із середньої квадратичною помилкою 0,02м, те помилка площі буде дорівнює 2м².

Для помилки площі ділянки, обумовленої за топографічним планом (карті), з урахуванням помилок вимірів на місцевості й помилок складання топоплана можна використати формулу виду

(23.22)

де М — знаменник чисельного масштабу плану, Р — площа

ділянки.

У таблиці 23.1 наведені величини середніх квадратичних помилок, обчислених за формулою (23.22) для різних площ ділянок за планами різних масштабів.

Таблиця 23.1

Площа	Масштаби
Р	1:500	1:1000	1:2000
м2	см2	см2	см2
	3,6	6,0	12,0
	3,6	7,3	14,6
	16,4	32,8	65,6
	23,7	47,4	94,8
	47,4	94,8	189,6

Наведені формули є наближеними, тому що не враховують можливих помилок вихідних даних і залежності між вхідними в них величинами. Однак вони цілком достатні для попередніх (проектних) розрахунків.